東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年度 機械工学第1部 問題1 I

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• Heat-Capacity-and-Degrees-of-Freedom

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

理想気体のオットーサイクル $1\to2\to3\to4\to1$ を考える。$1\to2$ は可逆断熱圧縮、$2\to3$ は等容加熱、$3\to4$ は可逆断熱膨張、$4\to1$ は等容冷却で、$V_2=V_3<V_1=V_4$ とする。

1. 比熱比 $\kappa$ が一定のとき熱効率を求めよ。
2. $T$–$S$ 線図を描き、圧縮、点火・燃焼、膨張に対応する過程を示せ。
3. 膨張時の外部仕事を $P_3,V_3,V_4,\kappa$ で導け。
4. 断熱膨張が $PV^n=\mathrm{const.}$（$n<\kappa$）に従う不可逆過程であるとする。仕事に変換されず内部エネルギーに転化した散逸量を導き、$P$–$V$ 線図にこの膨張曲線を破線で示せ。
5. 炭化水素 $\mathrm C_m\mathrm H_{2m+2}$ を酸素と完全燃焼させる。低温の二原子分子で振動を無視すると、酸素の比熱比はいくらか。
6. 燃料と酸素の供給モル数の和を一定として、当量比1から燃料割合を減らす。燃焼ガスの分子自由度と温度の変化を考え、オットーサイクルの理論効率への影響を説明せよ。

题目描述

对理想气体奥托循环，求效率、温熵图、膨胀功。将绝热膨胀改为 $PV^n=\mathrm{const.}$、$n<\kappa$ 的不可逆过程，求内部耗散量并画出膨胀曲线。然后求忽略振动自由度时氧气的比热比，并说明在总供给摩尔数不变时，从化学计量燃烧转向贫燃对理论效率的影响。

Kai

(1)・(2)

断熱関係 $TV^{\kappa-1}=\mathrm{const.}$ より

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2} =1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1}}.$$

圧縮は $1\to2$、点火・燃焼は $2\to3$、膨張は $3\to4$ に対応する。

(3)

$P=P_3(V_3/V)^\kappa$ を積分して

$$\boxed{W_{34}=\int_{V_3}^{V_4}P\,\mathrm dV =\frac{P_3V_3}{\kappa-1}\left[1-\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\kappa-1}\right]}.$$

(4)

圧力 $P$ を気体の状態圧力とすると、$PV$ に比例する内部エネルギーは $U=PV/(\kappa-1)$。$PV^n=\mathrm{const.}$ より

$$\mathrm dU=-\frac{n-1}{\kappa-1}P\,\mathrm dV.$$

断熱下で内部に散逸する仕事は $\mathrm dE_{\rm diss}=\mathrm dU+P\,\mathrm dV$ なので

$$\boxed{E_{\rm diss}=\frac{P_3V_3(\kappa-n)}{(\kappa-1)(n-1)} \left[1-\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{n-1}\right]} \quad(n\ne1).$$

$n=1$ では極限より $E_{\rm diss}=P_3V_3\ln(V_4/V_3)$。膨張曲線は可逆断熱曲線より上側にある。

外部仕事は $W_{\rm out}=-\Delta U$ であり、同じ終体積までの可逆膨張と比べた仕事の減少量は

$$\boxed{W_{34}-W_{\rm out}=\frac{P_3V_3}{\kappa-1} \left[\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{n-1}-\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\kappa-1}\right]}.$$

(5)・(6)

並進3自由度と回転2自由度より $C_V=5R/2$、$C_P=7R/2$ なので

$$\boxed{\kappa_{\mathrm O_2}=\frac75}.$$

反応は

$$\mathrm C_m\mathrm H_{2m+2}+\frac{3m+1}{2}\mathrm O_2 \longrightarrow m\mathrm{CO}_2+(m+1)\mathrm H_2\mathrm O.$$

燃料割合を減らすと生成物中の多原子分子の割合が減り、余剰酸素が増す。また発熱量と燃焼温度が下がり、振動自由度の寄与も減る。平均 $C_V/R$ が小さくなって $\kappa$ が増すため、圧縮比一定の理論効率は増加する。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答