東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年度 機械工学第2部 問題2 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 長さ L L L m b m_b m b g g g ϑ ∈ ( 0 , π / 2 ) \vartheta\in(0,\pi/2) ϑ ∈ ( 0 , π /2 ) ( L sin ϑ , L cos ϑ ) (L\sin\vartheta,L\cos\vartheta) ( L sin ϑ , L cos ϑ ) ( − L cos ϑ , L sin ϑ ) (-L\cos\vartheta,L\sin\vartheta) ( − L cos ϑ , L sin ϑ )
(1) C に鉛直下向きの力 R R R ϑ = θ 0 \vartheta=\theta_0 ϑ = θ 0 R R R
(2) R R R m s m_s m s k k k c c c m s m_s m s θ 0 \theta_0 θ 0 z 0 z_0 z 0
(3) B に微小な周期外力 f f f m s m_s m s z z z θ \theta θ z z z θ \theta θ
cos ( θ 0 + θ ) ≃ cos θ 0 − θ sin θ 0 , sin ( θ 0 + θ ) ≃ sin θ 0 + θ cos θ 0 . \cos(\theta_0+\theta)\simeq\cos\theta_0-\theta\sin\theta_0,\qquad
\sin(\theta_0+\theta)\simeq\sin\theta_0+\theta\cos\theta_0. cos ( θ 0 + θ ) ≃ cos θ 0 − θ sin θ 0 , sin ( θ 0 + θ ) ≃ sin θ 0 + θ cos θ 0 . (4) z , z ˙ , z ¨ , f z,\dot z,\ddot z,f z , z ˙ , z ¨ , f
次に、この機構を用いた遠心調速機を考える。原動機の回転を歯車で調速機軸へ伝え、クランクと遠心おもりを回転させる。おもりの遠心力でクランクが回り、ばね・ダンパに接続されたスライダが上下する。スライダは燃料制御弁を操作し、回転数の増加を抑える方向に原動機トルクを変える。スライダは鉛直軸方向のみに滑らかに動き、クランクと離れず、接触部では水平及び紙面垂直方向へ抵抗なく滑る。
(5) 定常角速度 Ω \Omega Ω m b m_b m b F F F a a a
(6) 微小な角速度変動 ω \omega ω Δ F \Delta F Δ F
スライダの平衡位置からの変位を z z z M , C , K , H , I , G M,C,K,H,I,G M , C , K , H , I , G
M z ¨ + C z ˙ + K z = H ω , I ω ˙ = − G z M\ddot z+C\dot z+Kz=H\omega,\qquad I\dot\omega=-Gz M z ¨ + C z ˙ + Kz = H ω , I ω ˙ = − G z と表される。I I I G G G
(7) M = 10 k g , K = 1000 N / m M=10\,\mathrm{kg},K=1000\,\mathrm{N/m} M = 10 kg , K = 1000 N/m 0.5 0.5 0.5 C C C
(8) ラプラス演算子を s s s M , K , C M,K,C M , K , C
(9) 系が安定となる C C C
题目描述
两根长 L L L m b m_b m b ϑ ∈ ( 0 , π / 2 ) \vartheta\in(0,\pi/2) ϑ ∈ ( 0 , π /2 ) ( L sin ϑ , L cos ϑ ) (L\sin\vartheta,L\cos\vartheta) ( L sin ϑ , L cos ϑ ) ( − L cos ϑ , L sin ϑ ) (-L\cos\vartheta,L\sin\vartheta) ( − L cos ϑ , L sin ϑ ) g g g
(1) C 受向下力 R R R ϑ = θ 0 \vartheta=\theta_0 ϑ = θ 0 R R R
(2) 将 R R R m s m_s m s k k k c c c m s m_s m s z 0 z_0 z 0
(3) 向 B 施加向右的微小周期力 f f f z z z θ \theta θ θ 0 \theta_0 θ 0 z z z θ \theta θ
(4) 用 z , z ˙ , z ¨ , f z,\dot z,\ddot z,f z , z ˙ , z ¨ , f
随后将曲柄和离心重块绕调速机轴旋转，通过滑块上下运动调节燃料阀，抑制原动机转速变化。滑块仅可平滑竖直运动，不与曲柄脱离，接触处水平方向及纸面垂直方向无摩擦。
(5) 稳态角速度为 Ω \Omega Ω m b m_b m b a a a F F F
(6) 转速微小变化 ω \omega ω Δ F \Delta F Δ F
给定滑块与转轴的线性方程
M z ¨ + C z ˙ + K z = H ω , I ω ˙ = − G z . M\ddot z+C\dot z+Kz=H\omega,\qquad I\dot\omega=-Gz. M z ¨ + C z ˙ + Kz = H ω , I ω ˙ = − G z . 其中参数均为常数，I I I G G G
(7) M = 10 k g , K = 1000 N / m M=10\,\mathrm{kg},K=1000\,\mathrm{N/m} M = 10 kg , K = 1000 N/m 0.5 0.5 0.5 C C C
(8) 用拉普拉斯变量 s s s M , K , C M,K,C M , K , C
(9) 求系统稳定所要求的 C C C
Kai (1)・(2)
O まわりのモーメントのつり合いより R L cos θ 0 = m b g L sin θ 0 RL\cos\theta_0=m_bgL\sin\theta_0 R L cos θ 0 = m b gL sin θ 0
R = m b g tan θ 0 . \boxed{R=m_bg\tan\theta_0}. R = m b g tan θ 0 . C が m s m_s m s N 0 = R N_0=R N 0 = R N 0 − m s g − k z 0 = 0 N_0-m_sg-kz_0=0 N 0 − m s g − k z 0 = 0
z 0 = g k ( m b tan θ 0 − m s ) . \boxed{z_0=\frac gk(m_b\tan\theta_0-m_s)}. z 0 = k g ( m b tan θ 0 − m s ) . (3)・(4)
幾何関係を線形化して
z = L { sin ( θ 0 + θ ) − sin θ 0 } ≃ L cos θ 0 θ . \boxed{z=L\{\sin(\theta_0+\theta)-\sin\theta_0\}\simeq L\cos\theta_0\,\theta}. z = L { sin ( θ 0 + θ ) − sin θ 0 } ≃ L cos θ 0 θ . 接触力を N = N 0 + n N=N_0+n N = N 0 + n m s m_s m s
m b L 2 θ ¨ = m b g L cos θ 0 θ + L cos θ 0 ( f − n ) , m s z ¨ = n − k z − c z ˙ . m_bL^2\ddot\theta=\frac{m_bgL}{\cos\theta_0}\theta+L\cos\theta_0(f-n),
\qquad m_s\ddot z=n-kz-c\dot z. m b L 2 θ ¨ = cos θ 0 m b gL θ + L cos θ 0 ( f − n ) , m s z ¨ = n − k z − c z ˙ . θ \theta θ n n n
( m s + m b cos 2 θ 0 ) z ¨ + c z ˙ + ( k − m b g L cos 3 θ 0 ) z = f . \boxed{\left(m_s+\frac{m_b}{\cos^2\theta_0}\right)\ddot z
+c\dot z+\left(k-\frac{m_bg}{L\cos^3\theta_0}\right)z=f}. ( m s + cos 2 θ 0 m b ) z ¨ + c z ˙ + ( k − L cos 3 θ 0 m b g ) z = f . (5)・(6)
F = m b a Ω 2 , Δ F = m b a { ( Ω + ω ) 2 − Ω 2 } ≃ 2 m b a Ω ω . \boxed{F=m_ba\Omega^2},\qquad
\boxed{\Delta F=m_ba\{(\Omega+\omega)^2-\Omega^2\}\simeq2m_ba\Omega\omega}. F = m b a Ω 2 , Δ F = m b a {( Ω + ω ) 2 − Ω 2 } ≃ 2 m b a Ω ω . (7)
ζ = C / ( 2 M K ) \zeta=C/(2\sqrt{MK}) ζ = C / ( 2 M K )
C = 2 ζ M K = 100 N s / m . \boxed{C=2\zeta\sqrt{MK}=100\,\mathrm{N\,s/m}}. C = 2 ζ M K = 100 N s/m . (8)・(9)
( M s 2 + C s + K ) Z = H ω ^ (Ms^2+Cs+K)Z=H\widehat\omega ( M s 2 + C s + K ) Z = H ω I s ω ^ = − G Z Is\widehat\omega=-GZ I s ω = − GZ
I M s 3 + I C s 2 + I K s + G H = 0 . \boxed{IMs^3+ICs^2+IKs+GH=0}. I M s 3 + I C s 2 + I Ks + G H = 0 . 通常の負帰還調速機の条件 I , M , K , G , H > 0 I,M,K,G,H>0 I , M , K , G , H > 0 C > 0 C>0 C > 0 ( I C ) ( I K ) > ( I M ) ( G H ) (IC)(IK)>(IM)(GH) ( I C ) ( I K ) > ( I M ) ( G H )
C > M G H I K . \boxed{C>\frac{MGH}{IK}}. C > I K MG H . 等号では純虚根が生じ、漸近安定ではない。
Reference