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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2015年度 機械工学第2部 問題 1

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

I​

長さ 2l2l、幅 bb、高さ hh の棒 AB が水平面と角度 θ\theta をなし、下端 B は地面にピン支持、上端 A は滑らかな鉛直壁に接する。b,h≪lb,h\ll l、ヤング率は EE。中央 C に鉛直下向き荷重 PP を加える。

  1. 壁の反力 RR と地面の反力を求めよ。
  2. A から棒に沿って xx をとり、M(x),N(x)M(x),N(x) を求めよ。
  3. BC の中央 D の断面における垂直応力分布を求めよ。

II​

半径 r=1 mmr=1\,\mathrm{mm}、長さ l=100 mml=100\,\mathrm{mm} の丸棒を左端で固定し、右端に軸方向引張力 FF とねじりモーメント TT を加える。E=200 GPaE=200\,\mathrm{GPa}、ν=0.3\nu=0.3。中央表面 P のひずみゲージ a は軸方向、b は軸から 45∘45^\circ。図示の正の TT は、b の伸びを減少させる向きとする。

  1. T=0,F=314 NT=0,F=314\,\mathrm N のときの εa,εb\varepsilon_a,\varepsilon_b を求めよ。
  2. F=314 NF=314\,\mathrm N のまま T=T1T=T_1 とすると εb=−1.50×10−4\varepsilon_b=-1.50\times10^{-4} となった。T1T_1 を求めよ。
  3. この状態の P の主応力と最大せん断応力を求めよ。

構造・座標の模式図

题目描述​

I：长 2l2l 的矩形截面斜杆，下端 B 铰接地面，上端 A 抵靠光滑竖墙，与地面夹角 θ\theta，中央受竖直向下力 PP。求支反力、沿杆弯矩和轴力，以及 BC 中点截面的正应力分布。

II：半径1 mm 的圆杆受314 N 拉力和扭矩，材料 E=200E=200 GPa、ν=0.3\nu=0.3。求无扭矩时轴向及45°应变片读数，再由45°应变片读数 −1.50×10−4-1.50\times10^{-4} 反求扭矩，并求主应力和最大剪应力。

Kai​

I​

(1) B まわりのモーメントのつり合いより 2lRsin⁡θ=Plcos⁡θ2lR\sin\theta=Pl\cos\theta。したがって

R=P2cot⁡θ.\boxed{R=\frac{P}{2}\cot\theta}.

水平右向き・鉛直上向きの成分で地面反力を表すと

(QX,QY)=(−R,P),∣Q∣=P2+R2.\boxed{(Q_X,Q_Y)=(-R,P)},\qquad \boxed{|\boldsymbol Q|=\sqrt{P^2+R^2}}.

棒軸に沿う圧縮方向成分は Q∥=Rcos⁡θ+Psin⁡θ=P(1+sin⁡2θ)/(2sin⁡θ)Q_\parallel=R\cos\theta+P\sin\theta=P(1+\sin^2\theta)/(2\sin\theta) である。

(2) 軸力は引張りを正、曲げモーメントは下側引張りを正とする。

N(x)={−Pcos⁡2θ2sin⁡θ0<x<l,−P(1+sin⁡2θ)2sin⁡θl<x<2l,\boxed{N(x)=\begin{cases} -\dfrac{P\cos^2\theta}{2\sin\theta}&0<x<l,\\ -\dfrac{P(1+\sin^2\theta)}{2\sin\theta}&l
M(x)={Pxcos⁡θ/20≤x≤l,P(2l−x)cos⁡θ/2l≤x≤2l.\boxed{M(x)=\begin{cases}Px\cos\theta/2&0\le x\le l,\\P(2l-x)\cos\theta/2&l\le x\le2l.\end{cases}}

(3) D は x=3l/2x=3l/2。断面内の yy を図心から曲げ引張側へとると、I=bh3/12I=bh^3/12 より

σD(y)=−P(1+sin⁡2θ)2bhsin⁡θ+3Plcos⁡θbh3y,−h/2≤y≤h/2.\boxed{\sigma_D(y)=-\frac{P(1+\sin^2\theta)}{2bh\sin\theta} +\frac{3Pl\cos\theta}{bh^3}y},\qquad -h/2\le y\le h/2.

II​

(1) σ=F/(πr2)≃100 MPa\sigma=F/(\pi r^2)\simeq100\,\mathrm{MPa}。平面応力より

εa=σE≃5.00×10−4,εb=1−ν2σE≃1.75×10−4.\boxed{\varepsilon_a=\frac{\sigma}{E}\simeq5.00\times10^{-4}},\qquad \boxed{\varepsilon_b=\frac{1-\nu}{2}\frac{\sigma}{E}\simeq1.75\times10^{-4}}.

(2) Ip=πr4/2I_p=\pi r^4/2、τ=−T1r/Ip\tau=-T_1r/I_p。ひずみ変換より

εb=(1−ν)σ2E+(1+ν)τE.\varepsilon_b=\frac{(1-\nu)\sigma}{2E}+\frac{(1+\nu)\tau}{E}.

これを解くと τ≃−50.0 MPa\tau\simeq-50.0\,\mathrm{MPa} であり、

T1=−πr32τ≃78.5 N mm.\boxed{T_1=-\frac{\pi r^3}{2}\tau\simeq78.5\,\mathrm{N\,mm}}.

(3) 主応力は大きい順に

σ1≃120.7 MPa,σ2=0,σ3≃−20.7 MPa,\boxed{\sigma_1\simeq120.7\,\mathrm{MPa},\quad\sigma_2=0,\quad\sigma_3\simeq-20.7\,\mathrm{MPa}},
τmax⁡=(σ/2)2+τ2≃70.7 MPa.\boxed{\tau_{\max}=\sqrt{(\sigma/2)^2+\tau^2}\simeq70.7\,\mathrm{MPa}}.

Reference​

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