東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2013年8月実施 問題 2 設問 II

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

奥行き方向に一様な突起の先端から、スリットを通して液体を供給する。先端曲率半径は $r_0$。表面に沿って先端から根元方向へ座標 $s$ をとり、$s=X$ で曲率が零になる。液膜厚さ $\delta$ は十分薄く、界面曲率は固体表面の曲率と等しい。定常非圧縮流れで、慣性力・重力を無視する。粘性係数は $\mu$、表面張力は $\sigma$、壁法線座標は $\eta$、接線速度は $u(\eta)$ とする。

(1) 液膜内の法線方向圧力勾配を零とし、薄膜を局所的な平板流れとして接線方向運動方程式を書け。(2) 壁面粘着、自由表面のせん断力零から $u(\eta)$ を求めよ。

(3) 一定の気体圧力 $P_G$ と液体圧力が $P_L=P_G+\sigma/r$ を満たす。$0\le s\le X$ で圧力勾配が一定となる形状について、$dP/ds$ を求めよ。

(4) 突起の片側の単位奥行き体積流量を $\Gamma$ とし、$\delta$ を求めよ。

次に凝縮によって $L\,d\Gamma/ds=\lambda\Delta T/\delta$ に従い流量が増える。ここで $L$ は単位体積当たり潜熱、$\lambda$ は熱伝導率、$\Delta T>0$ は界面と壁の温度差で、いずれも一定。

(5) (4) の局所関係が使えるとして $\delta(s)$ の微分方程式を導け。(6) $\delta(0)=\delta_0$ として解け。

题目描述

薄液膜沿二维突起表面由尖端流向根部。尖端曲率半径 $r_0$，弧长 $X$ 处曲率为零，且区间内液体压力梯度恒定。忽略惯性和重力，采用壁面无滑移与界面无切应力条件，求速度、毛细压力梯度及流量与膜厚的关系。随后加入给定的凝结热平衡，求膜厚随弧长的变化。

Kai

(1)

薄膜近似と慣性・重力の無視により、

$$\boxed{0=-\frac{dP}{ds}+\mu\frac{d^2u}{d\eta^2}}.$$

(2)

$u(0)=0$、$u'(\delta)=0$ を用いて積分すると、

$$\boxed{u(\eta)=\frac1{2\mu}\frac{dP}{ds}(\eta^2-2\delta\eta)}.$$

(3)

$P(0)=P_G+\sigma/r_0$、$P(X)=P_G$ である。勾配一定なので

$$\boxed{\frac{dP}{ds}=-\frac{\sigma}{r_0X}}.$$

(4)

$$\Gamma=\int_0^\delta u(\eta)d\eta =-\frac{\delta^3}{3\mu}\frac{dP}{ds}=\frac{\sigma\delta^3}{3\mu r_0X}.$$

よって

$$\boxed{\delta=\left(\frac{3\mu\Gamma r_0X}{\sigma}\right)^{1/3}}.$$

(5)

(4) を微分して凝縮条件へ代入すると、

$$L\frac{\sigma\delta^2}{\mu r_0X}\frac{d\delta}{ds} =\frac{\lambda\Delta T}{\delta},\qquad \boxed{\delta^3\frac{d\delta}{ds}=\frac{\mu r_0X\lambda\Delta T}{\sigma L}}.$$

(6)

$$\boxed{\delta(s)=\left(\delta_0^4+\frac{4\mu r_0X\lambda\Delta T}{\sigma L}s\right)^{1/4}}.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2014年度）
• SN の解答・解説