東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2014年度 機械工学第2部 問題 1

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• Tokyo-University
• Beam-Deflection
• Strain-Energy
• Thin-Walled-Pressure-Vessels
• Stress-Transformation

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

曲げ剛性 $EI$ が一定のはりについて答えよ。自重を無視する。

1. 左端 A 固定、長さ $l$ の直線はり AB に下向き等分布荷重 $w$ と先端 B の下向き集中荷重 $P$ が作用する。A からの距離を $x$ とし、$M(x)$ を求めよ。
2. 曲げひずみエネルギーが $U=\int M^2/(2EI)\,dx$ で与えられることを示せ。
3. B の下向き変位を求めよ。
4. 次に、中心 O、半径 $R$、中心角 $90^\circ$ の細い円弧はりを考える。固定端は O の左、自由端は O の上にあり、自由端に下向き荷重 $P$ を加える。高さ $d\ll R$ とし、軸力・せん断力によるエネルギーを無視する。曲げひずみエネルギーを求めよ。
5. 円弧はり自由端の下向き変位を求めよ。
6. 円弧はり自由端の左向き変位を求めよ。

II

両端が閉じた薄肉円筒（外半径 $r$、肉厚 $t$、長さ $L$、密度 $\rho$）を上端で固定してつるし、内圧 $p$ と自重を加える。下のふたの質量を無視する。上端外面の点 A は断面の左端にあり、$x$ は断面の右向き、$y$ は断面の上向き、$z$ は円筒軸の上向きとする。

1. A の全応力成分を求めよ。
2. A の主応力と主せん断応力を求めよ。
3. $p=0,r=10\,\mathrm{mm},g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ とする。次の各材料で引張破壊しない最大長さを求めよ。

材料	$t$ (mm)	$\rho$ (g/cm³)	$E$ (GPa)	引張強さ (GPa)
石英	$1.0$	$2.3$	$70$	$0.05$
グラフェン	$3.0\times10^{-7}$	$2.3$	$1000$	$100$

题目描述

I：均布载荷和端部集中力共同作用的悬臂梁，求弯矩、应变能公式及端部位移；再考虑左端固定、自由端位于圆心正上方的四分之一圆弧梁，在自由端竖直力作用下求应变能、竖直和水平位移。

II：封闭薄壁圆筒上端固定，受自重及内压，求上端指定点应力、三维主应力和主剪应力，再按石英与石墨烯给定密度、强度求仅受自重时的最大悬挂长度。

Kai

I

(1) 下側引張りを正とすると

$$\boxed{M(x)=-P(l-x)-\frac{w}{2}(l-x)^2}.$$

(2) 微小要素で $\sigma=My/I$、$\varepsilon=\sigma/E$ だから

$$dU=\int_A\frac{\sigma^2}{2E}\,dA\,dx=\frac{M^2}{2EI}\,dx, \qquad \boxed{U=\int_0^l\frac{M^2}{2EI}\,dx}.$$

(3) カスティリアノの定理より

$$\boxed{\delta_B=\frac{\partial U}{\partial P}=\frac{Pl^3}{3EI}+\frac{wl^4}{8EI}}.$$

(4) 円弧上の点を $(-R\cos\phi,R\sin\phi)$、$0\le\phi\le\pi/2$ とする。$|M|=PR\cos\phi$、$ds=R\,d\phi$ なので

$$\boxed{U=\frac{P^2R^3}{2EI}\int_0^{\pi/2}\cos^2\phi\,d\phi=\frac{\pi P^2R^3}{8EI}}.$$

(5) $\boxed{\delta_v=\partial U/\partial P=\pi PR^3/(4EI)}$。

(6) 左向きの仮想荷重 $H$ を加えると、断面モーメントは $-PR\cos\phi+HR(1-\sin\phi)$。よって

$$\boxed{\delta_h=\left.\frac{\partial U}{\partial H}\right|_{H=0} =-\frac{PR^3}{EI}\int_0^{\pi/2}\cos\phi(1-\sin\phi)\,d\phi =-\frac{PR^3}{2EI}}.$$

負号は右向きに変位することを示す。

II

(1) 薄肉近似で、周方向と軸方向のつり合いより

$$a=\frac{pr}{t},\qquad b=\frac{pr}{2t}+\rho gL.$$

点 A では $x$ が半径方向なので

$$\boxed{\sigma_x=0,\quad\sigma_y=a,\quad\sigma_z=b,\quad \tau_{xy}=\tau_{yz}=\tau_{zx}=0}.$$

(2) $p\ge0$ なら主応力を大きい順に並べて

$$\boxed{\sigma_1=\max(a,b),\quad\sigma_2=\min(a,b),\quad\sigma_3=0}.$$

主せん断応力の大きさは

$$\boxed{\left\{\frac a2,\frac b2,\frac{|a-b|}{2}\right\}},\qquad \boxed{\tau_{\max}=\frac{\max(a,b)}2}.$$

(3) $p=0$ では最大引張応力が $\rho gL$。したがって

$$\boxed{L_{\max}=\frac{\sigma_{\mathrm{tensile}}}{\rho g}}.$$

$\rho=2300\,\mathrm{kg/m^3}$ より、石英は $\boxed{2.22\times10^3\,\mathrm m}$、グラフェンは $\boxed{4.44\times10^6\,\mathrm m}$。

Reference

• 東京大学 公式問題（2014年度、第2部）
• SN：H26-I 材料力学
• SN：H26-II 材料力学