東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年8月実施 機械工学第2部 問題 1 Author 祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)
Description 下記の I，II の両方について解答せよ。I の解答に答案用紙 1 枚を，II の解答に答案用紙 1 枚をそれぞれ用いること。
図 1-1 に示すように長さ 2 l 2l 2 l b b b h h h b , h b,h b , h l l l θ \theta θ E E E P P P
(1) 鉛直壁の反力 R R R Q Q Q
(2) 上端 A から AB に沿って x x x M ( x ) M(x) M ( x ) N ( x ) N(x) N ( x )
(3) BC の中央 D における棒の横断面の垂直応力分布を求めよ。
図 1-2 のように剛体壁に固定された半径 r r r = 1 m m =1\,\mathrm{mm} = 1 mm l l l = 100 m m =100\,\mathrm{mm} = 100 mm F F F T = W L T=WL T = W L l / 2 l/2 l /2 200 G P a 200\,\mathrm{GPa} 200 GPa 0.3 0.3 0.3
(1) T = 0 N m m T=0\,\mathrm{N\,mm} T = 0 N mm F = 314 N F=314\,\mathrm N F = 314 N ε a , ε b \varepsilon_a,\varepsilon_b ε a , ε b
(2) ねじりモーメント T = T 1 [ N m m ] T=T_1\,[\mathrm{N\,mm}] T = T 1 [ N mm ] F = 314 N F=314\,\mathrm N F = 314 N ε b \varepsilon_b ε b − 1.50 × 10 − 4 -1.50\times10^{-4} − 1.50 × 1 0 − 4 T 1 T_1 T 1
(3) 設問 (2) における場所 P の応力状態の主応力及び主せん断応力（最大せん断応力）を求めよ。
题目描述
回答 I、II 两部分，各使用一张答题纸。
I
图 1-1 中，长 2 l 2l 2 l b b b h h h b , h b,h b , h l l l θ \theta θ E E E P P P
(1) 求竖直墙面的反力 R R R Q Q Q
(2) 从上端 A 沿 AB 取 x x x M ( x ) M(x) M ( x ) N ( x ) N(x) N ( x )
(3) 求 BC 中点 D 处杆横截面的正应力分布。
II
图 1-2 中，半径 r = 1 m m r=1\,\mathrm{mm} r = 1 mm l = 100 m m l=100\,\mathrm{mm} l = 100 mm F F F T = W L T=WL T = W L l / 2 l/2 l /2 200 G P a 200\,\mathrm{GPa} 200 GPa 0.3 0.3 0.3
(1) 施加 T = 0 N m m T=0\,\mathrm{N\,mm} T = 0 N mm F = 314 N F=314\,\mathrm N F = 314 N ε a , ε b \varepsilon_a,\varepsilon_b ε a , ε b
(2) 施加 T = T 1 [ N m m ] T=T_1\,[\mathrm{N\,mm}] T = T 1 [ N mm ] F = 314 N F=314\,\mathrm N F = 314 N ε b = − 1.50 × 10 − 4 \varepsilon_b=-1.50\times10^{-4} ε b = − 1.50 × 1 0 − 4 T 1 T_1 T 1
(3) 求 (2) 中 P 处应力状态的主应力及主剪应力（最大剪应力）。
Kai (1)
B まわりのモーメントのつり合いより 2 l R sin θ = P l cos θ 2lR\sin\theta=Pl\cos\theta 2 lR sin θ = Pl cos θ
R = P 2 cot θ . \boxed{R=\frac{P}{2}\cot\theta}. R = 2 P cot θ . 水平右向き・鉛直上向きの成分で地面反力を表すと
( Q X , Q Y ) = ( − R , P ) , ∣ Q ∣ = P 2 + R 2 . \begin{gathered}
\boxed{(Q_X,Q_Y)=(-R,P)},\\
\boxed{|\boldsymbol Q|=\sqrt{P^2+R^2}}.
\end{gathered} ( Q X , Q Y ) = ( − R , P ) , ∣ Q ∣ = P 2 + R 2 . 棒軸に沿う圧縮方向成分は Q ∥ = R cos θ + P sin θ = P ( 1 + sin 2 θ ) / ( 2 sin θ ) Q_\parallel=R\cos\theta+P\sin\theta=P(1+\sin^2\theta)/(2\sin\theta) Q ∥ = R cos θ + P sin θ = P ( 1 + sin 2 θ ) / ( 2 sin θ )
(2)
軸力は引張りを正、曲げモーメントは下側引張りを正とする。
N ( x ) = { − P cos 2 θ 2 sin θ 0 < x < l , − P ( 1 + sin 2 θ ) 2 sin θ l < x < 2 l , \boxed{N(x)=\begin{cases}
-\dfrac{P\cos^2\theta}{2\sin\theta}&0<x<l,\\
-\dfrac{P(1+\sin^2\theta)}{2\sin\theta}&l N ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ − 2 sin θ P cos 2 θ − 2 sin θ P ( 1 + sin 2 θ ) 0 < x < l , l < x < 2 l , M ( x ) = { P x cos θ / 2 0 ≤ x ≤ l , P ( 2 l − x ) cos θ / 2 l ≤ x ≤ 2 l . \boxed{M(x)=\begin{cases}Px\cos\theta/2&0\le x\le l,\\P(2l-x)\cos\theta/2&l\le x\le2l.\end{cases}} M ( x ) = { P x cos θ /2 P ( 2 l − x ) cos θ /2 0 ≤ x ≤ l , l ≤ x ≤ 2 l . (3)
D は x = 3 l / 2 x=3l/2 x = 3 l /2 y y y I = b h 3 / 12 I=bh^3/12 I = b h 3 /12
σ D ( y ) = − P ( 1 + sin 2 θ ) 2 b h sin θ + 3 P l cos θ b h 3 y , − h / 2 ≤ y ≤ h / 2. \begin{gathered}
\boxed{\sigma_D(y)=-\frac{P(1+\sin^2\theta)}{2bh\sin\theta}
+\frac{3Pl\cos\theta}{bh^3}y},\\
-h/2\le y\le h/2.
\end{gathered} σ D ( y ) = − 2 bh sin θ P ( 1 + sin 2 θ ) + b h 3 3 Pl cos θ y , − h /2 ≤ y ≤ h /2. (1)
σ = F / ( π r 2 ) ≃ 100 M P a \sigma=F/(\pi r^2)\simeq100\,\mathrm{MPa} σ = F / ( π r 2 ) ≃ 100 MPa
ε a = σ E ≃ 5.00 × 10 − 4 , ε b = 1 − ν 2 σ E ≃ 1.75 × 10 − 4 . \begin{gathered}
\boxed{\varepsilon_a=\frac{\sigma}{E}\simeq5.00\times10^{-4}},\\
\boxed{\varepsilon_b=\frac{1-\nu}{2}\frac{\sigma}{E}\simeq1.75\times10^{-4}}.
\end{gathered} ε a = E σ ≃ 5.00 × 1 0 − 4 , ε b = 2 1 − ν E σ ≃ 1.75 × 1 0 − 4 . (2)
I p = π r 4 / 2 I_p=\pi r^4/2 I p = π r 4 /2 τ = − T 1 r / I p \tau=-T_1r/I_p τ = − T 1 r / I p
ε b = ( 1 − ν ) σ 2 E + ( 1 + ν ) τ E . \varepsilon_b=\frac{(1-\nu)\sigma}{2E}+\frac{(1+\nu)\tau}{E}. ε b = 2 E ( 1 − ν ) σ + E ( 1 + ν ) τ . これを解くと τ ≃ − 50.0 M P a \tau\simeq-50.0\,\mathrm{MPa} τ ≃ − 50.0 MPa
T 1 = − π r 3 2 τ ≃ 78.5 N m m . \boxed{T_1=-\frac{\pi r^3}{2}\tau\simeq78.5\,\mathrm{N\,mm}}. T 1 = − 2 π r 3 τ ≃ 78.5 N mm . (3)
主応力は大きい順に
σ 1 ≃ 120.7 M P a , σ 2 = 0 , σ 3 ≃ − 20.7 M P a , \boxed{\begin{gathered}
\sigma_1\simeq120.7\,\mathrm{MPa},\\
\sigma_2=0,\\
\sigma_3\simeq-20.7\,\mathrm{MPa}
\end{gathered}}, σ 1 ≃ 120.7 MPa , σ 2 = 0 , σ 3 ≃ − 20.7 MPa , τ max = ( σ / 2 ) 2 + τ 2 ≃ 70.7 M P a . \boxed{\tau_{\max}=\sqrt{(\sigma/2)^2+\tau^2}\simeq70.7\,\mathrm{MPa}}. τ m a x = ( σ /2 ) 2 + τ 2 ≃ 70.7 MPa . Reference 
