跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2015年9月実施 機械工学第1部 問題1 I

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

以下の 4 つの過程から構成されるガスタービンサイクルについて考える。ただし，作動ガスは定圧比熱 cpc_p（一定）の理想気体とし，比熱比，圧力比，および最高温度比をそれぞれ κ,ϕ,τ\kappa,\phi,\tau とする。また，温度，圧力，比エントロピー，比体積，および気体定数をそれぞれ T,p,s,v,RT,p,s,v,R とし，状態 1～4 における温度を TiT_i（i=1,2,3,4i=1,2,3,4）と表すものとする。

  • 状態 1 → 状態 2：断熱圧縮過程
  • 状態 2 → 状態 3：等圧加熱過程
  • 状態 3 → 状態 4：断熱膨張過程
  • 状態 4 → 状態 1：等圧冷却過程

以下の設問に答えよ。

(1) このサイクルの TT–ss 線図，および pp–vv 線図を示せ。ただし，それぞれの図に各状態番号を付すこと。

(2) 状態 1 から状態 2 の過程で圧縮機のする仕事を，κ,R,T1,ϕ\kappa,R,T_1,\phi を用いて表せ。また，圧力比を一定とし，状態 1 から等温圧縮することで状態 2∗2^* を得た。このとき，圧縮機のする仕事を R,T1,ϕR,T_1,\phi を用いて表せ。さらに，これら 2 つの仕事を比較し，どちらが大きいか，説明せよ。

(3) 状態 2 から状態 3 にかけての単位質量あたりのエントロピー変化量を κ,R,ϕ,τ\kappa,R,\phi,\tau を用いて表せ。

(4) 理論熱効率を κ,ϕ\kappa,\phi のみを用いて表せ。

次に，図 1-1 に示すように圧縮機と燃焼器の間に熱交換器（高温排気ガスから熱回収を行うための再生器）を設置した再生ガスタービンサイクルについて考える。高温ガス，低温ガスの熱交換器入口温度はそれぞれ T4,T2T_4,T_2 に対応する。ここで，熱交換器の流路配置は対向流型とし，熱抵抗の無視できる隔壁を介して熱交換が行われるものとする。また，高温ガス，低温ガスの質量流量は m˙\dot m で等しく，一定と仮定する。このとき，高温ガス，低温ガスの熱容量流量は C=m˙cpC=\dot m c_p で等しい。高温ガス，低温ガスの熱交換器出口における温度をそれぞれ T4′T_{4'}（<T4<T_4），T2′T_{2'}（>T2>T_2）と表し，熱交換器の温度効率 ε\varepsilon を次式により定義する。

ε≡T4−T4′T4−T2\varepsilon\equiv\frac{T_4-T_{4'}}{T_4-T_2}

図 1-1 再生ガスタービンサイクル

以下の設問に答えよ。

(5) 熱交換器におけるエントロピー生成量を C,T4,T2,T4′,T2′C,T_4,T_2,T_{4'},T_{2'} を用いて表せ。また，高温ガス，低温ガスの温度分布が図 1-2 に示すように流れに沿う座標方向（高温ガス，低温ガスで逆向き）に互いに平行な直線分布となることに注意し，エントロピー生成量が最大および最小となる温度効率 ε\varepsilon の値をそれぞれ求めよ。

図 1-2 対向流熱交換器の温度分布

(6) ε=1\varepsilon=1 のときの理論熱効率を κ,ϕ,τ\kappa,\phi,\tau のみを用いて表せ。

题目描述​

考虑由以下四个过程组成的燃气轮机循环。工质为定压比热 cpc_p 恒定的理想气体；比热比、压力比和最高温度比分别为 κ,ϕ,τ\kappa,\phi,\tau。温度、压力、比熵、比体积及气体常数分别为 T,p,s,v,RT,p,s,v,R，状态 1～4 的温度记作 TiT_i（i=1,2,3,4i=1,2,3,4）。

  • 状态 1 → 2：绝热压缩
  • 状态 2 → 3：等压加热
  • 状态 3 → 4：绝热膨胀
  • 状态 4 → 1：等压冷却

(1) 画出循环的 TT–ss 图及 pp–vv 图，各图均须标注状态编号。

(2) 用 κ,R,T1,ϕ\kappa,R,T_1,\phi 表示状态 1 到 2 过程中压缩机所做的功。保持相同压力比，从状态 1 等温压缩至状态 2∗2^*，用 R,T1,ϕR,T_1,\phi 表示此时压缩机所做的功。比较两者大小并说明。

(3) 用 κ,R,ϕ,τ\kappa,R,\phi,\tau 表示状态 2 到 3 的单位质量熵变。

(4) 仅用 κ,ϕ\kappa,\phi 表示理论热效率。

接下来考虑图 1-1 的回热燃气轮机循环，在压缩机和燃烧器之间安装换热器，利用高温排气回收热量。高温、低温气体的换热器入口温度分别为 T4,T2T_4,T_2。换热器为逆流布置，两股流体通过热阻可忽略的隔板换热。两股气体的质量流量均为恒定的 m˙\dot m，热容量流率均为 C=m˙cpC=\dot m c_p。高温、低温气体的出口温度分别为 T4′<T4T_{4'}<T_4、T2′>T2T_{2'}>T_2，换热器温度效率定义为

ε≡T4−T4′T4−T2.\varepsilon\equiv\frac{T_4-T_{4'}}{T_4-T_2}.

(5) 用 C,T4,T2,T4′,T2′C,T_4,T_2,T_{4'},T_{2'} 表示换热器中的熵产生量。注意图 1-2 所示高温、低温气体的温度分布：沿流动方向的坐标（两股气体流向相反），二者为互相平行的直线。分别求熵产生量最大和最小时的温度效率 ε\varepsilon。

(6) ε=1\varepsilon=1 时，仅用 κ,ϕ,τ\kappa,\phi,\tau 表示理论热效率。

Kai​

a=(κ−1)/κa=(\kappa-1)/\kappa、x=ϕax=\phi^a とおく。

(1)​

T2=xT1,T3=τT1,T4=τT1/xT_2=xT_1,T_3=\tau T_1,T_4=\tau T_1/x。定圧線は TT–ss 線図で指数曲線、可逆断熱線は鉛直線である。

解答図 1（既存図の局部表示）

解答図 2（既存図の局部表示）

(2)​

ws=cp(T2−T1)=κRT1κ−1(ϕa−1),wT=RT1ln⁡ϕ.\begin{gathered} \boxed{w_s=c_p(T_2-T_1)=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1}(\phi^a-1)},\\ \boxed{w_T=RT_1\ln\phi}. \end{gathered}

ez−1>ze^z-1>z（z=aln⁡ϕ>0z=a\ln\phi>0）より ws>wTw_s>w_T。

(3)​

s3−s2=cpln⁡T3T2=κRκ−1ln⁡τϕa.\boxed{s_3-s_2=c_p\ln\frac{T_3}{T_2} =\frac{\kappa R}{\kappa-1}\ln\frac\tau{\phi^a}}.

(4)​

η=1−T4−T1T3−T2=1−ϕ−a.\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}=1-\phi^{-a}}.

(5)​

断熱された熱交換器全体のエントロピー収支から

S˙g=Cln⁡T2′T4′T2T4.\boxed{\dot S_g=C\ln\frac{T_2'T_4'}{T_2T_4}}.

Δ=T4−T2>0\Delta=T_4-T_2>0 とすると T2′=T2+ϵΔT_2'=T_2+\epsilon\Delta、T4′=T4−ϵΔT_4'=T_4-\epsilon\Delta なので

S˙g=Cln⁡[1+Δ2T2T4ϵ(1−ϵ)].\dot S_g=C\ln\left[1+\frac{\Delta^2}{T_2T_4}\epsilon(1-\epsilon)\right].

よって最大は ϵ=1/2\boxed{\epsilon=1/2}、熱交換を行う 0<ϵ≤10<\epsilon\le1 で最小は ϵ=1\boxed{\epsilon=1}。熱交換しない端点 ϵ=0\epsilon=0 でも生成率は0となる。

(6)​

完全再生では T2′=T4,T4′=T2T_2'=T_4,T_4'=T_2。したがって

ηreg=1−cp(T2−T1)cp(T3−T4)=1−ϕ(κ−1)/κτ.\boxed{\eta_{\rm reg}=1-\frac{c_p(T_2-T_1)}{c_p(T_3-T_4)} =1-\frac{\phi^{(\kappa-1)/\kappa}}\tau}.

再生が有効な条件は T4>T2T_4>T_2、すなわち τ>ϕ2a\tau>\phi^{2a} である。

Reference​

本页目录