東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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• 东京大学
• 非稳态导热
• 热扩散率测定
• 集总参数法与海斯勒图

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

固体内の非定常熱伝導を利用して，固体の熱拡散率（温度伝導率）を測定する実験について考える。固体と周囲は断熱されており，単位面積あたりの熱通過率や熱拡散率，熱伝導率は，温度や時間によらず一定とする。

図 1-1 のように，円柱の端面に厚さ $\delta$，面積 $A$ の薄膜ヒーターを密着させた。円柱は，一定かつ一様な温度 $T_0$ の熱浴とみなせる。ただし，薄膜ヒーターと円柱の間の単位面積あたりの熱通過率を $h$，薄膜ヒーターの熱拡散率を $a$，熱伝導率を $\lambda$，温度を $T$ とする。また，熱は円柱軸方向にのみ伝わる一次元熱伝導とする。以下の設問に答えよ。

(1) 時刻 $t=0$ において，薄膜ヒーターの単位時間あたりの発熱量が一定値 $Q$ になるように通電をはじめた。このとき，温度 $T$ が時刻 $t>0$ において満たす熱輸送方程式を記述し，温度 $T$ が式 (1) で記述できることを示せ。ただし，薄膜ヒーターは十分に薄く，内部は均一の温度とみなせ，時刻 $t=0$ で，薄膜ヒーターと円柱の温度は等しいとする。

$$T=T_0+\frac{Q/A}{h}\left[1-\exp\left\{-\frac{t}{\delta\lambda/(ha)}\right\}\right] \tag{1}$$

次に，薄膜ヒーターの発熱量 $Q$ を周期的に変化させることで，温度 $T$ が，時間平均温度 $T_{s0}$，温度振幅 $\Delta T_{s0}$，角周波数 $\omega$ の正弦波状に変化するように制御する。この薄膜ヒーターに，図 1-2 のように薄膜ヒーターの面積より十分に小さい断面積をもつ初期温度 $T_{s0}$，熱拡散率 $a_s$ の円柱棒を接触させ，円柱棒の接触端面の温度を周期的に変化させた。ただし，円柱棒と薄膜ヒーター間の熱通過率は無限大であり，薄膜ヒーターから円柱棒への熱の移動による薄膜ヒーターの温度変化は無視できる。また，円柱棒は十分に長く，薄膜ヒーターと接触していない端面は常に円柱棒の初期温度 $T_{s0}$ であるとする。図 1-2 のように円柱棒軸方向に $x$ 座標をとり，円柱棒と薄膜ヒーターの接触面を $x=0$ と定義する。熱は軸方向にのみ伝わる一次元熱伝導とする。以下の設問に答えよ。

(2) このときの円柱棒の温度分布 $T_s$ は，式 (2) に従う。円柱棒の温度 $T_s$ が満たす熱伝導方程式と境界条件を示せ。また，式 (2) の未知の定数，$m,n,p$ を求めよ。

$$T_s=m\exp(nx)\sin(\omega t+px)+T_{s0} \tag{2}$$

(3) 円柱棒の軸方向に距離 $\Delta x$ だけ離れた 2 点における温度の時間変化の位相差が $\Delta\phi$ であるとき，この円柱棒の熱拡散率 $a_s$ を，$\Delta x,\Delta\phi,\omega$ で示せ。さらに，この 2 点における温度振幅の比が $r_s$ であるとき，この円柱棒の熱拡散率 $a_s$ を，$\Delta x,r_s,\omega$ で示せ。

(4) 薄膜ヒーターの温度が正弦波状に変化するために必要な，角周波数 $\omega$ が満たすべき条件を，$\delta,h,a,\lambda$ を用いて示し，その理由を説明せよ。

题目描述

考虑利用固体内非稳态导热测量固体热扩散率的实验。固体与周围绝热，单位面积热传递系数、热扩散率和导热系数均不随温度及时间变化。

如图 1-1，将厚度 $\delta$、面积 $A$ 的薄膜加热器紧贴圆柱端面。圆柱可视为温度恒定且均匀为 $T_0$ 的热浴。加热器与圆柱之间单位面积的热传递系数为 $h$，加热器的热扩散率为 $a$、导热系数为 $\lambda$、温度为 $T$。仅考虑沿圆柱轴向的一维导热。

(1) 在 $t=0$ 开始通电，使加热器单位时间发热量保持为 $Q$。写出 $t>0$ 时温度 $T$ 满足的热输运方程，并证明温度可由式 (1) 表示。加热器足够薄，其内部温度均匀；$t=0$ 时加热器与圆柱温度相同。

$$T=T_0+\frac{Q/A}{h}\left[1-\exp\left\{-\frac{t}{\delta\lambda/(ha)}\right\}\right].$$

接下来周期改变发热量 $Q$，控制温度 $T$ 按平均温度 $T_{s0}$、振幅 $\Delta T_{s0}$、角频率 $\omega$ 的正弦波变化。如图 1-2，在加热器上接触一根初温为 $T_{s0}$、热扩散率为 $a_s$ 的圆柱棒，其截面积远小于加热器面积，使棒的接触端面温度周期变化。棒与加热器间的热传递系数为无穷大，加热器向棒传热引起的加热器温度变化可忽略。棒足够长，未接触加热器的一端始终保持初温 $T_{s0}$。沿棒轴取坐标 $x$，接触面为 $x=0$，只考虑轴向一维导热。

(2) 此时圆柱棒温度分布 $T_s$ 满足式 (2)：

$$T_s=m\exp(nx)\sin(\omega t+px)+T_{s0}.$$

写出 $T_s$ 满足的导热方程与边界条件，并求未知常数 $m,n,p$。

(3) 沿棒轴相距 $\Delta x$ 的两点，其温度随时间变化的相位差为 $\Delta\phi$。用 $\Delta x,\Delta\phi,\omega$ 表示热扩散率 $a_s$。再设这两点的温度振幅比为 $r_s$，用 $\Delta x,r_s,\omega$ 表示 $a_s$。

(4) 用 $\delta,h,a,\lambda$ 表示加热器温度能够按正弦波变化所需的角频率 $\omega$ 条件，并说明理由。

Kai

(1)

体積熱容量は $\lambda/a$ なので

$$\begin{gathered} \frac{\lambda}{a}A\delta\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=Q-hA(T-T_0),\\ T(0)=T_0. \end{gathered}$$

時定数 $\tau=\delta\lambda/(ha)$ を用いると

$$\boxed{T=T_0+\frac{Q}{Ah}(1-e^{-t/\tau})}.$$

(2)

棒の微小区間の熱収支とフーリエの法則より

$$\begin{gathered} \boxed{\frac{\partial T_s}{\partial t}=a_s\frac{\partial^2T_s}{\partial x^2}},\\ T_s(0,t)=T_{s0}+\Delta T_{s0}\sin\omega t,\\ T_s(\infty,t)=T_{s0}. \end{gathered}$$

与式を代入すると $n^2=p^2$、$2a_snp=\omega$。遠方で減衰する条件 $n<0$ より、定常周期応答は

$$\boxed{m=\Delta T_{s0},\qquad n=p=-\sqrt{\frac{\omega}{2a_s}}},$$

$$\boxed{\begin{gathered} T_s=T_{s0}+\Delta T_{s0}e^{-kx}\sin(\omega t-kx),\\ k=\sqrt{\frac{\omega}{2a_s}} \end{gathered}}.$$

(3)

上流側振幅を下流側振幅で割った比を $r_s$ とすると

$$\Delta\phi=k\Delta x,\qquad \ln r_s=k\Delta x.$$

したがって

$$\boxed{a_s=\frac{\omega(\Delta x)^2}{2(\Delta\phi)^2} =\frac{\omega(\Delta x)^2}{2(\ln r_s)^2}}.$$

(4)

発熱量の変調に温度を十分追従させる条件は、熱応答時間が変調時間より十分短いこと、すなわち

$$\boxed{\omega\tau=\frac{\omega\delta\lambda}{ha}\ll1}.$$

このとき $T-T_0\simeq Q(t)/(hA)$ で、振幅の減衰と位相遅れが小さい。薄膜内部の温度一様性にも $\omega\delta^2/a\ll1$ を要する。

なお、線形な集中熱容量モデルでは、任意の $\omega$ でも過渡項の消滅後の正弦波入力に対する応答は正弦波であり、その振幅比は $1/\sqrt{1+(\omega\tau)^2}$、位相遅れは $\tan^{-1}(\omega\tau)$ である。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答