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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2016年度 機械工学第2部 問題 1

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

同じ長さ LL の二本の棒①、②を並列に置き、左端を固定、右端を回転しない剛体で連結する。断面積は A1,A2A_1,A_2、ヤング率は E1,E2E_1,E_2。①は降伏応力 σy\sigma_y の弾完全塑性体で、降伏後の除荷は圧縮域も含め勾配 E1E_1 の直線に従う。②は十分な強度を持つ線形弾性体である。右向き荷重を PP、変位を uu とし、断面積変化と自重を無視する。

  1. ①が初めて降伏するときの P,uP,u を求めよ。
  2. 降伏後、荷重を PaP_a まで増やしたときの変位 uau_a を求めよ。
  3. そこから P=0P=0 まで除荷したとき、各棒の応力とひずみを求めよ。

II​

長さ LL、一辺 aa の正方形断面、密度 ρ\rho、ヤング率 EE、ポアソン比 ν\nu の水平はりを両端単純支持する。左端を x=0x=0、断面図心を z=0z=0、鉛直下向きを zz の正とする。重力加速度は gg。

  1. yy 軸まわりの断面二次モーメント II を求めよ。
  2. 中立面の曲率半径を rr とし、z=z∗z=z^* の繊維の軸ひずみを求めよ。
  3. 曲げモーメントと下向きたわみの関係 M=−EIw′′M=-EIw'' を導け。1/r=−w′′1/r=-w'' を用いてよい。
  4. 自重によるたわみ曲線を求めよ。
  5. 中央断面の σx(z)\sigma_x(z) を求めよ。
  6. 中央断面の横ひずみ εy(z)\varepsilon_y(z) を求めよ。

構造・座標の模式図

题目描述​

I：两根等长并联杆以刚体连接，一根为理想弹塑性杆，另一根为弹性杆。求首次屈服荷载、继续加载后的位移，以及完全卸载后的残余应力与共同总应变。题目规定塑性杆卸载直线可继续进入压缩区。

II：正方形截面简支梁受自重，求截面惯性矩、弯曲应变和挠曲方程、自重挠度、跨中纵向应力与横向泊松应变。

Kai​

I​

K=A1E1+A2E2K=A_1E_1+A_2E_2 とおく。

(1) 弾性域では P=KεP=K\varepsilon、u=Lεu=L\varepsilon。①の降伏ひずみは σy/E1\sigma_y/E_1 なので

Py=KσyE1,uy=LσyE1.\boxed{P_y=\frac{K\sigma_y}{E_1},\qquad u_y=\frac{L\sigma_y}{E_1}}.

(2) 降伏後は σ1=σy\sigma_1=\sigma_y、Pa=A1σy+A2E2ua/LP_a=A_1\sigma_y+A_2E_2u_a/L より

ua=L(Pa−A1σy)A2E2.\boxed{u_a=\frac{L(P_a-A_1\sigma_y)}{A_2E_2}}.

(3) 除荷中の共通ひずみ減分は Δε=−Pa/K\Delta\varepsilon=-P_a/K。したがって残留応力は

σ1r=σy−E1PaK,σ2r=Pa−A1σyA2−E2PaK.\boxed{\sigma_{1r}=\sigma_y-\frac{E_1P_a}{K}},\qquad \boxed{\sigma_{2r}=\frac{P_a-A_1\sigma_y}{A_2}-\frac{E_2P_a}{K}}.

両棒の総ひずみは共通で

ε1r=ε2r=Pa−A1σyA2E2−PaK.\boxed{\varepsilon_{1r}=\varepsilon_{2r}= \frac{P_a-A_1\sigma_y}{A_2E_2}-\frac{P_a}{K}}.

①には塑性ひずみが残るため、総ひずみを σ1r/E1\sigma_{1r}/E_1 としてはならない。A1σ1r+A2σ2r=0A_1\sigma_{1r}+A_2\sigma_{2r}=0 である。

II​

(1) I=∫−a/2a/2az2 dz=a4/12\boxed{I=\int_{-a/2}^{a/2}az^2\,dz=a^4/12}。

(2) 中立面の長さ r dθr\,d\theta に対し、繊維は (r+z∗)dθ(r+z^*)d\theta となるので

εx=z∗/r.\boxed{\varepsilon_x=z^*/r}.

(3) σx=Ez/r\sigma_x=Ez/r より M=∫Aσxz dA=EI/rM=\int_A\sigma_xz\,dA=EI/r。よって

M=−EId2wdx2.\boxed{M=-EI\frac{d^2w}{dx^2}}.

(4) 単位長さあたりの自重を q=ρa2gq=\rho a^2g とすると M=qx(L−x)/2M=q x(L-x)/2。w(0)=w(L)=0w(0)=w(L)=0 を用いて積分し、

w(x)=q24EI(x4−2Lx3+L3x)=ρg2Ea2(x4−2Lx3+L3x).\boxed{w(x)=\frac{q}{24EI}(x^4-2Lx^3+L^3x) =\frac{\rho g}{2Ea^2}(x^4-2Lx^3+L^3x)}.

(5) 中央の曲げモーメントは qL2/8qL^2/8 なので

σx(z)=3ρgL22a2z,−a/2≤z≤a/2.\boxed{\sigma_x(z)=\frac{3\rho gL^2}{2a^2}z},\qquad -a/2\le z\le a/2.

(6) 自由側面では σy=0\sigma_y=0。したがって

εy(z)=−νσx(z)E=−3νρgL22Ea2z.\boxed{\varepsilon_y(z)=-\nu\frac{\sigma_x(z)}{E}=-\frac{3\nu\rho gL^2}{2Ea^2}z}.

Reference​

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