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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年度 機械工学第1部 問題1 II

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

卵を半径 R=3 cmR=3\,\mathrm{cm} の均質な固体球として扱う。ρ=1000 kg/m3,cp=4 kJ/(kgK),λ=0.6 W/(mK)\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3},c_p=4\,\mathrm{kJ/(kgK)},\lambda=0.6\,\mathrm{W/(mK)} は一定。初期一様温度 T0=20 ∘CT_0=20\,{}^\circ\mathrm C の球を、t=0t=0 に T∞=100 ∘CT_\infty=100\,{}^\circ\mathrm C の湯に入れる。熱伝達率は h=200 W/(m2K)h=200\,\mathrm{W/(m^2K)}。相変化・タンパク質変性を無視する。

  1. 集中熱容量法での方程式と初期条件を示せ。
  2. 温度の時間変化を求めよ。
  3. グラフを描き、50 ∘C50\,{}^\circ\mathrm C になる時間を求めよ。
  4. 球内温度分布を考慮した非定常熱伝導方程式と条件を示せ。
  5. 方程式を無次元化し、無次元数を説明せよ。
  6. 球のハイスラー線図から中心温度が 50 ∘C50\,{}^\circ\mathrm C になる時間を求めよ。
  7. (3) と (6) が大きく異なる理由を述べよ。

Sphere center-temperature chart

题目描述​

将初温 20℃20℃ 的鸡蛋近似为半径 3 cm3\,\mathrm{cm} 的均质球，放入 100℃100℃ 热水。分别用集中热容量法和球体非稳态导热模型求达到 50℃50℃ 的时间，写出初边值条件和无量纲形式，并解释两种预测的差别。

Kai​

(1)〜(2)​

ρcp4πR33dTdt=4πR2h(T∞−T),T(0)=T0.\rho c_p\frac{4\pi R^3}{3}\frac{dT}{dt}=4\pi R^2h(T_\infty-T), \quad T(0)=T_0.

したがって

T(t)=T∞−(T∞−T0)e−t/τ,τ=ρcpR3h=200 s.\boxed{T(t)=T_\infty-(T_\infty-T_0)e^{-t/\tau}}, \quad \tau=\frac{\rho c_pR}{3h}=200\,\mathrm s.

(3)​

T=100−80e−t/200[∘C],t50=200ln⁡85≃94 s.\boxed{T=100-80e^{-t/200}\quad[{}^\circ\mathrm C]},\qquad \boxed{t_{50}=200\ln\frac85\simeq94\,\mathrm s}.

Lumped and center temperature histories

(4)​

∂T∂t=αr2∂∂r(r2∂T∂r),α=λρcp.\boxed{\frac{\partial T}{\partial t}=\frac\alpha{r^2} \frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)}, \qquad \alpha=\frac\lambda{\rho c_p}.
T(r,0)=T0,Tr(0,t)=0,−λTr(R,t)=h[T(R,t)−T∞].T(r,0)=T_0,\qquad T_r(0,t)=0,\qquad -\lambda T_r(R,t)=h[T(R,t)-T_\infty].

(5)​

θ=(T−T∞)/(T0−T∞)\theta=(T-T_\infty)/(T_0-T_\infty)、X=r/RX=r/R、Fo=αt/R2Fo=\alpha t/R^2、Bi=hR/λBi=hR/\lambda とおくと

θFo=1X2(X2θX)X,θ(X,0)=1,θX(0,Fo)=0,θX(1,Fo)=−Bi θ(1,Fo).\boxed{\theta_{Fo}=\frac1{X^2}(X^2\theta_X)_X}, \quad \theta(X,0)=1,\quad\theta_X(0,Fo)=0, \quad\theta_X(1,Fo)=-Bi\,\theta(1,Fo).

FoFo は熱拡散に対する無次元時間、BiBi は球内伝導抵抗と表面対流抵抗との比を表す。

(6)​

Bi=10Bi=10、θc=(50−100)/(20−100)=0.625\theta_c=(50-100)/(20-100)=0.625。 線図より Fo≃0.13〜0.14Fo\simeq0.13\text{〜}0.14 なので

t≃(0.13〜0.14)R2α≃8×102 s(約13分).\boxed{t\simeq(0.13\text{〜}0.14)\frac{R^2}{\alpha} \simeq8\times10^2\,\mathrm s\quad(約13分)}.

(7)​

Bi=10Bi=10 と大きく、球内の熱抵抗を無視できない。表面が先に温まり、中心への熱拡散が遅れるため、温度一様とする集中熱容量法は中心の加熱時間を過小評価する。

Reference​

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