東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2013年8月実施 問題 2 設問 I

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• Jet-Pump
• Control-Volume-Momentum
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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

同じ密度 $\rho$ の非圧縮流体を混合するジェットポンプを考える。ノズル出口（第一流体）の面積・速度・流量を $A_1,V_1,Q_1$、吸引流入口（第二流体）を $A_2,V_2,Q_2$、十分下流の均一な混合流を $A_3,V_3,Q_1+Q_2$ とし、$A_3=A_1+A_2$。入口二流体の静圧は共通の $p_0$、出口静圧は $p_3$ である。各速度・圧力は断面内一様、壁面摩擦を無視する。$\bar A=A_2/A_1,\bar V=V_2/V_1$ とおく。

(1) $V_3$ を求めよ。(2) 静圧差 $p_3-p_0$ を求めよ。(3) 全圧差 $p_3^t-p_1^t$ を求めよ。(4) $0<\bar V<1$ のとき第一流体の静圧が上昇し、全圧が低下する理由を述べよ。

以後 $\bar A=1$ とする。第二流体の吸引管上流に曲がりがあり、その入口全圧を $p_s^t$、ノズル入口全圧を $p_n^t$ とする。曲がり損失係数を

$$K=\frac{p_s^t-p_2^t}{\rho V_2^2/2}$$

と定義し、ノズル損失を無視する。効率は

$$\eta=\frac{Q_2(p_3^t-p_s^t)}{Q_1(p_n^t-p_3^t)}$$

である。(5) $\eta$ を $\bar V,K$ で表せ。(6) $K=0,0.1,0.5$ の効率曲線の差を説明せよ。

题目描述

同密度两股流体在等截面积混合段中混合，入口静压相同，截面积 $A_1,A_2$，速度 $V_1,V_2$，出口面积为二者之和。求混合速度、静压升高、第一流体的全压变化并解释原因。随后令面积比为 1，为吸入支路引入弯管损失系数 $K$，求能量传递效率并比较不同 $K$ 的效率曲线。

Kai

$A=\bar A$、$v=\bar V$ と略記する。

(1)

$$A_3V_3=A_1V_1+A_2V_2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{V_3=\frac{1+Av}{1+A}V_1}.$$

(2)

運動量保存則より

$$(p_0-p_3)A_3=\rho A_3V_3^2-\rho A_1V_1^2-\rho A_2V_2^2.$$

したがって

$$\boxed{p_3-p_0=\rho V_1^2\frac{A(1-v)^2}{(1+A)^2}}.$$

(3)

全圧の定義から、

$$\boxed{p_3^t-p_1^t=(p_3-p_0)+\frac\rho2(V_3^2-V_1^2) =\frac{\rho V_1^2A(v-1)[A(v+1)+2v]}{2(1+A)^2}}.$$

(4)

第一流体は混合によって減速し、その運動エネルギーの一部が静圧に変換される。一方、第二流体へのエネルギー伝達と速度差に伴う不可逆な散逸があるため、第一流体の全圧は低下する。

(5)

$A=1$ では

$$p_n^t-p_3^t=\frac{\rho V_1^2}{8}(1+2v-3v^2),$$

$$p_3^t-p_s^t=(p_3^t-p_2^t)-\frac12K\rho V_2^2 =\frac{\rho V_1^2}{8}[3-2v-(1+4K)v^2].$$

$Q_2/Q_1=v$ より、

$$\boxed{\eta=\frac{v[3-2v-(1+4K)v^2]}{1+2v-3v^2}}.$$

(6)

$K=0$ では $\eta=v(v+3)/(3v+1)$ で、速度比の増加に伴って混合時の速度差による損失が減り、効率は増加する。$K>0$ では吸引管の全圧損失 $K\rho V_2^2/2$ が加わり、速度比が大きい領域で有効な圧力上昇を打ち消す。そのため効率に極大が現れ、$K$ が大きいほど効率は低下する。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2014年度）
• SN の解答・解説