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東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年度 機械工学第1部 問題1 II

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

温度 ThT_h の発熱体と温度 TwT_w の壁が、面積 A=WLA=WL で向かい合う。間の伝熱は無限平行平板間の放射のみとする。壁厚は HwH_w、熱伝導率は λ\lambda。壁の裏に高さ HfH_f、厚さ SS、奥行 LL のフィンが8枚あり、間隔も SS である。フィン温度 TfT_f は一様、底面と上端面の伝熱を無視し、温度 T∞T_\infty の空気が層流で流れる。フィンの平均熱伝達率を hˉ\bar h、ステファン・ボルツマン定数を σ\sigma とする。

(1) 発熱体と壁を黒体とする。

  1. 放射抵抗 R1R_1（ポテンシャル σT4\sigma T^4）、壁伝導抵抗 R2R_2、対流抵抗 R3R_3（ポテンシャル TT）を求めよ。
  2. Th4≫Tw4T_h^4\gg T_w^4 として TwT_w を R1,R2,R3,Th,T∞R_1,R_2,R_3,T_h,T_\infty で表せ。
  3. 空気速度 U0U_0 で R2=R3R_2=R_3 とする。速度を 4U04U_0 にすると Tw−T∞T_w-T_\infty は何倍になるか。

(2) 発熱体と壁を放射率 εh,εw\varepsilon_h,\varepsilon_w の灰色面とする。射度を Gh,GwG_h,G_w とする。

  1. σTh4→Gh→Gw→σTw4\sigma T_h^4\to G_h\to G_w\to\sigma T_w^4 の直列放射回路の抵抗 R4,R5,R6R_4,R_5,R_6 を求めよ。
  2. 放射率を同じ Δε\Delta\varepsilon だけ下げる塗料を片面に塗る。壁温をできるだけ下げるにはどちらの面を選ぶか。

题目描述​

高温发热体通过平行板辐射向壁传热，热量再经壁导热和背面8片均温散热片的层流对流传给空气。求黑体辐射、导热和对流等效热阻及壁温，判断流速增至4倍的降温效果。改为灰体后求射度网络的三个热阻，并判断将同样降低发射率的涂料涂在哪一侧更有效。

Kai​

(1)​

フィン1枚の有効面積は 2Hf(L+S)2H_f(L+S) なので Af=16Hf(L+S)A_f=16H_f(L+S)。各伝熱量率は

Q=σA(Th4−Tw4)=λAHw(Tw−Tf)=hˉAf(Tf−T∞).Q=\sigma A(T_h^4-T_w^4)=\frac{\lambda A}{H_w}(T_w-T_f) =\bar h A_f(T_f-T_\infty).

したがって

R1=1WL,R2=HwλWL,R3=116hˉHf(L+S).\boxed{R_1=\frac1{WL},\qquad R_2=\frac{H_w}{\lambda WL},\qquad R_3=\frac1{16\bar hH_f(L+S)}}.

Th4≫Tw4T_h^4\gg T_w^4 なら Q≃σTh4/R1Q\simeq\sigma T_h^4/R_1 なので

Tw≃T∞+σTh4R1(R2+R3).\boxed{T_w\simeq T_\infty+\frac{\sigma T_h^4}{R_1}(R_2+R_3)}.

層流平板では Nu‾∝Re1/2\overline{Nu}\propto Re^{1/2}、したがって hˉ∝U1/2\bar h\propto U^{1/2}。速度が4倍なら R3R_3 は半分となるから

(Tw−T∞)4U0(Tw−T∞)U0=R2+R2/2R2+R2=34.\boxed{\frac{(T_w-T_\infty)_{4U_0}}{(T_w-T_\infty)_{U_0}} =\frac{R_2+R_2/2}{R_2+R_2}=\frac34}.

(2)​

Gh=εhσTh4+(1−εh)GwG_h=\varepsilon_h\sigma T_h^4+(1-\varepsilon_h)G_w と Q=A(Gh−Gw)Q=A(G_h-G_w) より

σTh4−Gh=1−εhεhAQ.\sigma T_h^4-G_h=\frac{1-\varepsilon_h}{\varepsilon_h A}Q.

壁側も同様なので

R4=1−εhεhWL,R5=1WL,R6=1−εwεwWL.\boxed{R_4=\frac{1-\varepsilon_h}{\varepsilon_h WL},\qquad R_5=\frac1{WL},\qquad R_6=\frac{1-\varepsilon_w}{\varepsilon_w WL}}.

全放射抵抗は [1/εh+1/εw−1]/A[1/\varepsilon_h+1/\varepsilon_w-1]/A。放射率 ε\varepsilon の面を塗ったときの増分は

ΔR=1A(1ε−Δε−1ε)=ΔεAε(ε−Δε).\Delta R=\frac1A\left(\frac1{\varepsilon-\Delta\varepsilon}-\frac1\varepsilon\right) =\frac{\Delta\varepsilon}{A\varepsilon(\varepsilon-\Delta\varepsilon)}.

これは ε\varepsilon が小さいほど大きい。よって、塗布後の放射率が正となる範囲で、もともと放射率の小さい面を選ぶ。両面の放射率が等しければ効果は同じである。

Reference​

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