東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2012年8月実施 問題 2 設問 II

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

粘性係数 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体について、重力を無視する。

(1) 円管内の十分発達した定常層流を考える。半径 $r$、軸方向長さ $\Delta x$ の円柱状検査体積の入口・出口圧力を $p_a,p_b$ とし、圧力とせん断応力 $\tau$ の関係を導け。

(2) $\tau=\mu\,du/dr$ を用い、管半径 $R$、壁面粘着条件から速度 $u(r)$ を求めよ。(3) 体積流量 $Q$ を求めよ。

(4) 入口 $(x,y)=(0,0)$ から分岐点 $(x_B,0)$ までの管 1 が、出口 $(x_T,h)$、$(x_T,-h)$ に至る直線状の管 2、3 に分かれる。断面積はそれぞれ $A_1,A_2,A_3$、出口ゲージ圧力は零、管 1 の流量は $Q_1$。各管で (3) の十分発達した層流の関係を適用し、分岐部の局所損失を無視する。入口ゲージ圧力 $p_1$ を求めよ。

(5) $A_2=A_3=S$、$A_1>2S$ とする。入口・両出口を固定して分岐点を動かすとき、一定流量で圧力損失を最小にする $x_B$ を求めよ。

题目描述

先由圆管内圆柱形控制体的力平衡推导充分发展层流的剪应力、速度分布和泊肃叶流量。再考虑入口 $(0,0)$ 经分支点 $(x_B,0)$ 分别连接到 $(x_T,\pm h)$ 的三段直管，以各管的层流压降关系求入口压力。两出口管面积相同为 $S$、入口面积 $A_1>2S$ 时，求固定流量下使压力损失最小的分支位置。

Kai

(1)

円柱側面に働くせん断力を $2\pi r\Delta x\,\tau$ とすると、

$$\pi r^2(p_a-p_b)+2\pi r\Delta x\,\tau=0.$$

よって

$$\boxed{\tau=\frac{p_b-p_a}{2\Delta x}r}.$$

(2)

$\mu\,du/dr=\tau$ を積分し、$u(R)=0$ を用いると、

$$\boxed{u(r)=\frac{p_a-p_b}{4\mu\Delta x}(R^2-r^2)}.$$

(3)

$$\boxed{Q=2\pi\int_0^R u(r)r\,dr=\frac{\pi R^4(p_a-p_b)}{8\mu\Delta x}}.$$

断面積 $A=\pi R^2$ の管では、長さ $\ell$ に対する圧力損失は $8\pi\mu\ell Q/A^2$ である。

(4)

分岐後の各管の長さは $\ell=\sqrt{h^2+(x_T-x_B)^2}$。分岐点圧力を $p_B$ とすれば、

$$Q_2=\frac{A_2^2p_B}{8\pi\mu\ell},\qquad Q_3=\frac{A_3^2p_B}{8\pi\mu\ell},\qquad Q_1=Q_2+Q_3.$$

これと管 1 の圧力損失を合わせて、

$$\boxed{p_1=8\pi\mu Q_1\left[\frac{x_B}{A_1^2}+\frac{\sqrt{h^2+(x_T-x_B)^2}}{A_2^2+A_3^2}\right]}.$$

(5)

$A_2=A_3=S$ を代入して微分すると、

$$\frac{dp_1}{dx_B}=8\pi\mu Q_1\left[\frac1{A_1^2}-\frac{x_T-x_B}{2S^2\sqrt{h^2+(x_T-x_B)^2}}\right].$$

第 2 微分は正なので、内部の極小点は

$$\boxed{x_B=x_T-\frac{2S^2h}{\sqrt{A_1^4-4S^4}}}.$$

分岐点を $0\le x_B\le x_T$ に制限し、右辺が負になる場合は境界 $x_B=0$ が最適となる。

Reference

• 東京大学 公式過去問（2013年度）
• SN の解答・解説