東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2015年9月実施 問題 2 設問 II

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• Tokyo-University
• Turbomachinery
• Bernoulli-Equation
• Control-Volume-Momentum

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

密度 $\rho$ の水が水平ノズルを経て遠心ポンプに入る。ノズルの断面 1、2 の面積を $A_1>A_2$、速度を $u_1,u_2$、圧力を $P_1,P_2$ とし、両断面を密度 $\rho_h$ の水銀入り U 字管でつなぐ。水銀面の高低差を $\Delta H$、重力加速度を $g$ とする。

ポンプの羽根車は内半径 $r$、外半径 $R$、流路高さ $h$。一定の駆動トルク $T$ で回転し、流入時の旋回速度とポンプ内の重力を無視する。最初は羽根を半径方向に置く。

(1) 水銀面が高いのは断面 1、2 のどちらか。(2) $\Delta H$ から流量 $Q$ を求めよ。(3) $Q$ を用いて角速度 $\omega$ を求めよ。(4) 高低差が $2\Delta H$ になったときの角速度の比を求めよ。

次に後向き羽根とし、出口の相対速度が回転方向と逆向きの接線となす角を $0<\alpha<90^\circ$ とする。

(5) 一定トルク $T$ の下で必要動力 $P_w$ を求めよ。(6) $P_w$ が最小になる流量に対応する水銀面の高低差を求めよ。

题目描述

水平收缩喷嘴的两个断面 $A_1>A_2$ 接水银差压计，水流进入无入口旋流的离心泵。泵外半径 $R$、叶高 $h$、转矩 $T$ 恒定。先对径向叶片求水银高低关系、流量、角速度及压差变化后的角速度比，再对出口后弯角 $\alpha$ 的叶片求轴功率及使其最小的差压计液位差。

Kai

(1)

連続の式より $u_2>u_1$、Bernoulli の式より $P_2<P_1$。したがって水銀面は断面 2 側が高い。

(2)

$$P_1-P_2=(\rho_h-\rho)g\Delta H =\frac\rho2Q^2\left(\frac1{A_2^2}-\frac1{A_1^2}\right).$$

よって

$$\boxed{Q=A_1A_2\sqrt{\frac{2(\rho_h-\rho)g\Delta H}{\rho(A_1^2-A_2^2)}}}.$$

(3)

半径方向羽根では出口絶対速度の周方向成分は $R\omega$。角運動量保存則から

$$T=\rho QR(R\omega),\qquad \boxed{\omega=\frac{T}{\rho QR^2}}.$$

(4)

$Q\propto\sqrt{\Delta H}$、$\omega\propto Q^{-1}$ より、$\boxed{\omega_{\rm new}/\omega=1/\sqrt2}$。

(5)

出口半径方向速度は $v_r=Q/(2\pi Rh)$。速度三角形より

$$v_\theta=R\omega-v_r\cot\alpha=R\omega-\frac{Q}{2\pi Rh\tan\alpha}.$$

$T=\rho QRv_\theta$ を解くと、

$$\omega=\frac{T}{\rho R^2Q}+\frac{Q}{2\pi R^2h\tan\alpha}.$$

したがって、(2) の $Q$ を用いて

$$\boxed{P_w=T\omega=\frac{T^2}{\rho R^2Q}+\frac{TQ}{2\pi R^2h\tan\alpha}}.$$

(6)

$dP_w/dQ=0$ より

$$Q_*^2=\frac{2\pi hT\tan\alpha}{\rho}.$$

$P_w''=2T^2/(\rho R^2Q^3)>0$ なので最小である。(2) に代入して、

$$\boxed{\Delta H_*=\frac{\pi hT\tan\alpha\,(A_1^2-A_2^2)}{A_1^2A_2^2(\rho_h-\rho)g}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2016年度）
• SN の解答・解説