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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年度 機械工学第2部 問題3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I、II、III のすべてに答えよ。

I​

システムの故障を、原因事象を階層的に結ぶ故障木で表す。AND ゲートは入力事象が両方生じた場合、OR ゲートはいずれかが生じた場合に出力事象が生じることを表す。分解する事象を四角、分解しない基本事象を丸で表し、最上位の事象を頂上事象と呼ぶ。

(1) 事象 EhE_h の発生確率を P(Eh)P(E_h) とする。AND ゲートについて P(E1)=P(E2)P(E3)P(E_1)=P(E_2)P(E_3) とする。OR ゲートでは P(E2),P(E3)≪1P(E_2),P(E_3)\ll1 のとき P(E1)≃P(E2)+P(E3)P(E_1)\simeq P(E_2)+P(E_3) と近似できることを示せ。

システム A は、電源・スイッチ・モータを直列につないだ回路により回転体を駆動する。故障木 A は、頂上事象 E1E_1「モータが回らない」が E2E_2「モータ故障」と E3E_3「回路に電流が流れない」の OR、E3E_3 が E4E_4「電源故障」と E5E_5「スイッチ故障」の OR である。E2,E4,E5E_2,E_4,E_5 は基本事象である。

(2) システム A にもう一組の電源2・スイッチ2の直列系統を加え、冗長化によって故障しにくくしたシステム B を図示せよ。また故障木 B を図示せよ。新たな事象には適宜 EiE_i の記号を付けよ。

(3) 論理和を ∨\lor、論理積を ∧\land とする。例えば EJ=EK∧(EM∨EN)E_J=E_K\land(E_M\lor E_N) は、分配律によって EJ=(EK∧EM)∨(EK∧EN)E_J=(E_K\land E_M)\lor(E_K\land E_N) と書ける。同様に故障木 A、B の頂上事象を基本事象の積和標準形で表せ。基本事象の確率が1より十分小さいとき、B の故障確率が A より小さいと推定できる理由を述べよ。次の分配律を用いてよい。

(X∨Y)∧Z=(X∧Z)∨(Y∧Z),(X∧Y)∨Z=(X∨Z)∧(Y∨Z).(X\lor Y)\land Z=(X\land Z)\lor(Y\land Z),\qquad (X\land Y)\lor Z=(X\lor Z)\land(Y\lor Z).

(4) すべての基本事象の確率が 1.0×10−61.0\times10^{-6} のとき、(1) の近似を用いて A、B の頂上事象の確率を求めよ。

II​

初期高さ h0h_0、初期半径 r0r_0 の円柱を平板工具で圧縮する据込み加工を考える。円柱は軸対称に変形し、側面のたる状変形を無視する。塑性変形が弾性変形より十分大きいので、応力–ひずみ関係は弾性変形を無視した剛完全塑性体で近似し、降伏応力を σY\sigma_Y とする。

高さ hh、半径 aa になった瞬間を考え、中心からの半径座標を rr、軸方向座標を zz とする。軸方向応力 σzz\sigma_{zz} は zz によらず一様。工具との摩擦係数は 0≤μ≤10\le\mu\le1、摩擦力は中心向きで、微小扇形要素のつり合いから次式が与えられる。

dσzzdr=−2μσzzh.\frac{d\sigma_{zz}}{dr}=-\frac{2\mu\sigma_{zz}}h.

(1) 上式を積分し、積分定数 CC を含む形で σzz\sigma_{zz} を表せ。

(2) 降伏条件 σrr−σzz=σY\sigma_{rr}-\sigma_{zz}=\sigma_Y と自由側面の境界条件を用いて CC と σzz(r)\sigma_{zz}(r) を求めよ。

(3) rr を横軸として σzz\sigma_{zz} の分布を図示せよ。

(4) 半径 aa が同じとき、高さ hh、摩擦係数 μ\mu の大小が工具の圧力に及ぼす影響を50字以内で述べよ。

III​

自動車のタイヤと車軸を結び、駆動力、車重、走行時の動的な力を伝えるホイールを考える。

(1) ホイールが備えるべき条件を3項目以上、箇条書きで挙げよ。

(2) 燃費の観点から好ましいホイールの特徴を1項目挙げ、理由を含めて50字以内で述べよ。

(3) 円柱状アルミニウム素材から、(a) 切削、(b) 鋳造、(c) 熱間鍛造でホイールを製造する。それぞれの利点と欠点を、合わせて100字程度で述べよ。

题目描述​

回答 I、II、III 的全部问题。

I：用故障树分析系统。AND 门表示两个原因事件同时发生，OR 门表示至少一个发生；可继续分解的事件画矩形，基本事件画圆，最上层称顶事件。

(1) 记事件概率为 P(Eh)P(E_h)，AND 门满足 P(E1)=P(E2)P(E3)P(E_1)=P(E_2)P(E_3)。证明当 P(E2),P(E3)≪1P(E_2),P(E_3)\ll1 时，OR 门可近似为 P(E1)≃P(E2)+P(E3)P(E_1)\simeq P(E_2)+P(E_3)。

系统 A 用电源、开关、电机串联回路驱动转子。顶事件 E1E_1“电机不转”是 E2E_2“电机故障”与 E3E_3“回路无电流”的 OR；E3E_3 是 E4E_4“电源故障”与 E5E_5“开关故障”的 OR。E2,E4,E5E_2,E_4,E_5 为基本事件。

(2) 追加一组电源2与开关2组成的串联支路，画出通过冗余提高可靠性的系统 B 及其故障树。给新事件分配符号。

(3) 用基本事件的逻辑与、或写出 A、B 顶事件的积之和形式。可使用布尔代数两条分配律，例如 EK∧(EM∨EN)=(EK∧EM)∨(EK∧EN)E_K\land(E_M\lor E_N)=(E_K\land E_M)\lor(E_K\land E_N)。说明当基本事件概率很小时，B 为什么比 A 更可靠。

(4) 所有基本事件概率均为 10−610^{-6}，利用 (1) 近似计算两系统顶事件概率。

II：用平板工具压缩初始高度 h0h_0、半径 r0r_0 的圆柱，作轴对称镦粗。忽略侧面鼓肚及弹性变形，使用屈服应力为 σY\sigma_Y 的刚理想塑性模型。考察高度为 hh、半径为 aa 的瞬间，rr 为径向坐标，zz 为轴向坐标。σzz\sigma_{zz} 沿 zz 均匀，摩擦系数 0≤μ≤10\le\mu\le1，工具摩擦力指向中心，给定

dσzzdr=−2μσzzh.\frac{d\sigma_{zz}}{dr}=-\frac{2\mu\sigma_{zz}}h.

(1) 积分并保留常数 CC；(2) 用自由侧面条件与 σrr−σzz=σY\sigma_{rr}-\sigma_{zz}=\sigma_Y 求 CC 和应力分布；(3) 以 rr 为横轴绘图；(4) 半径相同时，用50字以内日文说明高度与摩擦系数对工具压力的影响。

III：汽车轮毂连接轮胎和车轴，传递驱动力并承受车重及动态载荷。(1) 列出至少3项要求；(2) 从油耗角度举出一项理想特征，连同理由用50字以内日文说明；(3) 从圆柱铝材以切削、铸造、热锻三种方法制轮毂，用合计约100字日文比较各自优缺点。

Kai​

I​

(1) 基本事象の独立性を仮定すると

P(E2∪E3)=P(E2)+P(E3)−P(E2)P(E3)≃P(E2)+P(E3).P(E_2\cup E_3)=P(E_2)+P(E_3)-P(E_2)P(E_3) \simeq\boxed{P(E_2)+P(E_3)}.

積の項は二次の微小量である。

(2) 電源–スイッチの支路を二系統並列にし、どちらかが健全ならモータに給電できるようにする。E6,E7E_6,E_7 を各支路の給電不能、E8,E9E_8,E_9 を電源2・スイッチ2の故障とする。

二系統給電回路と故障木B

(3)

E1(A)=E2∨E4∨E5,\boxed{E_1^{(A)}=E_2\lor E_4\lor E_5},
E1(B)=E2∨(E4∧E8)∨(E4∧E9)∨(E5∧E8)∨(E5∧E9).\boxed{E_1^{(B)}=E_2\lor(E_4\land E_8)\lor(E_4\land E_9) \lor(E_5\land E_8)\lor(E_5\land E_9)}.

A では電源またはスイッチの一故障で給電不能となるが、B では両支路の故障が必要である。独立で低確率の基本事象なら、電源系の故障確率が一次から二次に小さくなる。

(4) ε=10−6\varepsilon=10^{-6} とし、OR を和で近似して

PA≃3ε=3.0×10−6,PB≃ε+(2ε)2=1.000004×10−6.\boxed{P_A\simeq3\varepsilon=3.0\times10^{-6}},\qquad \boxed{P_B\simeq\varepsilon+(2\varepsilon)^2 =1.000004\times10^{-6}}.

II​

(1)・(2) 変数分離して σzz=Ce−2μr/h\sigma_{zz}=Ce^{-2\mu r/h}。σrr(a)=0\sigma_{rr}(a)=0 と降伏条件より σzz(a)=−σY\sigma_{zz}(a)=-\sigma_Y なので

C=−σYe2μa/h,σzz(r)=−σYexp⁡[2μ(a−r)h].\boxed{C=-\sigma_Ye^{2\mu a/h}},\qquad \boxed{\sigma_{zz}(r)=-\sigma_Y\exp\left[\frac{2\mu(a-r)}h\right]}.

(3) 中心で −σYe2μa/h-\sigma_Ye^{2\mu a/h}、外周で −σY-\sigma_Y となる。μ>0\mu>0 では外周へ向かって増加し、圧縮応力の絶対値は減少する。μ=0\mu=0 では一様である。

据込み加工の軸方向応力

(4) 高さが小さく摩擦係数が大きいほど、中心部の圧縮応力が増し、工具に必要な圧力が高くなる。

III​

(1)

  • 車重、駆動・制動トルク及び横力に耐える強度。
  • 繰返し荷重に対する疲労強度と、衝撃に対する靱性。
  • 過大に変形しない剛性。
  • 振れ・偏心が小さい寸法精度と良好な回転バランス。
  • 軽量性、耐食性及びタイヤを保持する気密性。

(2) 軽量なホイール。並進・回転慣性が減り、加速に必要なエネルギーを抑えられるため。

(3) 切削は精度が高いが材料損失と加工費が大きい。鋳造は複雑形状を安価に量産できるが鋳巣などが生じやすい。熱間鍛造は緻密で高強度・軽量化に適するが、金型・設備費が高く形状に制約がある。

Reference​

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