東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2012年8月実施 問題 2 設問 I

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• Control-Volume-Momentum
• Bernoulli-Equation

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

密度 $\rho$ の非圧縮性流体が断面積 $A_1$ の管 1 から入り、断面積 $A_2,A_3$ の管 2、3 に分かれる。管 1 の流れ方向を $x$ 軸とし、管 2、3 の出口方向はいずれも $x$ 軸となす角が $\alpha$ である。各断面の速度を一様とし、定常流で重力および損失を無視する。入口のゲージ圧力は $p_1$、両出口は大気に開いている。

(1) 入口流速 $u_1$ を求めよ。(2) 流体が分岐管に及ぼす力の $x$ 成分 $F_x$ を求めよ。

题目描述

不可压缩流体由面积 $A_1$ 的入口管流入，分成面积 $A_2,A_3$ 的两支管。两出口方向与入口方向的夹角均为 $\alpha$，出口压力为大气压，入口表压为 $p_1$。忽略重力和损失，求入口速度与流体对管道沿入口方向的作用力。

Kai

(1)

$B=A_2+A_3$ とおく。両出口の圧力が等しいので、ベルヌーイの式から $u_2=u_3=u_e$ であり、

$$p_1+\frac12\rho u_1^2=\frac12\rho u_e^2,\qquad A_1u_1=Bu_e.$$

したがって、

$$\boxed{u_1=B\sqrt{\frac{2p_1}{\rho(A_1^2-B^2)}}},\qquad u_e=A_1\sqrt{\frac{2p_1}{\rho(A_1^2-B^2)}}.$$

(2)

流体を囲む検査体積の $x$ 方向運動量収支は

$$p_1A_1-F_x=\rho B u_e^2\cos\alpha-\rho A_1u_1^2.$$

(1) を代入すると、

$$\boxed{F_x=p_1A_1\frac{A_1^2+B^2-2A_1B\cos\alpha}{A_1^2-B^2}},\qquad B=A_2+A_3.$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2013年度）
• SN の解答・解説