東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学第1部 2012年8月実施 問題 2 設問 I

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Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

重力と流体の圧縮性の影響は無視してよい。

図 2-1 に示すような分岐部を持つ円管から大気中に液体が流出している系を考える。図に示すように、管 1 は分岐部で、図中 $x$ 方向に対して、$x$–$y$ 平面内で角度 $\alpha$ 傾いた 2 つの管（管 2、管 3）に分岐する。液体の密度を $\rho$ とする。管 1 の流入部の圧力は、ゲージ圧で $p_1$ となっている。管 1～3 の断面積をそれぞれ $A_1,A_2,A_3$ とする。損失の影響を無視して、以下の設問に答えよ。

(1) 管 1 の流入部における流速 $u_1$ を求めよ。

(2) 図 2-1 に示された分岐管にかかる $x$ 方向の力 $F_x$ を求めよ。

题目描述

可忽略重力及流体可压缩性的影响。

考虑液体从图 2-1 所示带分岔的圆管流入大气的系统。管 1 在分岔处分为管 2、管 3；两支管位于 $x$–$y$ 平面内，与图中 $x$ 方向分别成角度 $\alpha$。液体密度为 $\rho$，管 1 入口压力的表压为 $p_1$。管 1～3 的截面积分别为 $A_1,A_2,A_3$。忽略损失，回答下列问题。

(1) 求管 1 入口处流速 $u_1$。

(2) 求图 2-1 所示分岔管受到的 $x$ 方向力 $F_x$。

Kai

(1)

$B=A_2+A_3$ とおく。両出口の圧力が等しいので、ベルヌーイの式から $u_2=u_3=u_e$ であり、

$$p_1+\frac12\rho u_1^2=\frac12\rho u_e^2,\qquad A_1u_1=Bu_e.$$

したがって、

$$\begin{gathered} \boxed{u_1=B\sqrt{\frac{2p_1}{\rho(A_1^2-B^2)}}},\\ u_e=A_1\sqrt{\frac{2p_1}{\rho(A_1^2-B^2)}}. \end{gathered}$$

(2)

流体を囲む検査体積の $x$ 方向運動量収支は

$$p_1A_1-F_x=\rho B u_e^2\cos\alpha-\rho A_1u_1^2.$$

(1) を代入すると、

$$\begin{gathered} \boxed{F_x=p_1A_1\frac{A_1^2+B^2-2A_1B\cos\alpha}{A_1^2-B^2}},\\ B=A_2+A_3. \end{gathered}$$

Reference

• 東京大学 公式過去問（2013年度）
• SN の解答・解説