東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2014年8月実施 問題 2 設問 II

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

単位奥行きの二次元直角エルボを、密度 $\rho$ の流体が定常に流れる。入口 AB から角部 CD までの幅は $W$、下流側 DF から出口 IJ までの幅は $aW\;(0<a<1)$。入口速度・静圧を $V,P_{AB}$ とする。壁面摩擦と重力を無視する。

内側角 D で剥離し、断面 GH で流れが幅 $caW\;(0<c<1)$ に縮流する。縮流部の速度 $V_{GH}$ は一様、断面全体の圧力 $P_{GH}$ は一様であり、その後、出口 IJ で幅 $aW$ 全体に一様な流れへ回復する。

(1) 入口から縮流部まで全圧損失がないとして、$V_{GH}$ を $V,P_{AB},P_{GH},\rho$ で表せ。

(2) 曲がり外側の壁 CE の圧力を $P_{CE}=P_{AB}+\gamma\rho V^2/2\;(0<\gamma<1)$ とする。CD を横切る水平方向運動量を無視して、$c,a,\gamma$ の関係を求めよ。

(3) 入口 AB と出口 IJ の全圧差を $a,V,\rho,\gamma$ で表せ。

题目描述

二维直角弯管上游宽 $W$，下游宽 $aW$；入口速度 $V$、压力 $P_{AB}$。内角分离后在 GH 缩流为宽 $caW$ 的均匀射流，最终恢复为整个下游截面的均匀流。给定外壁压力 $P_{CE}=P_{AB}+\gamma\rho V^2/2$，忽略壁面摩擦、重力和转弯入口的水平动量，求缩流速度、缩流系数关系及全压损失。

Kai

(1)

$$P_{AB}+\frac12\rho V^2=P_{GH}+\frac12\rho V_{GH}^2,$$

$$\boxed{V_{GH}=\sqrt{V^2+\frac{2(P_{AB}-P_{GH})}{\rho}}}.$$

(2)

連続の式から $V_{GH}=V/(ac)$。曲がり部の水平運動量収支は

$$(P_{CE}-P_{GH})aW=\rho(caW)V_{GH}^2.$$

(1) と壁面圧力の条件を代入し、

$$\boxed{\gamma-1+\frac{1-2c}{a^2c^2}=0}.$$

同値な陽表示は $\displaystyle c=1/[1+\sqrt{1+(1-\gamma)a^2}]$ である。

(3)

出口速度は $V_{IJ}=V/a$。CE から IJ までの水平運動量収支より

$$(P_{CE}-P_{IJ})aW=\rho aWV_{IJ}^2,$$

$$P_{IJ}=P_{AB}+\frac12\gamma\rho V^2-\frac{\rho V^2}{a^2}.$$

したがって全圧損失は

$$\boxed{\Delta P_t=P_{AB}+\frac12\rho V^2-\left(P_{IJ}+\frac12\rho V_{IJ}^2\right) =\frac12\rho V^2\left(1-\gamma+\frac1{a^2}\right)}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2015年度）
• SN の解答・解説