東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2012年8月実施 機械工学第2部 問題 1

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• 东京大学
• 梁的挠度
• 桁架
• 应力变换与主应力

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下記の設問に答えよ。

(1) 図 1-1 に示すように水平面に鉛直に立てられた長さ $l$ の支柱の先端に水平方向荷重 $P$ が加えられ、水平方向変位 $v$ が生ずる。支柱を片持ち梁とみなして、$P$ と $v$ の関係を求めよ。梁の縦弾性係数を $E$、断面二次モーメントを $I$ とせよ。

(2) 図 1-1 の支柱の先端に長さ $\sqrt2l$ の棒部材をピン結合し、棒部材のもう一方の端を水平面にピン結合で固定して図 1-2 に示す構造を組んだ。棒部材の断面積を $A$、縦弾性係数を $E$ として、支柱先端に加わる水平方向荷重 $P$ と水平方向変位 $v$ の関係を求めよ。

(3) 図 1-3 に示す平面応力状態について、下記 (a) から (c) それぞれの場合で発生する主せん断応力とそれが発生する面を求めよ。

• (a) $\sigma_x=\sigma,\ \sigma_y=0,\ \tau_{xy}=0$
• (b) $\sigma_x=\sigma,\ \sigma_y=\sigma,\ \tau_{xy}=0$
• (c) $\sigma_x=\sigma,\ \sigma_y=-\sigma,\ \tau_{xy}=0$

(4) コンビナートなどにある鋼製の球形ガスタンクを支えるために、一般には図 1-4 に示すように支柱の間に斜材を配する。下記 (a) と (b) それぞれの場合での斜材の役割を材料力学的観点から数行で論ぜよ。

• (a) 地震時の鉛直方向の揺れを想定した場合
• (b) 地震時の水平方向の揺れを想定した場合

(5) 図 1-4 に示した斜材の交差部について、図 1-5 (A) に示す接合しない方法と図 1-5 (B) に示す剛に接合する方法の 2 種類がある。設問 (4)(b) の水平方向の揺れを想定した場合、斜材の強度の観点から、どちらを選択すべきか答えよ。設問 (3) の (a) から (c) で求めた主せん断応力を参考に理由を示すこと。

题目描述

回答下列问题。

(1) 如图 1-1，长度为 $l$ 的支柱竖直立于水平面上，顶端受到水平载荷 $P$，产生水平位移 $v$。将支柱视为悬臂梁，求 $P$ 与 $v$ 的关系。梁的杨氏模量为 $E$，截面二次矩为 $I$。

(2) 在图 1-1 支柱顶端铰接一根长 $\sqrt2l$ 的杆，杆另一端通过铰接固定于水平面，形成图 1-2 的结构。杆截面积为 $A$，杨氏模量为 $E$。求柱顶水平载荷 $P$ 与水平位移 $v$ 的关系。

(3) 对图 1-3 的平面应力状态，分别求以下 (a)～(c) 情况的主剪应力及其作用面。

• (a) $\sigma_x=\sigma,\ \sigma_y=0,\ \tau_{xy}=0$
• (b) $\sigma_x=\sigma,\ \sigma_y=\sigma,\ \tau_{xy}=0$
• (c) $\sigma_x=\sigma,\ \sigma_y=-\sigma,\ \tau_{xy}=0$

(4) 为支承联合工厂等设施中的钢制球形储气罐，通常如图 1-4 在支柱间设置斜撑。分别针对下列两种情况，从材料力学角度用数行文字论述斜撑的作用。

• (a) 地震时沿竖直方向摇动
• (b) 地震时沿水平方向摇动

(5) 图 1-4 的斜撑交叉处可采用图 1-5 (A) 的不连接方式，或 (B) 的刚性连接方式。考虑 (4)(b) 的水平摇动，从斜撑强度角度应选择哪一种？参照 (3)(a)～(c) 中求得的主剪应力说明理由。

Kai

(1)

片持ちはりの先端たわみより

$$\boxed{v=\frac{Pl^3}{3EI}},\qquad \boxed{P=\frac{3EI}{l^3}v}.$$

(2)

支柱の軸変形を無視すると、斜材の縮みは $v/\sqrt2$、圧縮軸力は $N=EA v/(2l)$。その水平成分が復元力に加わるため

$$\boxed{P=\left(\frac{3EI}{l^3}+\frac{EA}{2\sqrt2l}\right)v}.$$

(3)

面の法線が $x$ 軸となす角を $\phi$ とすれば

$$\tau(\phi)=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\phi.$$

状態	面内主せん断応力	作用面の法線
(a)	$\pm\sigma/2$	$\phi=\pm45^\circ$
(b)	$0$	面内の全方向
(c)	$\pm\sigma$	$\phi=\pm45^\circ$

三次元での最大せん断応力を求める場合は $\sigma_z=0$ も含める。(b) では $xz$ または $yz$ 面の主軸を二等分する面に $|\sigma|/2$ が生じる。

(4)

鉛直揺れでは柱と斜材の軸方向変形によって鉛直荷重を分担する。斜材も伸縮して鉛直方向の剛性を加え、柱の軸応力を軽減する。

水平揺れでは柱が曲げ変形し、一方の斜材が引張り、他方が圧縮となる。斜材の軸剛性による復元力が加わり、柱の曲げ応力と水平変位を小さくする。

(5)

設問のせん断強度の比較では、交点を接合しない A を選ぶ。各斜材を独立させると、それぞれの一軸応力 $\pm\sigma$ に対する最大せん断応力は $|\sigma|/2$。交点を剛に接合して直交する引張りと圧縮を同じ部分に伝えると、(3)(c) の状態となり $|\sigma|$ に増すためである。

Reference

• 東京大学 公式問題（2013年度、第2部）
• SN：H25 材料力学