東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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• 东京大学
• 内部强制对流
• 热入口段

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1-2 のように、幾何学的形状および物性が等しい 2 つの基板が平行に置かれており、その間の高さ $H$ の流路に定常的に水を流して冷却する。ここで、流路の入口と出口の圧力差を $\Delta P$ とする。また、基板の幅 $W$ は長さ $L$ に比べて十分に長く、流れは 2 次元層流と見なせる。なお、基板の熱伝導率が高いため、その表面温度 $T_w$ は基板の長さ方向の位置 $x$ によらず一定である。水の密度 $\rho$、比熱 $c_p$、熱拡散率（温度伝導率）$\alpha$、粘性係数 $\mu$ の温度依存性は無視できるとする。

(1) 流路内の速度場および温度場が完全に発達していると見なして、以下の設問に答えよ。

1. 流路断面内の水の平均温度を $T_m(x)$ とするとき、

$$\frac{dT_m}{dx}=\frac{2q}{\rho U_mHc_p} \tag{1}$$

となることを示せ。ここで、$q(x)$ は位置 $x$ における基板から水への局所熱流束、$U_m$ は平均流速である。

2. 基板と水の間の熱伝達率 $h$ が $x$ によらず一定であるとき、流路内の平均温度 $T_m$ の分布を描け。なお、横軸を $x$、縦軸を $T_m$ とし、$T_w$ および入口の水の温度 $T_0$ を図中に明記すること。また、基板の温度と水の平均温度の差 $(T_w-T_m)$ が基板の温度と入口の水の温度の差 $(T_w-T_0)$ の $e^{-1}$ 倍になる位置 $x_1$ を求めよ。ここで $e$ は自然対数の底である。

3. $T_m$ が流路出口で $T_w$ と等しいと見なせる場合に、2 つの基板から取り除かれる単位時間あたりの総伝熱量 $Q$ を求めよ。なお、$U_m$ は式 (2) で与えられる。

$$U_m=\frac{H^2\Delta P}{12\mu L} \tag{2}$$

(2) 流路内の速度場と温度場が未発達である場合も含めて考える。流路の入口と出口の圧力差 $\Delta P$ を一定に保ったまま $L$ を変化させた場合、単位時間あたりの総伝熱量 $Q$ は図 1-3 に示すように $L$ に対して極大値をとる。なお、$L$ に伴って流量が変化することに注意すること。

1. 流路内の流れは、図 1-3 中の①において速度・温度境界層の厚さが $H$ に比べて十分に小さい境界層流れとなり、②において速度・温度場が完全に発達した流れとなる。①と②の間で $Q$ が極大値をとる理由を説明せよ。

2. 密度、粘性係数、比熱が水と同じであり、熱拡散率（温度伝導率）が水よりも大きい流体を用いた場合、図 1-3 の曲線が①と②においてどのように変化するか、理由も含めて説明せよ。

题目描述

如图 1-2，几何形状和物性相同的两块基板平行放置，在间距为 $H$ 的通道内通入稳态水流进行冷却。通道入口、出口压差为 $\Delta P$。基板宽度 $W$ 远大于长度 $L$，流动可视为二维层流。基板导热系数很高，表面温度 $T_w$ 不随长度方向位置 $x$ 变化。忽略水的密度 $\rho$、比热 $c_p$、热扩散率 $\alpha$、动力黏度 $\mu$ 的温度依赖性。

(1) 假设通道内速度场和温度场均充分发展，回答下列问题。

1. 设截面内水的平均温度为 $T_m(x)$，证明式 (1)：$dT_m/dx=2q/(\rho U_mHc_p)$。其中 $q(x)$ 是位置 $x$ 处由基板传向水的局部热流密度，$U_m$ 为平均流速。

2. 基板与水之间的换热系数 $h$ 不随 $x$ 变化时，画出水的平均温度分布：横轴为 $x$，纵轴为 $T_m$，图中须明确标出 $T_w$ 及入口水温 $T_0$。再求温差 $(T_w-T_m)$ 降至 $(T_w-T_0)$ 的 $e^{-1}$ 倍处的位置 $x_1$，其中 $e$ 是自然对数的底。

3. 若出口处可认为 $T_m=T_w$，求单位时间从两块基板移除的总热量 $Q$。平均速度由式 (2) 给出：$U_m=H^2\Delta P/(12\mu L)$。

(2) 将速度场和温度场尚未充分发展的情况也纳入考虑。保持入口、出口压差 $\Delta P$ 不变，改变 $L$ 时，单位时间总传热量 $Q$ 随 $L$ 的变化如图 1-3，有一个极大值。注意流量也随 $L$ 变化。

1. 图中①处是速度、温度边界层厚度远小于 $H$ 的边界层流动；②处速度场、温度场均充分发展。说明 $Q$ 在①和②之间取得极大值的原因。

2. 若改用密度、动力黏度、比热与水相同，但热扩散率大于水的流体，图 1-3 的曲线在①和②处分别如何变化？说明理由。

Kai

(1)

長さ $\mathrm dx$ の区間で、両壁からの入熱 $2qW\mathrm dx$ が流体のエンタルピー増加に等しいから

$$\begin{gathered} \rho U_mWHc_p\,\mathrm dT_m=2qW\,\mathrm dx,\\ \boxed{\frac{\mathrm dT_m}{\mathrm dx}=\frac{2q}{\rho U_mHc_p}}. \end{gathered}$$

$q=h(T_w-T_m)$、$T_m(0)=T_0$ を用いて

$$\begin{gathered} \boxed{T_m=T_w-(T_w-T_0)e^{-x/x_1}},\\ \boxed{x_1=\frac{\rho U_mHc_p}{2h}}. \end{gathered}$$

全体の熱収支から

$$Q=\rho U_mWHc_p[T_m(L)-T_0].$$

$T_m(L)\simeq T_w$ なら

$$\boxed{Q\simeq\frac{\rho WH^3c_p\Delta P}{12\mu L}(T_w-T_0)}.$$

(2)

短い流路では流体温度は壁温より十分低く、長さの増加による伝熱面積の増加が効いて $Q$ は増す。一方、十分長い流路では出口温度が壁温に近づき、単位質量当たりの受熱量は飽和する。固定圧力差では流量が $1/L$ に比例して減るので、$Q$ も減少する。したがって途中に最大値をもつ。

$\alpha$ を大きくすると $\lambda=\rho c_p\alpha$ が増し、入口域では壁から流体への熱輸送が強くなるため $Q$ は増す。十分長い流路では既に $T_m(L)\simeq T_w$ であり、流量と $c_p$ が変わらないので $Q$ はほぼ変わらない。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答