東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2013年8月実施 問題 2 設問 I

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• 东京大学
• 射流泵
• 控制体动量守恒
• 局部水头损失

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 2-1 に示すような管で構成されるジェットポンプについて考える。このポンプは，第一流体が流れるノズル，第二流体が流れる吸引部，および両流体を混合する混合部により構成され，第一流体がノズルから混合部に噴出することで第二流体が吸引される仕組みとなっている。ここで，第一流体，第二流体はともに密度 $\rho$ の非圧縮性の液体とし，第一流体，第二流体の体積流量をそれぞれ $Q_1,Q_2$ とする。また，ノズル，吸引部出口，混合部の流路断面積をそれぞれ $A_1,A_2,A_3$（ただし，$A_3=A_1+A_2$），ノズル出口，吸引部出口，混合部出口における流速をそれぞれ $V_1,V_2,V_3$ とし，面積比 $\bar A=A_2/A_1$，および速度比 $\bar V=V_2/V_1$ を定義する。このとき，壁面摩擦はすべて無視できるものとして，以下の設問に答えよ。

(1) 図 2-1 に示されたポンプ全体のうちノズル出口，吸引部出口，混合部領域のみを取り出し，図 2-2 の点線で囲まれた検査体積を考える。流速 $V_3$ を $V_1,\bar A,\bar V$ を用いて表せ。ただし，混合部の長さは十分に長く，流体は均一に混合するものとし，ノズル出口，吸引部出口，混合部出口において断面内の速度は一様とする。

(2) 混合部出口とノズル出口の静圧をそれぞれ $p_3,p_0$ とする。混合部出口とノズル出口の静圧差 $p_3-p_0$ を $\rho,V_1,\bar A,\bar V$ を用いて表せ。ただし，ノズル出口と吸引部出口の静圧は等しく，ノズル出口，吸引部出口，混合部出口において断面内の静圧は一様とする。

(3) ノズル出口，吸引部出口，混合部出口の全圧をそれぞれ $p_1^t,p_2^t,p_3^t$ とする。混合部出口とノズル出口の全圧差 $p_3^t-p_1^t$ を $\rho,V_1,\bar A,\bar V$ を用いて表せ。

(4) 第一流体に関して，混合部の入口から出口にかけて静圧が上昇するのに対し，その全圧が低下する理由を説明せよ。ただし，$0<\bar V<1$ とする。

次に，吸引部上流に曲がり管が接続されたポンプ全体の系（図 2-1）について考える。以下では，面積比を $\bar A=1$ で一定とする。ここで，ノズル入口，曲がり管入口における全圧をそれぞれ $p_n^t,p_s^t$ とする。曲がりによる全圧損失係数 $K$ は以下のように定義される。

$$K=\frac{p_s^t-p_2^t}{\rho V_2^2/2}$$

さて，第一流体から第二流体へのエネルギー伝達特性について考えるため，ノズル入口と混合部出口の全圧差，曲がり管入口と混合部出口の全圧差，および第一流体，第二流体の体積流量を用いて，ポンプ効率 $\eta$ を次式で定義する。

$$\eta=\frac{Q_2(p_3^t-p_s^t)}{Q_1(p_n^t-p_3^t)}$$

(5) $\eta$ を $\bar V,K$ のみを用いて表せ。

(6) 設問 (5) で得られる $\eta$ と $\bar V$ の関係は図 2-3 のように表される。$K$ の値によって，$\eta$ と $\bar V$ の関係が変化する理由を説明しなさい。

题目描述

考虑图 2-1 所示由管道构成的射流泵。它由第一流体流经的喷嘴、第二流体流经的吸入部以及混合两种流体的混合部组成。第一流体从喷嘴喷入混合部，从而吸入第二流体。两种流体均为密度 $\rho$ 的不可压缩液体，体积流量分别为 $Q_1,Q_2$。喷嘴、吸入部出口和混合部的流道截面积分别为 $A_1,A_2,A_3$，其中 $A_3=A_1+A_2$；喷嘴出口、吸入部出口和混合部出口的流速分别为 $V_1,V_2,V_3$。定义面积比 $\bar A=A_2/A_1$ 和速度比 $\bar V=V_2/V_1$。忽略所有壁面摩擦，回答下列问题。

(1) 取图 2-2 虚线所围的控制体，仅包含图 2-1 中的喷嘴出口、吸入部出口和混合部。用 $V_1,\bar A,\bar V$ 表示 $V_3$。混合部足够长，流体完全均匀混合；三个出入口截面内的速度均为均匀分布。

(2) 混合部出口和喷嘴出口的静压分别为 $p_3,p_0$。用 $\rho,V_1,\bar A,\bar V$ 表示静压差 $p_3-p_0$。喷嘴出口与吸入部出口的静压相等，三个出入口截面内的静压均为均匀分布。

(3) 喷嘴出口、吸入部出口和混合部出口的总压分别为 $p_1^t,p_2^t,p_3^t$。用 $\rho,V_1,\bar A,\bar V$ 表示总压差 $p_3^t-p_1^t$。

(4) 对第一流体而言，从混合部入口到出口静压升高而总压降低。解释其原因。设 $0<\bar V<1$。

接下来考虑吸入部上游连接弯管的整个泵系统（图 2-1），令面积比固定为 $\bar A=1$。喷嘴入口和弯管入口的总压分别为 $p_n^t,p_s^t$。弯管的总压损失系数定义为

$$K=\frac{p_s^t-p_2^t}{\rho V_2^2/2}.$$

为考察第一流体向第二流体传递能量的特性，利用喷嘴入口与混合部出口的总压差、弯管入口与混合部出口的总压差，以及两种流体的体积流量，定义泵效率

$$\eta=\frac{Q_2(p_3^t-p_s^t)}{Q_1(p_n^t-p_3^t)}.$$

(5) 仅用 $\bar V,K$ 表示 $\eta$。

(6) (5) 得到的 $\eta$ 与 $\bar V$ 的关系如图 2-3 所示。解释为什么这一关系随 $K$ 的值而变化。

Kai

$A=\bar A$、$v=\bar V$ と略記する。

(1)

$$\begin{gathered} A_3V_3=A_1V_1+A_2V_2\\ \Longrightarrow\\ \boxed{V_3=\frac{1+Av}{1+A}V_1}. \end{gathered}$$

(2)

運動量保存則より

$$(p_0-p_3)A_3=\rho A_3V_3^2-\rho A_1V_1^2-\rho A_2V_2^2.$$

したがって

$$\boxed{p_3-p_0=\rho V_1^2\frac{A(1-v)^2}{(1+A)^2}}.$$

(3)

全圧の定義から、

$$\boxed{\begin{gathered} p_3^t-p_1^t=(p_3-p_0)+\frac\rho2(V_3^2-V_1^2)\\ =\frac{\rho V_1^2A(v-1)[A(v+1)+2v]}{2(1+A)^2} \end{gathered}}.$$

(4)

第一流体は混合によって減速し、その運動エネルギーの一部が静圧に変換される。一方、第二流体へのエネルギー伝達と速度差に伴う不可逆な散逸があるため、第一流体の全圧は低下する。

(5)

$A=1$ では

$$p_n^t-p_3^t=\frac{\rho V_1^2}{8}(1+2v-3v^2),$$

$$\begin{gathered} p_3^t-p_s^t=(p_3^t-p_2^t)-\frac12K\rho V_2^2\\ =\frac{\rho V_1^2}{8}[3-2v-(1+4K)v^2]. \end{gathered}$$

$Q_2/Q_1=v$ より、

$$\boxed{\eta=\frac{v[3-2v-(1+4K)v^2]}{1+2v-3v^2}}.$$

(6)

$K=0$ では $\eta=v(v+3)/(3v+1)$ で、速度比の増加に伴って混合時の速度差による損失が減り、効率は増加する。$K>0$ では吸引管の全圧損失 $K\rho V_2^2/2$ が加わり、速度比が大きい領域で有効な圧力上昇を打ち消す。そのため効率に極大が現れ、$K$ が大きいほど効率は低下する。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2014年度）
• SN の解答・解説