東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2014年8月実施 問題 2 設問 II

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• 控制体动量守恒
• 局部水头损失
• 伯努利方程

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 2-3 に示すような奥行き方向に一様な 2 次元曲がりエルボの中を，一定の密度 $\rho$ の流体が流れている。流れは定常で，内側の角部 D から剥離し，断面 G-H で最も増速したのち，十分下流の断面 I-J で一様な速度で流出している。断面 A-B から断面 C-D までの流路幅を $W$，断面 D-F から断面 I-J までの流路幅を $aW$（$0<a<1$）とする。また，断面 A-B における速度を $V$，静圧を $P_{\mathrm{AB}}$ とする。なお，壁面摩擦および重力の影響は無視できる。このとき，以下の設問に答えよ。

(1) 断面 G-H において流れは縮流するため，増速域の流れの幅は流路幅 $aW$ の $c$ 倍（$0<c<1$），すなわち $caW$ になっているものとする。ここで，幅 $caW$ の増速域における速度 $V_{\mathrm{GH}}$ は一様であるとする。増速域における速度 $V_{\mathrm{GH}}$ を $a,W,V,P_{\mathrm{AB}},P_{\mathrm{GH}},\rho$ の中から必要なものを用いて表せ。ただし，加速流れの全圧損失は無視できるものとする。また，断面 G-H の静圧 $P_{\mathrm{GH}}$ は一様であるとする。

(2) 続いて，縮流の割合 $c$ について考える。壁面 C-E における壁面上の静圧 $P_{\mathrm{CE}}$ は，断面 A-B における静圧より $\gamma\rho V^2/2$ だけ高いものとする。すなわち，$P_{\mathrm{CE}}=P_{\mathrm{AB}}+\gamma\rho V^2/2$（$0<\gamma<1$）とする。このとき，$c,a,\gamma$ の間に成り立つ関係を求めよ。なお，断面 C-D を通過する流れの横方向の運動量成分は無視できるものとする。

(3) 以上の結果を用いて，入口断面 A-B から出口断面 I-J までの曲がりエルボの全圧損失を $a,V,\rho,\gamma$ を用いて記述せよ。

题目描述

如图 2-3，密度恒为 $\rho$ 的流体在沿纵深方向均匀的二维弯管中定常流动。流动从内侧拐角 D 处分离，在截面 G-H 处速度最大，之后在充分下游的截面 I-J 以均匀速度流出。从截面 A-B 到 C-D 的通道宽度为 $W$，从截面 D-F 到 I-J 的通道宽度为 $aW$，其中 $0<a<1$。截面 A-B 的速度为 $V$，静压为 $P_{\mathrm{AB}}$。忽略壁面摩擦和重力的影响。

(1) 在截面 G-H 发生缩流，加速区的宽度为通道宽 $aW$ 的 $c$ 倍，即 $caW$，其中 $0<c<1$。该宽度内的速度 $V_{\mathrm{GH}}$ 均匀。从 $a,W,V,P_{\mathrm{AB}},P_{\mathrm{GH}},\rho$ 中选取必要的量，表示加速区速度 $V_{\mathrm{GH}}$。忽略加速过程的总压损失，截面 G-H 的静压 $P_{\mathrm{GH}}$ 为均匀分布。

(2) 考虑缩流比例 $c$。壁面 C-E 上的静压 $P_{\mathrm{CE}}$ 比截面 A-B 的静压高 $\gamma\rho V^2/2$，即 $P_{\mathrm{CE}}=P_{\mathrm{AB}}+\gamma\rho V^2/2$，其中 $0<\gamma<1$。求 $c,a,\gamma$ 之间的关系。忽略通过截面 C-D 的流动所具有的横向动量分量。

(3) 利用以上结果，用 $a,V,\rho,\gamma$ 表示从入口截面 A-B 到出口截面 I-J 的弯管总压损失。

Kai

(1)

$$P_{AB}+\frac12\rho V^2=P_{GH}+\frac12\rho V_{GH}^2,$$

$$\boxed{V_{GH}=\sqrt{V^2+\frac{2(P_{AB}-P_{GH})}{\rho}}}.$$

(2)

連続の式から $V_{GH}=V/(ac)$。曲がり部の水平運動量収支は

$$(P_{CE}-P_{GH})aW=\rho(caW)V_{GH}^2.$$

(1) と壁面圧力の条件を代入し、

$$\boxed{\gamma-1+\frac{1-2c}{a^2c^2}=0}.$$

同値な陽表示は $\displaystyle c=1/[1+\sqrt{1+(1-\gamma)a^2}]$ である。

(3)

出口速度は $V_{IJ}=V/a$。CE から IJ までの水平運動量収支より

$$(P_{CE}-P_{IJ})aW=\rho aWV_{IJ}^2,$$

$$P_{IJ}=P_{AB}+\frac12\gamma\rho V^2-\frac{\rho V^2}{a^2}.$$

したがって全圧損失は

$$\boxed{\begin{gathered} \Delta P_t=P_{AB}+\frac12\rho V^2-\left(P_{IJ}+\frac12\rho V_{IJ}^2\right)\\ =\frac12\rho V^2\left(1-\gamma+\frac1{a^2}\right) \end{gathered}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2015年度）
• SN の解答・解説