東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 梁的挠度
• 应变能
• 薄壁压力容器
• 应力变换与主应力

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の I，II の両方について解答せよ。

I

図 1-1 のように，A 点で固定支持された長さ $l$ の片持ちはり AB があり，AB に鉛直下向きの等分布荷重 $w$（はりの単位長さあたりの荷重が $w$），と B 点に鉛直下向きの集中荷重 $P$ がかかっている。曲げ剛性 $EI$ は AB 間で一定とする。以下の設問に答えよ。なお，自重の影響は考えないものとする。

(1) 図のように支持端から右方向に座標 $x$ をとるとき，$x$ の位置における曲げモーメント $M$ を求めよ。

(2) はりに蓄えられる弾性ひずみエネルギー $U$ が

$$U=\frac12\int_0^l\frac{M^2}{EI}\,dx$$

で与えられることを示せ。

(3) 荷重 $w$ と $P$ によって生じる B 点における鉛直下向きの変位を求め，$EI,P,w,l$ を用いて表せ。

次に，図 1-2 のように，片端を地面に固定された半径 $R$，角度 $90^\circ$ の円弧状の曲りばりについて考える。はりの高さ $d$ は $R$ に比べて十分小さいとする。自由端に鉛直下向きの集中荷重 $P$ がかかっているとき，以下の設問に答えよ。なお，曲げ剛性 $EI$ は曲りばりのいたる所で一定であり，自重および軸力の影響は考えないものとする。

(4) 荷重 $P$ によって曲りばりに蓄えられる弾性ひずみエネルギー $U$ を求め，$EI,P,R$ を用いて表せ。

(5) 荷重 $P$ によって生じる自由端の鉛直方向変位 $\delta_v$ を求め，$EI,P,R$ を用いて表せ。ただし，変位は鉛直下向きを正とせよ。

(6) 荷重 $P$ によって生じる自由端の水平方向変位 $\delta_h$ を求め，$EI,P,R$ を用いて表せ。ただし，変位は図の左向きを正とせよ。

II

図 1-3 のような，両端が閉じた薄肉円筒（外半径 $r$，肉厚 $t$，長さ $L$，ヤング率 $E$）が固定壁からつるされ，自重による影響を受けている。また，同時に円筒には内圧 $p$ が作用している。円筒の材料の密度を $\rho$，重力加速度を $g$（鉛直下向き）として，以下の設問に答えよ。なお，円筒の下部のふたの質量は無視できるものとする。

(1) 固定端の A 点におけるすべての応力成分を，図 1-3 の $xyz$ 座標系で示せ。

(2) 固定端の A 点における，主応力および主せん断応力を求めよ。

(3) 以下の表 1-1 の二種類の材料を選択した場合，構造を破損しないで，$L$ をどの程度まで長く設定できるかを考える。$L$ の限界長さをそれぞれ求めよ。ただし，ここでは $p=0\,\mathrm{MPa}$ とし，内圧は作用しないものとする。また，$r=10\,\mathrm{mm}$，$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ とする。

表 1-1

材料	肉厚 $t$ (mm)	密度 $\rho$ (g/cm³)	ヤング率 $E$ (GPa)	引張強さ $\sigma_{\mathrm{tensile}}$ (GPa)
石英	$1.0$	$2.3$	$70$	$0.05$
グラフェン	$3.0\times10^{-7}$	$2.3$	$1000$	$100$

※ $1\,\mathrm{kg}=1\,\mathrm{N\,s^2/m}$

题目描述

回答 I、II 两部分。

I

图 1-1 中，长为 $l$ 的悬臂梁 AB 在 A 点固定。梁上作用竖直向下的均布载荷 $w$（单位梁长上的载荷为 $w$），B 点另受竖直向下的集中力 $P$。AB 间弯曲刚度 $EI$ 恒定，忽略自重。

(1) 按图从固定端向右取坐标 $x$，求 $x$ 处的弯矩 $M$。

(2) 证明梁内储存的弹性应变能为

$$U=\frac12\int_0^l\frac{M^2}{EI}\,dx.$$

(3) 求载荷 $w,P$ 引起的 B 点竖直向下位移，用 $EI,P,w,l$ 表示。

接下来考虑图 1-2 中一端固定于地面的圆弧曲梁，半径为 $R$，圆心角为 $90^\circ$。梁高 $d$ 远小于 $R$。自由端作用竖直向下的集中力 $P$，全梁弯曲刚度 $EI$ 恒定，忽略自重和轴力的影响。

(4) 求载荷 $P$ 使曲梁储存的弹性应变能 $U$，用 $EI,P,R$ 表示。

(5) 求载荷 $P$ 引起的自由端竖直位移 $\delta_v$，用 $EI,P,R$ 表示，以竖直向下为正。

(6) 求载荷 $P$ 引起的自由端水平位移 $\delta_h$，用 $EI,P,R$ 表示，以图中向左为正。

II

图 1-3 中，两端封闭的薄壁圆筒悬挂于固定壁，受自重及内压 $p$ 作用。圆筒外半径为 $r$，壁厚为 $t$，长度为 $L$，杨氏模量为 $E$，材料密度为 $\rho$。重力加速度 $g$ 竖直向下，忽略圆筒底盖的质量。

(1) 按图 1-3 的 $xyz$ 坐标系，写出固定端 A 点的所有应力分量。

(2) 求固定端 A 点的主应力和主剪应力。

(3) 分别选用表 1-1 的两种材料，求在结构不发生破坏的情况下长度 $L$ 的极限值。此问中 $p=0\,\mathrm{MPa}$，即不施加内压，并取 $r=10\,\mathrm{mm}$、$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$。

表 1-1 的数据如下：

材料	壁厚 $t$ (mm)	密度 $\rho$ (g/cm³)	杨氏模量 $E$ (GPa)	抗拉强度 $\sigma_{\mathrm{tensile}}$ (GPa)
石英	$1.0$	$2.3$	$70$	$0.05$
石墨烯	$3.0\times10^{-7}$	$2.3$	$1000$	$100$

单位关系：$1\,\mathrm{kg}=1\,\mathrm{N\,s^2/m}$。

Kai

I

(1)

下側引張りを正とすると

$$\boxed{M(x)=-P(l-x)-\frac{w}{2}(l-x)^2}.$$

(2)

微小要素で $\sigma=My/I$、$\varepsilon=\sigma/E$ だから

$$\begin{gathered} dU=\int_A\frac{\sigma^2}{2E}\,dA\,dx=\frac{M^2}{2EI}\,dx,\\ \boxed{U=\int_0^l\frac{M^2}{2EI}\,dx}. \end{gathered}$$

(3)

カスティリアノの定理より

$$\boxed{\delta_B=\frac{\partial U}{\partial P}=\frac{Pl^3}{3EI}+\frac{wl^4}{8EI}}.$$

(4)

円弧上の点を $(-R\cos\phi,R\sin\phi)$、$0\le\phi\le\pi/2$ とする。$|M|=PR\cos\phi$、$ds=R\,d\phi$ なので

$$\boxed{U=\frac{P^2R^3}{2EI}\int_0^{\pi/2}\cos^2\phi\,d\phi=\frac{\pi P^2R^3}{8EI}}.$$

(5)

$\boxed{\delta_v=\partial U/\partial P=\pi PR^3/(4EI)}$。

(6)

左向きの仮想荷重 $H$ を加えると、断面モーメントは $-PR\cos\phi+HR(1-\sin\phi)$。よって

$$\boxed{\begin{gathered} \delta_h=\left.\frac{\partial U}{\partial H}\right|_{H=0}\\ =-\frac{PR^3}{EI}\int_0^{\pi/2}\cos\phi(1-\sin\phi)\,d\phi\\ =-\frac{PR^3}{2EI} \end{gathered}}.$$

負号は右向きに変位することを示す。

II

(1)

薄肉近似で、周方向と軸方向のつり合いより

$$a=\frac{pr}{t},\qquad b=\frac{pr}{2t}+\rho gL.$$

点 A では $x$ が半径方向なので

$$\boxed{\begin{gathered} \sigma_x=0,\\ \sigma_y=a,\\ \sigma_z=b,\\ \tau_{xy}=\tau_{yz}=\tau_{zx}=0 \end{gathered}}.$$

(2)

$p\ge0$ なら主応力を大きい順に並べて

$$\boxed{\begin{gathered} \sigma_1=\max(a,b),\\ \sigma_2=\min(a,b),\\ \sigma_3=0 \end{gathered}}.$$

主せん断応力の大きさは

$$\begin{gathered} \boxed{\left\{\frac a2,\frac b2,\frac{|a-b|}{2}\right\}},\\ \boxed{\tau_{\max}=\frac{\max(a,b)}2}. \end{gathered}$$

(3)

$p=0$ では最大引張応力が $\rho gL$。したがって

$$\boxed{L_{\max}=\frac{\sigma_{\mathrm{tensile}}}{\rho g}}.$$

$\rho=2300\,\mathrm{kg/m^3}$ より、石英は $\boxed{2.22\times10^3\,\mathrm m}$、グラフェンは $\boxed{4.44\times10^6\,\mathrm m}$。

Reference

• 東京大学 公式問題（2014年度、第2部）
• SN：H26-I 材料力学
• SN：H26-II 材料力学