東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2014年8月実施 問題 2 設問 I

标签：

• 东京大学
• 边界层
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 2-1 に示すように，速度 $U$ の一様流中に置かれた平板上に発達する層流境界層を考える。主流の $x$ 方向の圧力勾配は十分に小さく，無視できる。平板は多孔質材料で作られており，流体が下向きに吸い込まれている。平板上（$y=0$）において流体がもつ速度は一様で，$x$ 方向成分が $u=0$，$y$ 方向成分が $v=-v_0$（$v_0\ge0$）である。流体の密度は $\rho$，粘性係数は $\mu$ で一定であり，流れは 2 次元かつ定常状態であるとする。また，吸い込み速度 $v_0$ は主流速度 $U$ と比べて十分に小さく，$y$ 方向の圧力勾配は無視できるものとする。このとき以下の設問に答えよ。

(1) 流れ方向の位置 $x$ における境界層の厚さを $\delta(x)$，境界層内の質量流量（紙面垂直方向について単位幅当たり）を $F(x)$ とする。図 2-2 に示す検査体積 ABCD を考えたとき，面 AD から検査体積内に流入する流体の質量流量 $\dot m$ を $\rho,v_0,dF/dx,\Delta x$ を用いて表せ。

(2) 境界層の運動量厚さ $\theta(x)$ を以下のように定義する。

$$\theta(x)=\int_0^\delta\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy \tag{1}$$

図 2-2 に示す検査体積 ABCD に対して $x$ 方向の運動量の保存式を考えることで，運動量厚さ $\theta$ の流れ方向（$x$ 方向）への変化を記述する微分方程式を導出せよ。ただし，面 BC に働くせん断応力を $\tau_0$（$>0$）とする。

(3) 境界層内の速度分布を以下のように近似する。

$$\frac{u}{U}=\begin{cases} 2\left(\dfrac{y}{\delta}\right)-\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^2,&0\le y\le\delta,\\ 1,&y>\delta. \end{cases} \tag{2}$$

このとき，境界層の厚さ $\delta$ の流れ方向（$x$ 方向）への変化を記述する微分方程式を求めよ。

(4) 平板への流体の吸い込みがないとき（$v_0=0$），設問 (3) で求めた微分方程式を解くことにより，境界層の厚さ $\delta$ を $x$ の関数として求めよ。ただし，平板先端（$x=0$）において境界層の厚さは $\delta=0$ であるとする。

(5) 平板への流体の吸い込みがないとき（$v_0=0$）と，吸い込みがあるとき（$v_0>0$）の両方の場合について，境界層の厚さ $\delta$ の流れ方向への変化の概略を，$x$ を横軸としたグラフに図示せよ。さらに，両者の差異について文章で簡潔に説明せよ。

(6) 平板への流体の吸い込みがあるとき（$v_0>0$），十分下流における境界層の厚さ $\delta$ と壁面せん断応力 $\tau_0$ を求めよ。ただし，境界層内の速度分布は式 (2) で表されるものとする。

题目描述

如图 2-1，考虑速度为 $U$ 的均匀流中平板上发展的层流边界层。主流沿 $x$ 方向的压力梯度很小，可以忽略。平板由多孔材料制成，流体被向下吸入。在平板表面 $y=0$，流体速度均匀，$x$ 方向分量为 $u=0$，$y$ 方向分量为 $v=-v_0$，其中 $v_0\ge0$。流体密度 $\rho$ 和黏度 $\mu$ 均恒定，流动为二维定常流。吸入速度 $v_0$ 远小于主流速度 $U$，忽略 $y$ 方向的压力梯度。

(1) 在流向位置 $x$，边界层厚度为 $\delta(x)$，边界层内单位垂直纸面宽度的质量流量为 $F(x)$。对于图 2-2 的控制体 ABCD，用 $\rho,v_0,dF/dx,\Delta x$ 表示经 AD 面流入控制体的质量流量 $\dot m$。

(2) 动量厚度定义为

$$\theta(x)=\int_0^\delta\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy.$$

对图 2-2 的控制体 ABCD 写出 $x$ 方向动量守恒关系，从而推导描述动量厚度 $\theta$ 沿流向（$x$ 方向）变化的微分方程。BC 面上的剪应力为 $\tau_0>0$。

(3) 采用式 (2) 的速度分布近似：在 $0\le y\le\delta$ 内，$u/U=2(y/\delta)-(y/\delta)^2$；在 $y>\delta$ 时，$u/U=1$。求描述边界层厚度 $\delta$ 沿流向变化的微分方程。

(4) 无吸入，即 $v_0=0$ 时，解 (3) 的方程，求 $\delta(x)$。平板前缘 $x=0$ 处满足 $\delta=0$。

(5) 分别画出无吸入（$v_0=0$）及有吸入（$v_0>0$）时边界层厚度 $\delta$ 随流向变化的概略图，横轴取 $x$；并用文字简要说明两者的差异。

(6) 有吸入（$v_0>0$）时，求充分下游处的边界层厚度 $\delta$ 和壁面剪应力 $\tau_0$。仍采用式 (2) 的速度分布。

Kai

(1)

$F(x)+\dot m=F(x+\Delta x)+\rho v_0\Delta x$ より、

$$\boxed{\dot m=\left(\frac{dF}{dx}+\rho v_0\right)\Delta x}.$$

(2)

壁面を通る流体の $x$ 方向速度は零、AD から入る流体の速度は $U$。よって

$$-\tau_0\Delta x=\rho\frac d{dx}\int_0^\delta u^2dy\,\Delta x-U\dot m.$$

$F=\rho\int_0^\delta udy$ を代入して、

$$\boxed{\rho U^2\frac{d\theta}{dx}=\tau_0-\rho Uv_0}.$$

(3)

$\eta=y/\delta$ とおくと、

$$\begin{gathered} \theta=\delta\int_0^1(2\eta-\eta^2)(1-2\eta+\eta^2)d\eta=\frac{2\delta}{15},\\ \tau_0=\mu u_y(x,0)=\frac{2\mu U}{\delta}. \end{gathered}$$

したがって $\nu=\mu/\rho$ として、

$$\boxed{\frac{2U}{15}\frac{d\delta}{dx}=\frac{2\nu}{\delta}-v_0}.$$

(4)

$v_0=0$ のとき $\delta\delta'=15\nu/U$。初期条件より

$$\boxed{\delta(x)=\sqrt{\frac{30\nu x}{U}}}.$$

(5)

吸込みは低速の流体を除去するので、同じ $x$ で境界層は薄くなる。吸込みなしでは $\sqrt{x}$ に比例して成長し、吸込みありでは単調増加して一定厚さに漸近する。

(6)

(3) で $\delta'\to0$ とすれば、

$$\begin{gathered} \boxed{\delta_\infty=\frac{2\nu}{v_0}=\frac{2\mu}{\rho v_0}},\\ \boxed{\tau_{0,\infty}=\frac{2\mu U}{\delta_\infty}=\rho Uv_0}. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2015年度）
• SN の解答・解説