東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年度 機械工学第1部 問題1 II

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

幅 $W$、長さ $L$、間隔 $H$ の平行平板間を水が層流で流れる。$W\gg L$ とし、両壁温度 $T_w$、入口温度 $T_0<T_w$、密度 $\rho$、定圧比熱 $c_p$、粘度 $\mu$、熱拡散率 $\alpha$ は一定とする。

(1) 流れと温度分布の助走域を無視し、断面平均速度を $U_m$、混合平均温度を $T_m(x)$、片側の壁面熱流束を $q(x)$ とする。

1. $\mathrm dT_m/\mathrm dx=2q/(\rho U_mHc_p)$ を導け。
2. 熱伝達率 $h$ が一定のとき $T_m(x)$ の概形と、$(T_w-T_m)/(T_w-T_0)=e^{-1}$ になる位置 $x_1$ を求めよ。
3. 出口で $T_m\simeq T_w$ となる十分長い流路の伝熱量率 $Q$ を、圧力差 $\Delta P$ で表せ。$U_m=H^2\Delta P/(12\mu L)$ を用いてよい。

(2) 助走域を考慮し、入口と出口の圧力差を一定に保って $L$ を変える。

1. 短い流路では境界層が十分薄く、長い流路では十分発達することに留意し、$Q$ が中間の $L$ で最大となる理由を説明せよ。
2. $\rho,\mu,c_p$ が等しく $\alpha$ が大きい液体に替えると、短い流路および十分長い流路での $Q$ はどう変わるか。

题目描述

恒温平行板间有层流水流。建立混合平均温度方程，求温度沿程分布及特征长度；在出口水温接近壁温时，用固定压差求总传热量。再考虑入口段，解释固定压差下传热量为何随流路长度先增后减，并讨论增大液体热扩散率对短流路和充分长流路的影响。

Kai

(1)

長さ $\mathrm dx$ の区間で、両壁からの入熱 $2qW\mathrm dx$ が流体のエンタルピー増加に等しいから

$$\rho U_mWHc_p\,\mathrm dT_m=2qW\,\mathrm dx, \qquad\boxed{\frac{\mathrm dT_m}{\mathrm dx}=\frac{2q}{\rho U_mHc_p}}.$$

$q=h(T_w-T_m)$、$T_m(0)=T_0$ を用いて

$$\boxed{T_m=T_w-(T_w-T_0)e^{-x/x_1}},\qquad \boxed{x_1=\frac{\rho U_mHc_p}{2h}}.$$

全体の熱収支から

$$Q=\rho U_mWHc_p[T_m(L)-T_0].$$

$T_m(L)\simeq T_w$ なら

$$\boxed{Q\simeq\frac{\rho WH^3c_p\Delta P}{12\mu L}(T_w-T_0)}.$$

(2)

短い流路では流体温度は壁温より十分低く、長さの増加による伝熱面積の増加が効いて $Q$ は増す。一方、十分長い流路では出口温度が壁温に近づき、単位質量当たりの受熱量は飽和する。固定圧力差では流量が $1/L$ に比例して減るので、$Q$ も減少する。したがって途中に最大値をもつ。

$\alpha$ を大きくすると $\lambda=\rho c_p\alpha$ が増し、入口域では壁から流体への熱輸送が強くなるため $Q$ は増す。十分長い流路では既に $T_m(L)\simeq T_w$ であり、流量と $c_p$ が変わらないので $Q$ はほぼ変わらない。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答