東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 东京大学
• 奥托循环
• 不可逆过程
• 热容与自由度

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

理論サイクルが図 1-1 に示すオットーサイクルの $P$–$V$ 線図で表すことができる、4 サイクル内燃機関について以下の問いに答えよ。ただし、シリンダ内のガスは理想気体であり、圧力 $P$ と容積 $V$ の下付き文字は、図 1-1 中の番号で示す熱力学的状態に対応する。

(1) 作動ガスの比熱比 $\kappa$ が一定である場合のオットーサイクルの理論熱効率を、$P_1,P_2,P_3,P_4,V_1,V_2,V_3,V_4,\kappa$ のうちから必要な記号を用いて示せ。

(2) この内燃機関の $T$–$S$ 線図を図 1-1 中の番号に対応させて描け。また、内燃機関の行程、a) 燃焼前のガスの圧縮、b) 点火・燃焼、c) 燃焼後のガスの膨張、と図 1-1 中の番号で示される状態の変化との対応を示せ。

(3) このサイクルが膨張過程で外界になす仕事を、$P_3,V_3,V_4$ とシリンダ内の燃焼ガスの比熱比 $\kappa$ を用いて求めよ。なお、導出過程を示すこと。

(4) このサイクルの膨張過程が、断熱状態で $PV^n=\text{一定}$（$n<\kappa$）のポリトロープ変化で記述できる不可逆変化であったときの損失（仕事に変化せずに内部エネルギーになった熱）を、導出の過程と共に $P_3,V_3,V_4,\kappa,n$ を用いて示せ。また、この膨張過程をオットーサイクルの $P$–$V$ 線図上に破線で示せ。ただし、損失のある膨張過程の初期温度は、損失のない場合の初期温度と等しいとする。

この内燃機関の点火・燃焼過程において、シリンダ内がモル比 $1:(3m+1)/2$ のアルカン系燃料ガス $\mathrm{C}_m\mathrm{H}_{2m+2}$ と酸素 $\mathrm{O}_2$ の混合ガスで満たされ、以下に示す化学反応式に従って断熱的に完全燃焼をしたものとする。

$$\mathrm{C}_m\mathrm{H}_{2m+2}+\frac{3m+1}{2}\mathrm{O}_2 \longrightarrow m\mathrm{CO}_2+(m+1)\mathrm{H}_2\mathrm{O}$$

(5) 酸素の比熱比を分子運動の自由度から求めよ。なお、温度は十分に低いこととする。

(6) この内燃機関で吸入する混合ガスの全モル数を変えずに、燃料ガスの量を減らし、酸素の量を増やした場合、熱効率はどのように変化するか。また、その理由を記せ。

题目描述

一台四冲程内燃机的理论循环可用图 1-1 的奥托循环 $P$–$V$ 图表示。气缸内气体为理想气体，压力 $P$、容积 $V$ 的下标对应图中编号所示热力学状态。回答下列问题。

(1) 工质比热比 $\kappa$ 恒定时，从 $P_1,P_2,P_3,P_4,V_1,V_2,V_3,V_4,\kappa$ 中选用必要符号，表示奥托循环的理论热效率。

(2) 画出该内燃机的 $T$–$S$ 图，标注与图 1-1 对应的状态编号；并指出 a) 燃烧前气体压缩、b) 点火和燃烧、c) 燃烧后气体膨胀，分别对应图 1-1 中哪些状态变化。

(3) 用 $P_3,V_3,V_4$ 及气缸内燃烧气体的比热比 $\kappa$，求膨胀过程对外所做的功，并写出推导过程。

(4) 若膨胀是在绝热条件下进行的不可逆过程，可用 $PV^n=\text{常数}$（$n<\kappa$）的多变过程描述，用 $P_3,V_3,V_4,\kappa,n$ 表示损失（未转化为功、而成为内能的热），并写出推导过程。还须在奥托循环 $P$–$V$ 图上用虚线画出该膨胀过程。有损失膨胀的初温与无损失膨胀的初温相同。

在点火、燃烧过程中，气缸内充满摩尔比为 $1:(3m+1)/2$ 的烷烃燃料气体 $\mathrm{C}_m\mathrm{H}_{2m+2}$ 与氧气 $\mathrm O_2$，按上述反应式绝热完全燃烧，生成 $m\mathrm{CO}_2+(m+1)\mathrm H_2\mathrm O$。

(5) 从分子运动自由度求氧气的比热比，假设温度足够低。

(6) 保持吸入混合气的总摩尔数不变，减少燃料气体、增加氧气时，热效率如何变化？说明理由。

Kai

(1)

断熱関係 $TV^{\kappa-1}=\mathrm{const.}$ より

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2} =1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1}}.$$

(2)

圧縮は $1\to2$、点火・燃焼は $2\to3$、膨張は $3\to4$ に対応する。

(3)

$P=P_3(V_3/V)^\kappa$ を積分して

$$\boxed{\begin{gathered} W_{34}=\int_{V_3}^{V_4}P\,\mathrm dV\\ =\frac{P_3V_3}{\kappa-1}\left[1-\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\kappa-1}\right] \end{gathered}}.$$

(4)

圧力 $P$ を気体の状態圧力とすると、$PV$ に比例する内部エネルギーは $U=PV/(\kappa-1)$。$PV^n=\mathrm{const.}$ より

$$\mathrm dU=-\frac{n-1}{\kappa-1}P\,\mathrm dV.$$

断熱下で内部に散逸する仕事は $\mathrm dE_{\rm diss}=\mathrm dU+P\,\mathrm dV$ なので

$$\begin{gathered} \boxed{E_{\rm diss}=\frac{P_3V_3(\kappa-n)}{(\kappa-1)(n-1)} \left[1-\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{n-1}\right]}\\ (n\ne1). \end{gathered}$$

$n=1$ では極限より $E_{\rm diss}=P_3V_3\ln(V_4/V_3)$。膨張曲線は可逆断熱曲線より上側にある。

外部仕事は $W_{\rm out}=-\Delta U$ であり、同じ終体積までの可逆膨張と比べた仕事の減少量は

$$\boxed{W_{34}-W_{\rm out}=\frac{P_3V_3}{\kappa-1} \left[\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{n-1}-\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\kappa-1}\right]}.$$

(5)

並進3自由度と回転2自由度より $C_V=5R/2$、$C_P=7R/2$ なので

$$\boxed{\kappa_{\mathrm O_2}=\frac75}.$$

(6)

反応は

$$\mathrm C_m\mathrm H_{2m+2}+\frac{3m+1}{2}\mathrm O_2 \longrightarrow m\mathrm{CO}_2+(m+1)\mathrm H_2\mathrm O.$$

燃料割合を減らすと生成物中の多原子分子の割合が減り、余剰酸素が増す。また発熱量と燃焼温度が下がり、振動自由度の寄与も減る。平均 $C_V/R$ が小さくなって $\kappa$ が増すため、圧縮比一定の理論効率は増加する。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答