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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年度 機械工学第1部 問題1 I

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

定圧比熱 cpc_p、比熱比 κ\kappa、気体定数 RR の理想気体によるガスタービンサイクルを考える。1→21\to2 は可逆断熱圧縮、2→32\to3 は定圧加熱、3→43\to4 は可逆断熱膨張、4→14\to1 は定圧冷却。圧力比は ϕ=p2/p1\phi=p_2/p_1、最高温度比は τ=T3/T1\tau=T_3/T_1。

  1. 状態番号を付けて TT–ss、pp–vv 線図を描け。
  2. 単位質量当たりの断熱圧縮仕事と、同じ圧力比の等温圧縮仕事を求め、比較せよ。
  3. 2→32\to3 の比エントロピー増加を求めよ。
  4. 理論熱効率を求めよ。

次に排気と圧縮機出口との間に、等しい熱容量流量 C=m˙cpC=\dot m c_p の向流再生熱交換器を設ける。高温・低温入口は T4,T2T_4,T_2、出口は T4′,T2′T_4',T_2'、温度効率は ϵ=(T4−T4′)/(T4−T2)\epsilon=(T_4-T_4')/(T_4-T_2)。壁の熱抵抗は無視し、両温度分布は平行な直線で近似する。

  1. エントロピー生成率を求め、それが最大・最小となる ϵ\epsilon を求めよ。
  2. ϵ=1\epsilon=1 のときの熱効率を求めよ。

题目描述​

对理想布雷顿燃气轮机循环，画状态图，比较等熵和等温压缩功，求吸热熵增与热效率。加入两侧热容量流率相等的逆流回热器后，求熵产对换热器有效度的极值及完全回热时的循环效率。

Kai​

a=(κ−1)/κa=(\kappa-1)/\kappa、x=ϕax=\phi^a とおく。

(1)​

T2=xT1,T3=τT1,T4=τT1/xT_2=xT_1,T_3=\tau T_1,T_4=\tau T_1/x。定圧線は TT–ss 線図で指数曲線、可逆断熱線は鉛直線である。

Brayton cycle diagrams

(2)​

ws=cp(T2−T1)=κRT1κ−1(ϕa−1),wT=RT1ln⁡ϕ.\boxed{w_s=c_p(T_2-T_1)=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1}(\phi^a-1)}, \qquad\boxed{w_T=RT_1\ln\phi}.

ez−1>ze^z-1>z（z=aln⁡ϕ>0z=a\ln\phi>0）より ws>wTw_s>w_T。

(3)​

s3−s2=cpln⁡T3T2=κRκ−1ln⁡τϕa.\boxed{s_3-s_2=c_p\ln\frac{T_3}{T_2} =\frac{\kappa R}{\kappa-1}\ln\frac\tau{\phi^a}}.

(4)​

η=1−T4−T1T3−T2=1−ϕ−a.\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}=1-\phi^{-a}}.

(5)​

断熱された熱交換器全体のエントロピー収支から

S˙g=Cln⁡T2′T4′T2T4.\boxed{\dot S_g=C\ln\frac{T_2'T_4'}{T_2T_4}}.

Δ=T4−T2>0\Delta=T_4-T_2>0 とすると T2′=T2+ϵΔT_2'=T_2+\epsilon\Delta、T4′=T4−ϵΔT_4'=T_4-\epsilon\Delta なので

S˙g=Cln⁡[1+Δ2T2T4ϵ(1−ϵ)].\dot S_g=C\ln\left[1+\frac{\Delta^2}{T_2T_4}\epsilon(1-\epsilon)\right].

よって最大は ϵ=1/2\boxed{\epsilon=1/2}、熱交換を行う 0<ϵ≤10<\epsilon\le1 で最小は ϵ=1\boxed{\epsilon=1}。熱交換しない端点 ϵ=0\epsilon=0 でも生成率は0となる。

(6)​

完全再生では T2′=T4,T4′=T2T_2'=T_4,T_4'=T_2。したがって

ηreg=1−cp(T2−T1)cp(T3−T4)=1−ϕ(κ−1)/κτ.\boxed{\eta_{\rm reg}=1-\frac{c_p(T_2-T_1)}{c_p(T_3-T_4)} =1-\frac{\phi^{(\kappa-1)/\kappa}}\tau}.

再生が有効な条件は T4>T2T_4>T_2、すなわち τ>ϕ2a\tau>\phi^{2a} である。

Reference​

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