東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2012年8月実施 機械工学第1部 問題1 II

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• 热辐射
• 热阻网络
• 肋片传热

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1-3 に示すように、表面温度がそれぞれ $T_h$ と $T_w$ の発熱体と壁が対向して置かれ、壁に設置されたフィンに温度 $T_\infty$ の空気が吹きつけられている。ここで、$T_h$ と $T_\infty$ は一定とする。発熱体から壁への伝熱としては無限平板間を仮定した熱放射のみを考慮すれば良く、系全体は熱的に定常状態にある。なお、発熱体、壁、フィン群の幅を $W$、奥行きを $L$ とする。また、フィンからの熱伝達は強制対流（層流）のみによって生じ、フィンの間隔 $S$ はフィン表面に発達する境界層の厚さより十分に大きいとする。ここで、フィンの底面（黒く塗り潰されている面）や上端の影響は無視できる。加えて、フィンの熱伝導率は大きく、その温度 $T_f$ は場所によらず一様とする。ステファン・ボルツマン定数を $\sigma$ とする。

(1) 図 1-4 に (A) 発熱体と壁の間の熱放射と、(B) 壁の熱伝導およびフィンの熱伝達の一次元等価回路を示す。ここで、$Q$ は単位時間当たりに通過する熱量である。なお、(A) の熱放射の場合、$\sigma T^4$ を電位に対応させる。また、図 1-3 に示すように、壁の厚さ、フィンの高さ、フィンの幅はそれぞれ $H_w,H_f,S$ とする。さらに、壁の熱伝導率を $\lambda$ とする。発熱体と壁は黒体とみなして以下の設問に答えよ。

• (a) 等価回路の抵抗 $R_1,R_2,R_3$ をそれぞれ求めよ。なお、フィン表面からの平均熱伝達率を $\bar h$ とする。
• (b) $T_w$ を $R_1,R_2,R_3,T_h,T_\infty,\sigma$ を用いて表せ。ただし、$T_h^4\gg T_w^4$ とする。
• (c) フィン間の主流速度が $U_0$ のとき $R_2$ と $R_3$ が等しくなるとする。主流速度を $4U_0$ にした場合、壁と空気の温度差 $(T_w-T_\infty)$ が何倍になるか求めよ。ただし、$T_h^4\gg T_w^4$ とする。

(2) 発熱体と壁がそれぞれ射出率 $\varepsilon_h$ と $\varepsilon_w$ の灰色面である時の等価回路を図 1-5 に示す。なお、図中の $G_h$ と $G_w$ は発熱体と壁の射度であり、$G_h$ は $\{\varepsilon_h\sigma T_h^4+(1-\varepsilon_h)G_w\}$ で与えられる。

• (a) 等価回路の抵抗 $R_4,R_5,R_6$ を求めよ。
• (b) 射出率を一定量 $\Delta\varepsilon$ だけ下げることのできる反射塗料を、発熱体と壁のいずれかに塗布することで、壁の温度をできるだけ低くしたい。そのためには発熱体と壁のどちらに塗布するのが良いか、理由とともに答えよ。

题目描述

如图 1-3，表面温度分别为 $T_h,T_w$ 的发热体与壁相对放置，温度为 $T_\infty$ 的空气吹向壁上安装的散热片。$T_h,T_\infty$ 恒定。从发热体到壁的传热只需考虑假设为无限平板间的热辐射，整个系统处于热稳态。发热体、壁、散热片组的宽度为 $W$，纵深为 $L$。散热片只通过强制对流（层流）换热，片间距 $S$ 远大于片表面边界层厚度。忽略散热片底面（涂黑部分）及上端的影响。散热片导热系数很大，温度 $T_f$ 处处均匀。斯特藩–玻尔兹曼常数为 $\sigma$。

(1) 图 1-4 为 (A) 发热体与壁间辐射，以及 (B) 壁内导热和散热片对流换热的一维等效电路。$Q$ 为单位时间通过的热量；在 (A) 的热辐射电路中，以 $\sigma T^4$ 对应电势。如图 1-3，壁厚、散热片高度、片宽分别为 $H_w,H_f,S$。壁的导热系数为 $\lambda$。将发热体与壁视为黑体，回答下列问题。

• (a) 分别求等效电路中的热阻 $R_1,R_2,R_3$，散热片表面的平均换热系数为 $\bar h$。
• (b) 用 $R_1,R_2,R_3,T_h,T_\infty,\sigma$ 表示 $T_w$，设 $T_h^4\gg T_w^4$。
• (c) 片间主流速度为 $U_0$ 时 $R_2=R_3$。主流速度增至 $4U_0$ 后，壁与空气温差 $(T_w-T_\infty)$ 变为原来的几倍？设 $T_h^4\gg T_w^4$。

(2) 发热体与壁分别为发射率 $\varepsilon_h,\varepsilon_w$ 的灰体表面，等效电路如图 1-5。$G_h,G_w$ 分别为发热体和壁的有效辐射（射度），且 $G_h=\varepsilon_h\sigma T_h^4+(1-\varepsilon_h)G_w$。

• (a) 求等效电路中的热阻 $R_4,R_5,R_6$。
• (b) 一种反射涂料可将发射率降低固定量 $\Delta\varepsilon$。将其涂于发热体或壁之一，希望尽量降低壁温。应涂在哪一侧？说明理由。

Kai

発熱体と壁の面積を $A=WL$ とおく。

(1)

フィン1枚の有効面積は $2H_f(L+S)$ なので $A_f=16H_f(L+S)$。各伝熱量率は

$$\begin{gathered} Q=\sigma A(T_h^4-T_w^4)\\ =\frac{\lambda A}{H_w}(T_w-T_f)\\ =\bar h A_f(T_f-T_\infty). \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{\begin{gathered} R_1=\frac1{WL},\\ R_2=\frac{H_w}{\lambda WL},\\ R_3=\frac1{16\bar hH_f(L+S)} \end{gathered}}.$$

$T_h^4\gg T_w^4$ なら $Q\simeq\sigma T_h^4/R_1$ なので

$$\boxed{T_w\simeq T_\infty+\frac{\sigma T_h^4}{R_1}(R_2+R_3)}.$$

層流平板では $\overline{Nu}\propto Re^{1/2}$、したがって $\bar h\propto U^{1/2}$。速度が4倍なら $R_3$ は半分となるから

$$\boxed{\frac{(T_w-T_\infty)_{4U_0}}{(T_w-T_\infty)_{U_0}} =\frac{R_2+R_2/2}{R_2+R_2}=\frac34}.$$

(2)

$G_h=\varepsilon_h\sigma T_h^4+(1-\varepsilon_h)G_w$ と $Q=A(G_h-G_w)$ より

$$\sigma T_h^4-G_h=\frac{1-\varepsilon_h}{\varepsilon_h A}Q.$$

壁側も同様なので

$$\boxed{\begin{gathered} R_4=\frac{1-\varepsilon_h}{\varepsilon_h WL},\\ R_5=\frac1{WL},\\ R_6=\frac{1-\varepsilon_w}{\varepsilon_w WL} \end{gathered}}.$$

全放射抵抗は $[1/\varepsilon_h+1/\varepsilon_w-1]/A$。放射率 $\varepsilon$ の面を塗ったときの増分は

$$\Delta R=\frac1A\left(\frac1{\varepsilon-\Delta\varepsilon}-\frac1\varepsilon\right) =\frac{\Delta\varepsilon}{A\varepsilon(\varepsilon-\Delta\varepsilon)}.$$

これは $\varepsilon$ が小さいほど大きい。よって、塗布後の放射率が正となる範囲で、もともと放射率の小さい面を選ぶ。両面の放射率が等しければ効果は同じである。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答