東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2012年8月実施 機械工学第1部 問題1 I

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• 稳定流动能量方程
• 等熵流动

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1-1 に示すような、ノズル内で加速する気体の流れを考える。入口において気体の密度、圧力、比内部エネルギー、速度はそれぞれ、$\rho_1,p_1,u_1,V_1$ であり、出口においてはそれぞれ、$\rho_2,p_2,u_2,V_2$ であるとする。ノズルの壁は断熱されており、また、流れ方向の熱伝導や重力によるポテンシャル・エネルギーは無視できるものとする。以下の設問に答えよ。

(1) エネルギー保存則を用いて、$\rho_1,p_1,u_1,V_1$ と $\rho_2,p_2,u_2,V_2$ との間に成り立つ関係式を求めよ。また、その関係式から入口から出口の間の、単位質量当りの気体の運動エネルギーの増加量を求めよ。

(2) まず、気体が非圧縮性流体であり、損失は発生しないものとする。入口から出口の間の、単位質量当りの気体の運動エネルギーの増加量を $\rho_1,p_1,u_1$ と $\rho_2,p_2,u_2$ の中から必要なものを用いて表せ。

(3) 次に、気体が圧縮性流体であり、図 1-2 の $T$–$s$ 線図上で①に示すように、等エントロピー膨張をしたとする。ここに、$T$ は温度であり、$s$ は比エントロピーである。図 1-1 に示すような、気体と共に移動する微小な検査体積において、気体の圧力 $p$、比内部エネルギー $u$、ならびに比体積 $v$ の微小変化を考える。この検査体積にエネルギー保存則を適用することにより、これらの間には、

$$du+p\,dv=0 \tag{a}$$

という関係が成り立つ。ノズル内の膨張過程において気体の運動エネルギーが増加する理由を設問 (1) の結果と式 (a) を用いて説明せよ。

(4) 気体を比熱ならびに比熱比が一定である理想気体であると仮定すると、上記の式 (a) を用いて、入口と出口の圧力と温度との間に以下の式 (b) が成り立つことを証明せよ。

$$\frac{T_2}{T_1}=\pi^{\frac{\kappa-1}{\kappa}} \tag{b}$$

ただし、$\pi=p_2/p_1$ は圧力比、また、$\kappa$ は比熱比であり、$T_1,T_2$ はそれぞれ、入口、出口における温度を表す。導出の過程で比熱比以外の物性値等が必要となる場合は適宜定義せよ。

(5) 上記の式 (b) を用いて、単位質量当りの気体の入口、出口間における内部エネルギーの減少量と運動エネルギーの増加量を $T_1,\pi,\kappa,c_v,c_p$ から必要なものを用いて求めよ。ただし、$c_v,c_p$ はそれぞれ定積比熱、定圧比熱を表す。

(6) ノズル内で気体が損失を伴わずに加速されている系を考える。気体が非圧縮性の場合と圧縮性の場合とを比較する。ノズル入口と出口における単位質量当たりの気体が受ける押し込み仕事の差が等しい場合、単位質量当たりの気体の運動エネルギーの増加量が大きいのはどちらの気体か。また、その理由を説明せよ。

题目描述

考虑图 1-1 所示气体在喷嘴内加速的流动。入口处气体的密度、压力、比内能、速度分别为 $\rho_1,p_1,u_1,V_1$，出口处分别为 $\rho_2,p_2,u_2,V_2$。喷嘴壁面绝热，忽略流动方向的热传导和重力势能。回答下列问题。

(1) 利用能量守恒定律，求入口与出口上述各量之间的关系式。再由该关系求气体从入口到出口的单位质量动能增加量。

(2) 首先假设气体是不可压缩流体，且不发生损失。从 $\rho_1,p_1,u_1,\rho_2,p_2,u_2$ 中选用必要的量，表示入口到出口的单位质量动能增加量。

(3) 接着假设气体可压缩，沿图 1-2 的 $T$–$s$ 图上①所示过程等熵膨胀。其中 $T$ 为温度，$s$ 为比熵。如图 1-1，在随气体移动的微小控制体中，考虑压力 $p$、比内能 $u$、比体积 $v$ 的微小变化。对该控制体应用能量守恒，得到式 (a)：$du+p\,dv=0$。利用 (1) 的结果和式 (a)，说明喷嘴内膨胀过程中气体动能增加的原因。

(4) 假设气体为比热及比热比均恒定的理想气体，利用式 (a) 证明入口、出口的压力和温度满足式 (b)：$T_2/T_1=\pi^{(\kappa-1)/\kappa}$。其中 $\pi=p_2/p_1$ 为压力比，$\kappa$ 为比热比，$T_1,T_2$ 分别为入口、出口温度。若推导中需要比热比以外的物性值等量，请自行作适当定义。

(5) 利用式 (b)，从 $T_1,\pi,\kappa,c_v,c_p$ 中选用必要的量，求气体从入口到出口的单位质量内能减少量与动能增加量。$c_v,c_p$ 分别为定容、定压比热。

(6) 考虑气体在喷嘴内无损失加速，比较不可压缩与可压缩两种情况。当入口、出口的单位质量气体所受流动功之差相同时，哪一种气体的单位质量动能增加量更大？说明理由。

Kai

(1)

流動仕事を含む定常流エネルギー式より

$$u_1+\frac{p_1}{\rho_1}+\frac{V_1^2}{2} =u_2+\frac{p_2}{\rho_2}+\frac{V_2^2}{2}.$$

したがって

$$\boxed{\Delta K=\frac{V_2^2-V_1^2}{2} =u_1-u_2+\frac{p_1}{\rho_1}-\frac{p_2}{\rho_2}}.$$

(2)

非圧縮性では $\rho_1=\rho_2=\rho$、$u_1=u_2$ より

$$\boxed{\Delta K'=\frac{p_1-p_2}{\rho}}.$$

(3)

流体粒子について、可逆断熱変化の第一法則から

$$\boxed{\mathrm du=-p\,\mathrm dv}.$$

$h=u+pv$ より $\mathrm dh=\mathrm du+p\mathrm dv+v\mathrm dp=v\mathrm dp$。したがって

$$\boxed{\Delta K=-\int_{p_1}^{p_2}v\,\mathrm dp>0}\qquad(p_2<p_1).$$

(4)

$c_v\mathrm dT+p\mathrm dv=0$ と $p\mathrm dv+v\mathrm dp=R\mathrm dT$ から

$$c_p\frac{\mathrm dT}{T}=R\frac{\mathrm dp}{p},\qquad \boxed{T_2=T_1\pi^{(\kappa-1)/\kappa}}.$$

(5)

よって

$$\boxed{u_1-u_2=c_vT_1\left(1-\pi^{(\kappa-1)/\kappa}\right)},$$

$$\boxed{\Delta K=h_1-h_2=c_pT_1\left(1-\pi^{(\kappa-1)/\kappa}\right)}.$$

(6)

共通の流動仕事差を $W_f$ とすると、非圧縮性では $\Delta K'=W_f$、圧縮性では $\Delta K=W_f+(u_1-u_2)$。膨張で $T_2<T_1$ となるため

$$\boxed{\Delta K-\Delta K'=c_v(T_1-T_2)>0}.$$

圧縮性気体では内部エネルギーの減少分も運動エネルギーになる。

Reference

• 東京大学公式問題
• SN の解答