東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年度 機械工学第1部 問題1 I

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• Isentropic-Flow

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

気体が定常にノズルを流れる。入口1と出口2の圧力、密度、比内部エネルギー、流速をそれぞれ $p_i,\rho_i,u_i,V_i$ とする。壁面は断熱、流れ方向の熱伝導と重力は無視する。

1. 単位質量についてエネルギー収支を立て、運動エネルギー増加 $\Delta K$ を求めよ。
2. 非圧縮性で内部エネルギー変化を無視する場合の $\Delta K'$ を求めよ。
3. 摩擦のない断熱流れを考え、流体粒子の比体積 $v=1/\rho$ を用いて $\mathrm du+p\,\mathrm dv=0$ を示せ。圧力低下で運動エネルギーが増す理由を説明せよ。
4. 理想気体の比熱比 $\kappa$ が一定のとき、入口温度 $T_1$ と圧力比 $\pi=p_2/p_1$ から出口温度 $T_2$ を求めよ。
5. 比熱 $c_v,c_p$ を用いて、比内部エネルギーの減少と $\Delta K$ を求めよ。
6. 流動仕事の差 $p_1/\rho_1-p_2/\rho_2$ が同じなら、圧縮性と非圧縮性のどちらで運動エネルギーの増加が大きいか。

题目描述

对稳态绝热喷嘴，列出能量方程并求动能增加。比较不可压缩与理想气体等熵流动，推导出口温度、内能降低量和动能增加量；当进出口流动功之差相同时，判断哪种流体获得的动能更多。

Kai

(1)・(2)

流動仕事を含む定常流エネルギー式より

$$u_1+\frac{p_1}{\rho_1}+\frac{V_1^2}{2} =u_2+\frac{p_2}{\rho_2}+\frac{V_2^2}{2}.$$

したがって

$$\boxed{\Delta K=\frac{V_2^2-V_1^2}{2} =u_1-u_2+\frac{p_1}{\rho_1}-\frac{p_2}{\rho_2}}.$$

非圧縮性では $\rho_1=\rho_2=\rho$、$u_1=u_2$ より

$$\boxed{\Delta K'=\frac{p_1-p_2}{\rho}}.$$

(3)

流体粒子について、可逆断熱変化の第一法則から

$$\boxed{\mathrm du=-p\,\mathrm dv}.$$

$h=u+pv$ より $\mathrm dh=\mathrm du+p\mathrm dv+v\mathrm dp=v\mathrm dp$。したがって

$$\boxed{\Delta K=-\int_{p_1}^{p_2}v\,\mathrm dp>0}\qquad(p_2<p_1).$$

(4)・(5)

$c_v\mathrm dT+p\mathrm dv=0$ と $p\mathrm dv+v\mathrm dp=R\mathrm dT$ から

$$c_p\frac{\mathrm dT}{T}=R\frac{\mathrm dp}{p},\qquad \boxed{T_2=T_1\pi^{(\kappa-1)/\kappa}}.$$

よって

$$\boxed{u_1-u_2=c_vT_1\left(1-\pi^{(\kappa-1)/\kappa}\right)},$$

$$\boxed{\Delta K=h_1-h_2=c_pT_1\left(1-\pi^{(\kappa-1)/\kappa}\right)}.$$

(6)

共通の流動仕事差を $W_f$ とすると、非圧縮性では $\Delta K'=W_f$、圧縮性では $\Delta K=W_f+(u_1-u_2)$。膨張で $T_2<T_1$ となるため

$$\boxed{\Delta K-\Delta K'=c_v(T_1-T_2)>0}.$$

圧縮性気体では内部エネルギーの減少分も運動エネルギーになる。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答