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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2015年9月実施 機械工学第1部 問題1 II

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

ゆで卵をつくる過程を非定常伝熱問題として考える。相変化やたんぱく質変性は無視し，卵は半径 R=3 cmR=3\,\mathrm{cm} の一様な材質の固体球と考える。温度によらず，密度 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}，定圧比熱 cp=4 kJ/(kg K)c_p=4\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}，熱伝導率 λ=0.6 W/(m K)\lambda=0.6\,\mathrm{W/(m\,K)} であると仮定する。時刻 t=0t=0 において，初期温度 T0=20 ∘CT_0=20\,{}^\circ\mathrm C の球を沸騰したお湯（温度 T∞=100 ∘CT_\infty=100\,{}^\circ\mathrm C）に入れる。熱伝達率が h=200 W/(m2 K)h=200\,\mathrm{W/(m^2\,K)} であると仮定して球の温度の時間変化を考える。

まず，球全体の温度が一様と仮定する集中熱容量法での計算を試みる。

(1) 球の温度 TT が満たすべき方程式と境界条件を記述せよ。

(2) 設問 (1) の方程式を解いて球の温度 TT の時間変化を記述せよ。

(3) 設問 (2) の温度変化の概要をグラフに表し，球の温度が 50 ∘C50\,{}^\circ\mathrm C となるおよその時間をグラフから読み取れ。

次に，球内部の温度分布を考慮する。初期温度は T0T_0 で一様な半径 RR の球がお湯の中で加熱される一次元非定常熱伝導問題として考える。

(4) 極座標（球座標）での一次元非定常熱伝導方程式と境界条件を記述せよ。

(5) 設問 (4) の方程式と境界条件を無次元化し，現れる無次元数について簡潔に説明せよ。

(6) 球の場合のハイスラー線図（図 1-3）を用いて，球の中心温度 TCT_C が 50 ∘C50\,{}^\circ\mathrm C となるおよその時間を求めよ。ただし，θC=(TC−T∞)/(T0−T∞)\theta_C=(T_C-T_\infty)/(T_0-T_\infty) は無次元の中心温度，α\alpha は温度伝導率（温度拡散率），BiBi はビオ数である。

図 1-3 球のハイスラー線図

(7) 設問 (3) と設問 (6) で求めた結果が大きく異なる理由を説明せよ。

题目描述​

将煮鸡蛋的过程视为非稳态传热问题。忽略相变与蛋白质变性，将鸡蛋看作半径 R=3 cmR=3\,\mathrm{cm}、材质均匀的固体球。假设密度 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}、定压比热 cp=4 kJ/(kg K)c_p=4\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}、导热系数 λ=0.6 W/(m K)\lambda=0.6\,\mathrm{W/(m\,K)} 均不随温度变化。t=0t=0 时将初温 T0=20 ∘CT_0=20\,{}^\circ\mathrm C 的球放入温度 T∞=100 ∘CT_\infty=100\,{}^\circ\mathrm C 的沸水中，换热系数为 h=200 W/(m2 K)h=200\,\mathrm{W/(m^2\,K)}，考察球温随时间的变化。

首先采用集中热容法，假设球整体温度均匀。

(1) 写出球温 TT 应满足的方程及边界条件。

(2) 解 (1) 的方程，表示球温 TT 随时间的变化。

(3) 画出 (2) 中温度变化的概略曲线，从图中读取球温达到 50 ∘C50\,{}^\circ\mathrm C 的大致时间。

接下来考虑球内温度分布，把初温均匀为 T0T_0、半径为 RR 的球在热水中受热视为一维非稳态导热问题。

(4) 写出极坐标（球坐标）下的一维非稳态导热方程及边界条件。

(5) 将 (4) 的方程与边界条件无量纲化，并简要说明出现的无量纲数。

(6) 利用球体的海斯勒图（图 1-3），求球心温度 TCT_C 达到 50 ∘C50\,{}^\circ\mathrm C 的大致时间。其中 θC=(TC−T∞)/(T0−T∞)\theta_C=(T_C-T_\infty)/(T_0-T_\infty) 为无量纲球心温度，α\alpha 为热扩散率，BiBi 为毕奥数。

(7) 说明 (3) 和 (6) 所得结果相差很大的原因。

Kai​

(1)​

ρcp4πR33dTdt=4πR2h(T∞−T),T(0)=T0.\begin{gathered} \rho c_p\frac{4\pi R^3}{3}\frac{dT}{dt}=4\pi R^2h(T_\infty-T),\\ T(0)=T_0. \end{gathered}

(2)​

したがって

T(t)=T∞−(T∞−T0)e−t/τ,τ=ρcpR3h=200 s.\begin{gathered} \boxed{T(t)=T_\infty-(T_\infty-T_0)e^{-t/\tau}},\\ \tau=\frac{\rho c_pR}{3h}=200\,\mathrm s. \end{gathered}

(3)​

T=100−80e−t/200[∘C],t50=200ln⁡85≃94 s.\begin{gathered} \boxed{T=100-80e^{-t/200}\quad[{}^\circ\mathrm C]},\\ \boxed{t_{50}=200\ln\frac85\simeq94\,\mathrm s}. \end{gathered}

Lumped and center temperature histories

(4)​

∂T∂t=αr2∂∂r(r2∂T∂r),α=λρcp.\boxed{\frac{\partial T}{\partial t}=\frac\alpha{r^2} \frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)}, \qquad \alpha=\frac\lambda{\rho c_p}.
T(r,0)=T0,Tr(0,t)=0,−λTr(R,t)=h[T(R,t)−T∞].\begin{gathered} T(r,0)=T_0,\\ T_r(0,t)=0,\\ -\lambda T_r(R,t)=h[T(R,t)-T_\infty]. \end{gathered}

(5)​

θ=(T−T∞)/(T0−T∞)\theta=(T-T_\infty)/(T_0-T_\infty)、X=r/RX=r/R、Fo=αt/R2Fo=\alpha t/R^2、Bi=hR/λBi=hR/\lambda とおくと

θFo=1X2(X2θX)X,θ(X,0)=1,θX(0,Fo)=0,θX(1,Fo)=−Bi θ(1,Fo).\begin{gathered} \boxed{\theta_{Fo}=\frac1{X^2}(X^2\theta_X)_X},\\ \theta(X,0)=1,\\ \theta_X(0,Fo)=0,\\ \theta_X(1,Fo)=-Bi\,\theta(1,Fo). \end{gathered}

FoFo は熱拡散に対する無次元時間、BiBi は球内伝導抵抗と表面対流抵抗との比を表す。

(6)​

Bi=10Bi=10、θc=(50−100)/(20−100)=0.625\theta_c=(50-100)/(20-100)=0.625。 線図より Fo≃0.13〜0.14Fo\simeq0.13\text{〜}0.14 なので

t≃(0.13〜0.14)R2α≃8×102 s(約13分).\boxed{\begin{gathered} t\simeq(0.13\text{〜}0.14)\frac{R^2}{\alpha} \simeq8\times10^2\,\mathrm s\\ (約13分) \end{gathered}}.

(7)​

Bi=10Bi=10 と大きく、球内の熱抵抗を無視できない。表面が先に温まり、中心への熱拡散が遅れるため、温度一様とする集中熱容量法は中心の加熱時間を過小評価する。

Reference​

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