東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2014年8月実施 問題 2 設問 I

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

主流速度 $U$ の一様流中に多孔質平板を置き、壁面から一様速度 $v_0>0$ で吸い込む。壁面 $y=0$ で $u=0,v=-v_0$。密度 $\rho$、粘性係数 $\mu$ は一定、$v_0\ll U$、圧力勾配のない二次元定常層流とする。

(1) 境界層厚さを $\delta(x)$、内部の単位幅質量流量を $F(x)$ とする。区間 $[x,x+\Delta x]$ で壁面から境界層外縁までの検査体積をとり、外縁面 AD から流入する質量流量 $\dot m$ を $\rho,v_0,F',\Delta x$ で表せ。

(2) 運動量厚さ $\theta=\int_0^\delta(u/U)(1-u/U)dy$ と壁面せん断応力 $\tau_0>0$ の関係を、運動量保存則から導け。

(3) $0\le y\le\delta$ で $u/U=2(y/\delta)-(y/\delta)^2$、外側で $u=U$ と近似し、$\delta(x)$ の微分方程式を求めよ。

(4) $v_0=0,\delta(0)=0$ として解け。(5) 吸込みの有無による $\delta(x)$ の概形を図示し比較せよ。(6) $v_0>0$ の十分下流における $\delta,\tau_0$ を、同じ速度分布近似で求めよ。

题目描述

主流速度 $U$ 的零压梯层流边界层沿多孔平板发展，壁面法向速度为 $-v_0$。建立控制体质量与动量关系；用给定二次速度剖面求边界层厚度方程，解无吸入情形并绘图比较，最后求有吸入时远下游的极限厚度及壁面切应力。

Kai

(1)

$F(x)+\dot m=F(x+\Delta x)+\rho v_0\Delta x$ より、

$$\boxed{\dot m=\left(\frac{dF}{dx}+\rho v_0\right)\Delta x}.$$

(2)

壁面を通る流体の $x$ 方向速度は零、AD から入る流体の速度は $U$。よって

$$-\tau_0\Delta x=\rho\frac d{dx}\int_0^\delta u^2dy\,\Delta x-U\dot m.$$

$F=\rho\int_0^\delta udy$ を代入して、

$$\boxed{\rho U^2\frac{d\theta}{dx}=\tau_0-\rho Uv_0}.$$

(3)

$\eta=y/\delta$ とおくと、

$$\theta=\delta\int_0^1(2\eta-\eta^2)(1-2\eta+\eta^2)d\eta=\frac{2\delta}{15},\qquad \tau_0=\mu u_y(x,0)=\frac{2\mu U}{\delta}.$$

したがって $\nu=\mu/\rho$ として、

$$\boxed{\frac{2U}{15}\frac{d\delta}{dx}=\frac{2\nu}{\delta}-v_0}.$$

(4)

$v_0=0$ のとき $\delta\delta'=15\nu/U$。初期条件より

$$\boxed{\delta(x)=\sqrt{\frac{30\nu x}{U}}}.$$

(5)

吸込みは低速の流体を除去するので、同じ $x$ で境界層は薄くなる。吸込みなしでは $\sqrt{x}$ に比例して成長し、吸込みありでは単調増加して一定厚さに漸近する。

(6)

(3) で $\delta'\to0$ とすれば、

$$\boxed{\delta_\infty=\frac{2\nu}{v_0}=\frac{2\mu}{\rho v_0}},\qquad \boxed{\tau_{0,\infty}=\frac{2\mu U}{\delta_\infty}=\rho Uv_0}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2015年度）
• SN の解答・解説