東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2015年度 機械工学第1部 問題1 I

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• Tokyo-University
• Stirling-Cycle
• Phase-Equilibrium
• Entropy

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

$n$ mol の作動物質が、$1\to2$：温度 $T_L$ で体積 $V_H\to V_L$ の等温圧縮、$2\to3$：体積 $V_L$ で $T_L\to T_H$ の等容加熱、$3\to4$：温度 $T_H$ で $V_L\to V_H$ の等温膨張、$4\to1$：体積 $V_H$ で $T_H\to T_L$ の等容冷却、からなる可逆スターリングサイクルを行う。$T_H>T_L$、$V_H>V_L$、気体定数は $R_0$、状態1のエントロピーは $S_1$ とする。

(1) 作動物質をモル定容比熱 $C_V$ が一定の理想気体とする。

1. 圧力 $P_1,P_3$ を求めよ。
2. 吸熱を正とする $Q_{12},Q_{23}$、外部への仕事を正とする $W_{12},W_{23}$ を求めよ。等容過程の熱を完全に再生できる場合の熱効率を求めよ。
3. $S_2,S_3$ を求めよ。

(2) 作動物質は気液相変化をする。蒸気は理想気体とみなし、液体のモル体積は無視する。等温圧縮中の状態 $1a$ で凝縮が始まり、その後は状態3まで気液共存する。状態 $1a,3$ は乾き飽和蒸気とし、飽和蒸気圧を $P_{\rm sat}(T)$、モル蒸発潜熱を $L_m$ とする。

1. $V_{1a}$ を求め、飽和蒸気線と状態 $1,1a,2,3$ を含む $P$–$V$ 線図を描け。
2. $S_{1a},S_2$ を求めよ。

题目描述

$n$ mol 工质进行由低温等温压缩、等容加热、高温等温膨胀、等容冷却组成的可逆斯特林循环。先把工质视为理想气体，求指定状态压力、过程热量和功、完全回热时的效率及状态熵。再考虑在压缩过程中开始凝结、至状态3保持两相共存的情形，忽略液体体积，求凝结开始体积、绘制含饱和蒸气线的循环图，并计算相应熵。

Kai

(1)

理想気体の状態式より

$$\boxed{P_1=\frac{nR_0T_L}{V_H},\qquad P_3=\frac{nR_0T_H}{V_L}}.$$

等温過程では $\Delta U=0$、等容過程では $W=0$ なので

$$\boxed{Q_{12}=W_{12}=nR_0T_L\ln\frac{V_L}{V_H}},\qquad \boxed{Q_{23}=nC_V(T_H-T_L),\quad W_{23}=0}.$$

完全再生なら外部からの吸熱は $Q_{34}=nR_0T_H\ln(V_H/V_L)$ のみ。したがって

$$\boxed{\eta=\frac{nR_0(T_H-T_L)\ln(V_H/V_L)}{nR_0T_H\ln(V_H/V_L)}=1-\frac{T_L}{T_H}}.$$

$\mathrm dS=nC_V\mathrm dT/T+nR_0\mathrm dV/V$ より

$$\boxed{S_2=S_1+nR_0\ln\frac{V_L}{V_H}},\qquad \boxed{S_3=S_2+nC_V\ln\frac{T_H}{T_L}}.$$

(2)

凝縮開始時は全量が飽和蒸気なので

$$\boxed{V_{1a}=\frac{nR_0T_L}{P_{\rm sat}(T_L)}}.$$

$1\to1a$ は等温圧縮、$1a\to2$ は等温・等圧凝縮、$2\to3$ は等容加熱である。

$$\boxed{S_{1a}=S_1+nR_0\ln\frac{V_{1a}}{V_H}}.$$

状態2の蒸気量は $n_v=P_{\rm sat}(T_L)V_L/(R_0T_L)=nV_L/V_{1a}$。凝縮量 $n-n_v$ の放熱を用いて

$$\boxed{S_2=S_{1a}-\frac{nL_m}{T_L}\left(1-\frac{V_L}{V_{1a}}\right)}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答