東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年8月実施 機械工学第2部 問題3

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• 东京大学
• 故障树分析
• 镦粗与薄层法
• 铸造、锻造与切削加工

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題3

下記の I、II、III すべてについて解答せよ。

なお、I の解答に答案用紙1枚と下書き用紙1枚を、II と III の解答合わせて答案用紙1枚と下書き用紙1枚を、それぞれ用いること。

I. 設計したシステムが故障する可能性を検討する。

原因となる事象 $E_2$ と $E_3$ の両方が生じた場合のみ、結果として故障事象 $E_1$ が生じる場合を図3-1に示す AND ゲートで、事象 $E_2$ または $E_3$ のいずれか一方でも生じれば、故障事象 $E_1$ が生じる場合を図3-1の OR ゲートで、それぞれ表すものとする。

(1) 事象 $E_h$ が発生する確率を $P(E_h)$ で表すとき、図3-1の AND ゲートの場合は $P(E_1)=P(E_2)\times P(E_3)$ となる。一方、図3-1の OR ゲートの場合は、$P(E_2),P(E_3)\ll1$ であるとき、$P(E_1)=P(E_2)+P(E_3)$ と近似できることを示せ。

いま、回転体をモータで回転させるシステム（図3-2(a)）において、「モータが回らない」故障が発生する原因は、図3-1に示すゲートを階層的に組み合わせた木構造（図3-2(b)）で表現できるとする。ここで、下位（原因）の事象への分解を行う事象は四角で、下位の事象への分解を行わない基本事象は丸で、それぞれ表されている。また、木構造の頂上にあたる $E_1$ を頂上事象とよぶ。このように故障を解析した木構造を、故障木とよぶ。

(2) システムに、同様な機能要素を重複して持たせておくことによって、システム全体の故障の可能性を小さくすることができる。その考え方に基づき、図3-2(a)のシステム A に、図3-2(c)に示す電源－スイッチ系統を追加したシステム B を図示せよ。そのシステム B について「モータが回らない」故障の故障木 B を、図3-2(b)にならって図示せよ。なお、新たに記述する事象については適宜新たな記号 $E_i$ を割り当ててよい。

(3) 例として示す故障木 C（図3-3）は、丸で図示した基本事象を論理和 $\vee$ と論理積 $\wedge$ で組み合わせた論理式で次式のように表現できる。

$$E_J=E_K\wedge(E_M\vee E_N)\tag{1}$$

その論理式を、次式に示すブール代数の分配律

$$\begin{aligned} (X\vee Y)\wedge Z&=(X\wedge Z)\vee(Y\wedge Z),\\ (X\wedge Y)\vee Z&=(X\vee Z)\wedge(Y\vee Z) \end{aligned}\tag{2}$$

などを用いて、次式に示す積和標準形式（論理積の論理和の形）に変形することができる。

$$E_J=(E_K\wedge E_M)\vee(E_K\wedge E_N)\tag{3}$$

これにならって、図3-2(b)の故障木 A と、設問 (2) で求めた故障木 B を、それぞれ基本事象の積和標準形式で表現せよ。基本事象が生じる確率は1より十分小さいとき、求めた故障木 A と故障木 B の積和標準形式表現から、システム A よりもシステム B のほうが「モータが回らない」故障の可能性が小さいと推定できる理由を述べよ。

(4) 図3-2(b)の故障木 A および設問 (2) で求めた故障木 B に現れる丸で示した各基本事象 $E_h$ の確率がすべて $P(E_h)=1.0\times10^{-6}$ であると仮定したとき、設問 (1) の結果を用いて故障木 A と故障木 B それぞれの頂上事象 $E_1$ の確率 $P(E_1)$ を計算せよ。

II. 回転体の製造を非切削加工で行うことを考える。初期高さが $h_0$、半径が $r_0$ なる円柱（円板）を平板工具で圧縮し、円柱は軸対称に変形する。塑性変形が弾性変形より十分大きい場合を考えると、変形中の応力－ひずみ関係は、図3-4(a)の弾完全塑性体から、弾性変形を無視した図3-4(b)の剛完全塑性体で近似できる。以後、剛完全塑性体で近似する場合を考える。塑性変形中に円柱が高さ $h$、半径 $a$ となった瞬間の、図3-5(b)に示した円柱内部の微小扇形要素の半径 $r$ 方向の力のつり合い式は、軸方向応力成分を $\sigma_{zz}$ として、式 (4) で与えられる。ただし、軸方向応力成分 $\sigma_{zz}$ は $z$ 方向に一様であり、円柱側面のたる状の変形は無視する。$\mu$ はまさつ係数（$0\le\mu\le1$）で、まさつ力は円柱中心を向いている。

$$\frac{d\sigma_{zz}}{dr}=-\frac{2\mu\sigma_{zz}}{h}\tag{4}$$

(1) 軸方向応力成分 $\sigma_{zz}$ を求めるために、式 (4) を積分し積分定数 $C$ を含んだ形で表せ。

(2) 降伏応力を $\sigma_Y$ とすれば降伏条件は $\sigma_{rr}-\sigma_{zz}=\sigma_Y$ と表されるとする。降伏条件と自由表面での境界条件を利用して積分定数 $C$ を求め、軸方向応力成分 $\sigma_{zz}$ の半径 $r$ 方向分布を求めよ。

(3) 軸方向応力成分 $\sigma_{zz}$ の半径 $r$ 方向分布を、$r$ を横軸として図示せよ。

(4) 円柱の半径 $a$ が同じである場合、円柱の高さ $h$ の大小、まさつ係数 $\mu$ の大小が、平板工具に作用する圧力におよぼす影響を50字以内で説明せよ。

III. 図3-6は自動車のタイヤと車軸を連結するために利用されているホイールである。ホイールの設計と生産に関連した以下の問いに答えよ。

(1) ホイールは自動車の駆動力を伝達し、自動車の重量、運転時の動的な力などを支えている。このことを考えた場合、ホイールが備えるべき条件3項目以上を、箇条書きにて記せ。

(2) 自動車の燃費におよぼす影響を考えた場合、どのようなホイールが好ましいか、1項目を挙げ、理由を含め50字以内にて記せ。

(3) 円柱状のアルミニウム素材から、(a) 切削加工、(b) 鋳造、(c) 熱間鍛造加工で、アルミホイールを製造する場合を考える。(a) 切削加工、(b) 鋳造、(c) 熱間鍛造加工で製造の利点と欠点を、(a)～(c) をあわせて100字程度で記せ。

题目描述

问题3

回答以下 I、II、III 的全部问题。I 使用一张答题纸和一张草稿纸；II、III 合计使用另一张答题纸和一张草稿纸。

I. 考虑所设计系统发生故障的可能性。

只有原因事件 $E_2$、$E_3$ 同时发生才导致故障事件 $E_1$ 的情形，用图3-1中的 AND 门表示；$E_2$ 或 $E_3$ 任意一个发生就导致故障事件 $E_1$ 的情形，用 OR 门表示。

(1) 用 $P(E_h)$ 表示事件 $E_h$ 发生的概率，图3-1的 AND 门满足 $P(E_1)=P(E_2)\times P(E_3)$。证明：对于 OR 门，当 $P(E_2),P(E_3)\ll1$ 时，可以近似为 $P(E_1)=P(E_2)+P(E_3)$。

现考虑利用电动机驱动旋转体的系统（图3-2(a)）。假设导致“电动机不转”故障的原因，可以用图3-1中的逻辑门分层组合成树形结构（图3-2(b)）表示。其中，还需分解为下级原因事件的事件用矩形表示，不再分解的基本事件用圆形表示；树的最上层事件 $E_1$ 称为顶事件。这种分析故障的树形结构称为故障树。

(2) 通过重复设置功能相同的元件，可以降低整个系统发生故障的可能性。基于这一思想，在图3-2(a)的系统 A 中增设图3-2(c)所示的电源－开关支路，画出所得系统 B。仿照图3-2(b)，画出系统 B 发生“电动机不转”故障的故障树 B。对新增事件，可适当分配新的符号 $E_i$。

(3) 图3-3中的示例故障树 C，可以通过逻辑或 $\vee$、逻辑与 $\wedge$ 组合圆形所示的基本事件，表示为

$$E_J=E_K\wedge(E_M\vee E_N).\qquad(1)$$

利用下列布尔代数分配律等关系，

$$\begin{aligned} (X\vee Y)\wedge Z&=(X\wedge Z)\vee(Y\wedge Z),\\ (X\wedge Y)\vee Z&=(X\vee Z)\wedge(Y\vee Z), \end{aligned}\qquad(2)$$

可变换为下列积之和标准形式，即若干逻辑与的逻辑或：

$$E_J=(E_K\wedge E_M)\vee(E_K\wedge E_N).\qquad(3)$$

仿照此过程，将图3-2(b)的故障树 A 和 (2) 中求得的故障树 B，分别表示成基本事件的积之和标准形式。当基本事件的发生概率远小于1时，说明为什么从所得两种标准形式可以推断系统 B 比系统 A 更不容易出现“电动机不转”故障。

(4) 假设故障树 A 及 (2) 的故障树 B 中，用圆形表示的各基本事件均具有概率 $P(E_h)=1.0\times10^{-6}$。利用 (1) 的结果，分别计算故障树 A、B 的顶事件 $E_1$ 的概率 $P(E_1)$。

II. 考虑通过非切削加工制造旋转体。用平板工具压缩初始高度 $h_0$、半径 $r_0$ 的圆柱（圆盘），使其轴对称变形。当塑性变形远大于弹性变形时，变形过程中的应力－应变关系，可由图3-4(a)的弹性理想塑性体近似为忽略弹性变形的图3-4(b)刚性理想塑性体。以下采用后一种近似。在塑性变形过程中，圆柱某一时刻的高度为 $h$、半径为 $a$。图3-5(b)所示内部微小扇形单元的径向力平衡关系为

$$\frac{d\sigma_{zz}}{dr}=-\frac{2\mu\sigma_{zz}}{h}.\qquad(4)$$

其中 $\sigma_{zz}$ 是轴向应力分量，在 $z$ 方向均匀；忽略圆柱侧面的鼓肚变形。摩擦系数为 $\mu$（$0\le\mu\le1$），摩擦力指向圆柱中心。

(1) 为求轴向应力分量 $\sigma_{zz}$，对式 (4) 积分，写成含积分常数 $C$ 的形式。

(2) 设屈服应力为 $\sigma_Y$，屈服条件表示为 $\sigma_{rr}-\sigma_{zz}=\sigma_Y$。利用屈服条件和自由表面的边界条件求 $C$，进而求轴向应力 $\sigma_{zz}$ 沿半径 $r$ 的分布。

(3) 以 $r$ 为横轴，画出 $\sigma_{zz}$ 的径向分布。

(4) 当圆柱半径 $a$ 相同时，在50字以内说明圆柱高度 $h$、摩擦系数 $\mu$ 的大小对作用于平板工具的压力有何影响。

III. 图3-6所示的车轮用于连接汽车轮胎与车轴。回答关于车轮设计和制造的以下问题。

(1) 车轮传递汽车驱动力，并承受汽车重量和行驶过程中的动态力等。考虑这些功能，以条目形式列出车轮至少应具备的3项条件。

(2) 考虑对汽车燃油经济性的影响，列出理想车轮的一项特征，并连同理由在50字以内说明。

(3) 考虑以圆柱状铝材为原料，通过 (a) 切削加工、(b) 铸造、(c) 热锻制造铝合金车轮。说明三种制造方法的优点和缺点，(a)～(c) 合计约100字。

Kai

I

(1) 基本事象の独立性を仮定すると

$$\begin{aligned} P(E_2\cup E_3)&=P(E_2)+P(E_3)-P(E_2)P(E_3)\\ &\simeq\boxed{P(E_2)+P(E_3)}. \end{aligned}$$

積の項は二次の微小量である。

(2) 電源–スイッチの支路を二系統並列にし、どちらかが健全ならモータに給電できるようにする。$E_6,E_7$ を各支路の給電不能、$E_8,E_9$ を電源2・スイッチ2の故障とする。

(3)

$$\boxed{E_1^{(A)}=E_2\lor E_4\lor E_5},$$

$$\boxed{E_1^{(B)}=E_2\lor(E_4\land E_8)\lor(E_4\land E_9) \lor(E_5\land E_8)\lor(E_5\land E_9)}.$$

A では電源またはスイッチの一故障で給電不能となるが、B では両支路の故障が必要である。独立で低確率の基本事象なら、電源系の故障確率が一次から二次に小さくなる。

(4) $\varepsilon=10^{-6}$ とし、OR を和で近似して

$$\begin{gathered} \boxed{P_A\simeq3\varepsilon=3.0\times10^{-6}},\\ \boxed{P_B\simeq\varepsilon+(2\varepsilon)^2 =1.000004\times10^{-6}}. \end{gathered}$$

II

(1)・(2) 変数分離して $\sigma_{zz}=Ce^{-2\mu r/h}$。$\sigma_{rr}(a)=0$ と降伏条件より $\sigma_{zz}(a)=-\sigma_Y$ なので

$$\boxed{C=-\sigma_Ye^{2\mu a/h}},\qquad \boxed{\sigma_{zz}(r)=-\sigma_Y\exp\left[\frac{2\mu(a-r)}h\right]}.$$

(3) 中心で $-\sigma_Ye^{2\mu a/h}$、外周で $-\sigma_Y$ となる。$\mu>0$ では外周へ向かって増加し、圧縮応力の絶対値は減少する。$\mu=0$ では一様である。

(4) 高さが小さく摩擦係数が大きいほど、中心部の圧縮応力が増し、工具に必要な圧力が高くなる。

III

(1)

• 車重、駆動・制動トルク及び横力に耐える強度。
• 繰返し荷重に対する疲労強度と、衝撃に対する靱性。
• 過大に変形しない剛性。
• 振れ・偏心が小さい寸法精度と良好な回転バランス。
• 軽量性、耐食性及びタイヤを保持する気密性。

(2) 軽量なホイール。並進・回転慣性が減り、加速に必要なエネルギーを抑えられるため。

(3) 切削は精度が高いが材料損失と加工費が大きい。鋳造は複雑形状を安価に量産できるが鋳巣などが生じやすい。熱間鍛造は緻密で高強度・軽量化に適するが、金型・設備費が高く形状に制約がある。

Reference

• 東京大学 2014年度 機械工学第2部 原題、PDF 10–15ページ