東京大学工学系研究科機械工学専攻 2015年度機械工学第1部問題1 II

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

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厚さ $\delta$ 、面積 $A$ の薄膜ヒーターを一定温度 $T_0$ の熱浴に密着させる。接触熱通過率は $h$ 、ヒーターの熱拡散率は $a$ 、熱伝導率は $\lambda$ 。ヒーター内部の温度 $T$ は一様で、周囲への熱損失を無視する。

初め $T=T_0$ とし、時刻0から一定の発熱量率 $Q$ を与える。熱収支式を立て、 $T=T_0+(Q/Ah)[1-\exp\{-hat/(\delta\lambda)\}]$ を示せ。
ヒーター温度を $T_{s0}+\Delta T_{s0}\sin\omega t$ とし、その面に十分細長い棒を完全熱接触させる。棒は側面断熱、熱拡散率 $a_s$ 、遠端温度 $T_{s0}$ で、ヒーター温度への影響は無視する。接触面を $x=0$ とし、熱伝導方程式と境界条件を示せ。周期応答 $T_s=T_{s0}+m e^{nx}\sin(\omega t+px)$ の $m,n,p$ を求めよ。
間隔 $\Delta x$ の2点で測った位相差 $\Delta\phi$ 、または温度振幅比 $r_s$ を用い、 $a_s$ を求めよ。
ヒーター温度を正弦波状に制御するための角周波数の条件を $\delta,h,a,\lambda$ で示し、理由を説明せよ。

题目描述

薄膜加热器与恒温热浴接触，已知厚度、接触传热系数、热扩散率和导热系数。建立恒功率加热的集中热容方程并求温度响应。再把加热器温度周期性变化施加于侧面绝热的半无限长细棒，求温度波的衰减与相位，利用两点相位差或振幅比反求热扩散率，并讨论加热器跟随温度调制所需的频率条件。

Kai

(1)

体積熱容量は $\lambda/a$ なので

\frac{\lambda}{a}A\delta\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=Q-hA(T-T_0),\qquad T(0)=T_0.

時定数 $\tau=\delta\lambda/(ha)$ を用いると

\boxed{T=T_0+\frac{Q}{Ah}(1-e^{-t/\tau})}.

(2)

棒の微小区間の熱収支とフーリエの法則より

\boxed{\frac{\partial T_s}{\partial t}=a_s\frac{\partial^2T_s}{\partial x^2}},\quad T_s(0,t)=T_{s0}+\Delta T_{s0}\sin\omega t,\quad T_s(\infty,t)=T_{s0}.

与式を代入すると $n^2=p^2$ 、 $2a_snp=\omega$ 。遠方で減衰する条件 $n<0$ より、定常周期応答は

\boxed{m=\Delta T_{s0},\qquad n=p=-\sqrt{\frac{\omega}{2a_s}}},

\boxed{T_s=T_{s0}+\Delta T_{s0}e^{-kx}\sin(\omega t-kx),\qquad k=\sqrt{\frac{\omega}{2a_s}}}.

(3)

上流側振幅を下流側振幅で割った比を $r_s$ とすると

\Delta\phi=k\Delta x,\qquad \ln r_s=k\Delta x.

したがって

\boxed{a_s=\frac{\omega(\Delta x)^2}{2(\Delta\phi)^2} =\frac{\omega(\Delta x)^2}{2(\ln r_s)^2}}.

(4)

発熱量の変調に温度を十分追従させる条件は、熱応答時間が変調時間より十分短いこと、すなわち

\boxed{\omega\tau=\frac{\omega\delta\lambda}{ha}\ll1}.

このとき $T-T_0\simeq Q(t)/(hA)$ で、振幅の減衰と位相遅れが小さい。薄膜内部の温度一様性にも $\omega\delta^2/a\ll1$ を要する。

なお、線形な集中熱容量モデルでは、任意の $\omega$ でも過渡項の消滅後の正弦波入力に対する応答は正弦波であり、その振幅比は $1/\sqrt{1+(\omega\tau)^2}$ 、位相遅れは $\tan^{-1}(\omega\tau)$ である。

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