東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2013年8月実施 問題 2 設問 II

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• 薄膜流动
• 表面张力

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 2-4 のような奥行き方向に形状が変わらない二次元的な突起が気相中に置かれている。突起の先端の曲率半径は $r_0$ であり，突起の先端から根元方向へ表面に沿って座標 $s$ を定義する。位置 $s=X$ において突起表面の曲率がゼロ（＝曲率半径が無限大）となっている。

この突起に，図 2-5 のようにスリットを設け，スリットから非圧縮性の液体を流して先端から流出させた。液体は突起表面に沿って液膜として流れ，そのときの液膜厚さを $\delta$ とする。液膜厚さ $\delta$ は十分に薄く，液膜表面の曲率は突起の曲率と等しいとみなせる。ここで，スリットは液膜表面の曲率に影響を与えず，突起先端における液膜表面の曲率半径は $r_0$ と等しい。また，流れは定常で，流速が遅いため慣性力は無視でき，さらには重力の影響も無視できるものとする。このとき，以下の設問に答えよ。ただし，液体の粘性係数を $\mu$，表面張力を $\sigma$ とする。

(1) 液膜内の壁面垂直方向圧力勾配はゼロとみなせる。ここで，$s$ 方向の圧力勾配を $dP/ds$ とするとき，$s$ 方向の液膜の運動方程式を記述せよ。ただし，壁面垂直方向を $\eta$，液の速度を $u(\eta)$ とする。ここで，液膜は十分に薄く，図 2-6 のように流れは平板上の流れと近似して良い。なお，前記したように慣性力と重力の影響は無視できる。

(2) 気液界面におけるせん断力が無視できるとき，図 2-6 に示した液膜内の速度分布 $u(\eta)$ を求めよ。

(3) 一般に，表面張力の効果によって曲率半径 $r$ の気液界面の内側の液体の圧力 $P_L$ は，気相圧力 $P_G$ よりも高く，下記の関係があることが知られている。

$$P_L=P_G+\frac{\sigma}{r}$$

この関係が成り立つものとして，突起先端から $s=X$ の位置までの区間（$0\le s\le X$）における，$s$ 方向の液膜内の圧力勾配 $dP/ds$ を，$\mu,\sigma,r_0,X$ の中から必要なものを用いて表せ。ただし，気相の圧力は場所によらず一定で，突起形状は液膜内の圧力勾配が $0\le s\le X$ の区間内で一定（$dP/ds=\mathrm{const.}$）となるようにその曲率が変化している。

(4) 突起の片側の側面を流れる奥行き方向単位長さあたりの液体の体積流量を $\Gamma$ とする。液膜厚さ $\delta$ を $\Gamma,\mu,\sigma,r_0,X$ を用いて表せ。

次に，液膜へ凝縮が生じ，下記の関係式で液膜流量 $\Gamma$ が増加する場合を考える。

$$L\frac{d\Gamma}{ds}=\lambda\frac{\Delta T}{\delta}$$

ここで，$L$ は流体の単位体積あたりの潜熱，$\lambda$ は液体の熱伝導率，$\Delta T$（$>0$）は気液界面と壁面の温度差であり，いずれも座標 $s$ に依存しない定数である。このとき，以下の設問に答えよ。

(5) 液膜流量変化が微小で，液膜流量 $\Gamma$ と液膜厚さ $\delta$ の間に設問 (4) で求めた関係が成り立つとき，液膜厚さ $\delta$ の $s$ 方向変化を表す微分方程式を導出せよ。

(6) $s=0$ における液膜厚さを $\delta_0$ とするとき，液膜厚さ $\delta$ を $s$ の関数として表せ。

题目描述

图 2-4 所示的二维突起置于气相中，其形状沿纵深方向不变。突起尖端的曲率半径为 $r_0$，沿表面从尖端指向根部定义坐标 $s$。在 $s=X$ 处，突起表面的曲率为零，即曲率半径为无穷大。

如图 2-5，在突起内部设置狭缝，使不可压缩液体经狭缝从尖端流出。液体沿突起表面形成厚度为 $\delta$ 的液膜。液膜足够薄，可认为液膜表面与突起表面的曲率相同。狭缝不影响液膜表面的曲率，尖端处液膜表面的曲率半径仍为 $r_0$。流动为定常流，因流速很慢而可忽略惯性力，同时忽略重力。液体的黏度为 $\mu$，表面张力为 $\sigma$。回答下列问题。

(1) 可认为液膜内沿壁面法向的压力梯度为零。设沿 $s$ 方向的压力梯度为 $dP/ds$，写出液膜在 $s$ 方向的运动方程。壁面法向坐标为 $\eta$，液体速度为 $u(\eta)$。液膜足够薄，可按图 2-6 近似为平板上的流动。仍忽略惯性力和重力。

(2) 气液界面上的剪切力可以忽略时，求图 2-6 中液膜内的速度分布 $u(\eta)$。

(3) 表面张力使曲率半径为 $r$ 的气液界面内侧液体压力 $P_L$ 高于气相压力 $P_G$，二者满足

$$P_L=P_G+\frac{\sigma}{r}.$$

利用该关系，从 $\mu,\sigma,r_0,X$ 中选取必要的量，表示尖端至 $s=X$ 区间（$0\le s\le X$）内沿 $s$ 方向的液膜压力梯度 $dP/ds$。气相压力处处相同；突起曲率随位置的变化使该区间内的液膜压力梯度保持恒定，即 $dP/ds=\mathrm{const.}$。

(4) 设沿突起单侧表面流动的液体，单位纵深长度的体积流量为 $\Gamma$。用 $\Gamma,\mu,\sigma,r_0,X$ 表示膜厚 $\delta$。

接下来考虑气体凝结到液膜中，使液膜流量 $\Gamma$ 按下式增加的情况：

$$L\frac{d\Gamma}{ds}=\lambda\frac{\Delta T}{\delta}.$$

其中 $L$ 是流体单位体积的潜热，$\lambda$ 是液体导热系数，$\Delta T>0$ 是气液界面与壁面的温差。这些量均为与 $s$ 无关的常数。

(5) 液膜流量的变化很小，且 $\Gamma$ 与 $\delta$ 之间仍满足 (4) 的关系。推导描述膜厚 $\delta$ 沿 $s$ 方向变化的微分方程。

(6) $s=0$ 处膜厚为 $\delta_0$，将膜厚 $\delta$ 表示为 $s$ 的函数。

Kai

(1)

薄膜近似と慣性・重力の無視により、

$$\boxed{0=-\frac{dP}{ds}+\mu\frac{d^2u}{d\eta^2}}.$$

(2)

$u(0)=0$、$u'(\delta)=0$ を用いて積分すると、

$$\boxed{u(\eta)=\frac1{2\mu}\frac{dP}{ds}(\eta^2-2\delta\eta)}.$$

(3)

$P(0)=P_G+\sigma/r_0$、$P(X)=P_G$ である。勾配一定なので

$$\boxed{\frac{dP}{ds}=-\frac{\sigma}{r_0X}}.$$

(4)

$$\Gamma=\int_0^\delta u(\eta)d\eta =-\frac{\delta^3}{3\mu}\frac{dP}{ds}=\frac{\sigma\delta^3}{3\mu r_0X}.$$

よって

$$\boxed{\delta=\left(\frac{3\mu\Gamma r_0X}{\sigma}\right)^{1/3}}.$$

(5)

(4) を微分して凝縮条件へ代入すると、

$$\begin{gathered} L\frac{\sigma\delta^2}{\mu r_0X}\frac{d\delta}{ds} =\frac{\lambda\Delta T}{\delta},\\ \boxed{\delta^3\frac{d\delta}{ds}=\frac{\mu r_0X\lambda\Delta T}{\sigma L}}. \end{gathered}$$

(6)

$$\boxed{\delta(s)=\left(\delta_0^4+\frac{4\mu r_0X\lambda\Delta T}{\sigma L}s\right)^{1/4}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2014年度）
• SN の解答・解説