東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 斯特林循环
• 相平衡
• 热力学熵

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の四つの過程からなるスターリングエンジンを考える。状態 1 から状態 2 は温度 $T_L$ での等温圧縮過程，状態 2 から状態 3 は体積 $V_L$ での等積加熱過程，状態 3 から状態 4 は温度 $T_H$ での等温膨張過程，状態 4 から状態 1 は体積 $V_H$ での等積冷却過程とする。作動流体のモル数を $n$，状態 1 でのエントロピーを $S_1$ とし，一般気体定数を $R_0$ とする。

(1) 作動流体が理想気体であるとし，モル定積比熱を $C_v$ とする。以下の設問に答えよ。

1. 状態 1 および状態 3 における圧力 $P_1,P_3$ を求めよ。

2. 状態 $i$ から $j$ の過程において，外から受け取る熱量を $Q_{ij}$，外へする仕事を $W_{ij}$ とするとき，$Q_{12},Q_{23},W_{12},W_{23}$ をそれぞれ求めよ。また再生効率を $100\%$ とし，$Q_{ij},W_{ij}$ を用いて，この熱機関の熱効率 $\eta$ を示せ。

3. 状態 2 および状態 3 のエントロピー $S_2,S_3$ を求めよ。

(2) 作動流体が気液相変化する場合を考える。この作動流体の液相のモル体積は気相のモル体積に比べ十分に小さいので無視できる。さらに，モル蒸発熱を $L_m$（$>0$）とし，気相は理想気体として扱える。状態 1 から状態 2 の等温圧縮過程の途中の状態 1a において，作動流体の一部が凝縮し始め，この気液共存状態は状態 3 まで続いた。ただし，状態 1a および状態 3 において，作動流体は乾き飽和蒸気であった。また，作動流体の飽和蒸気圧は温度 $T$ のみの関数 $P_{\mathrm{sat}}(T)$ で記述できるものとする。以下の設問に答えよ。

1. 状態 1a の体積 $V_{1a}$ を求めよ。この熱機関の $P$–$V$ 線図を飽和蒸気圧曲線とともに描け。また，その図中に状態 1，1a，2，3，4 に対応する点を図示せよ。

2. 状態 1a および状態 2 のエントロピー $S_{1a},S_2$ を求めよ。

题目描述

考虑由以下四个过程组成的斯特林发动机：状态 1 到 2 为温度 $T_L$ 下的等温压缩；状态 2 到 3 为体积 $V_L$ 下的等容加热；状态 3 到 4 为温度 $T_H$ 下的等温膨胀；状态 4 到 1 为体积 $V_H$ 下的等容冷却。工质物质的量为 $n$，状态 1 的熵为 $S_1$，通用气体常数为 $R_0$。

(1) 工质为理想气体，摩尔定容热容为 $C_v$，回答下列问题。

1. 求状态 1 和状态 3 的压力 $P_1,P_3$。

2. 在状态 $i$ 到 $j$ 的过程中，设从外界吸收的热量为 $Q_{ij}$，对外做功为 $W_{ij}$，分别求 $Q_{12},Q_{23},W_{12},W_{23}$。再设回热效率为 $100\%$，用 $Q_{ij},W_{ij}$ 表示该热机的热效率 $\eta$。

3. 求状态 2、3 的熵 $S_2,S_3$。

(2) 考虑工质发生气液相变的情况。液相摩尔体积远小于气相摩尔体积，可以忽略；摩尔汽化热为 $L_m>0$，气相可按理想气体处理。在状态 1 到 2 的等温压缩途中，工质于状态 1a 开始部分凝结，气液共存持续到状态 3。状态 1a 和状态 3 均为干饱和蒸气。饱和蒸气压可表示为只依赖温度 $T$ 的函数 $P_{\mathrm{sat}}(T)$。

1. 求状态 1a 的体积 $V_{1a}$。画出热机的 $P$–$V$ 图及饱和蒸气压曲线，并标出与状态 1、1a、2、3、4 对应的点。

2. 求状态 1a、2 的熵 $S_{1a},S_2$。

Kai

(1)

理想気体の状態式より

$$\boxed{P_1=\frac{nR_0T_L}{V_H},\qquad P_3=\frac{nR_0T_H}{V_L}}.$$

等温過程では $\Delta U=0$、等容過程では $W=0$ なので

$$\begin{gathered} \boxed{Q_{12}=W_{12}=nR_0T_L\ln\frac{V_L}{V_H}},\\ \boxed{Q_{23}=nC_V(T_H-T_L),\quad W_{23}=0}. \end{gathered}$$

完全再生なら外部からの吸熱は $Q_{34}=nR_0T_H\ln(V_H/V_L)$ のみ。したがって

$$\boxed{\begin{gathered} \eta=\frac{nR_0(T_H-T_L)\ln(V_H/V_L)}{nR_0T_H\ln(V_H/V_L)}\\ =1-\frac{T_L}{T_H} \end{gathered}}.$$

$\mathrm dS=nC_V\mathrm dT/T+nR_0\mathrm dV/V$ より

$$\begin{gathered} \boxed{S_2=S_1+nR_0\ln\frac{V_L}{V_H}},\\ \boxed{S_3=S_2+nC_V\ln\frac{T_H}{T_L}}. \end{gathered}$$

(2)

凝縮開始時は全量が飽和蒸気なので

$$\boxed{V_{1a}=\frac{nR_0T_L}{P_{\rm sat}(T_L)}}.$$

$1\to1a$ は等温圧縮、$1a\to2$ は等温・等圧凝縮、$2\to3$ は等容加熱である。

$$\boxed{S_{1a}=S_1+nR_0\ln\frac{V_{1a}}{V_H}}.$$

状態2の蒸気量は $n_v=P_{\rm sat}(T_L)V_L/(R_0T_L)=nV_L/V_{1a}$。凝縮量 $n-n_v$ の放熱を用いて

$$\boxed{S_2=S_{1a}-\frac{nL_m}{T_L}\left(1-\frac{V_L}{V_{1a}}\right)}.$$

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答