東京大学 工学系研究科 機械工学専攻 2013年度 機械工学第2部 問題 1

标签：

• Tokyo-University
• Beam-Deflection
• Truss
• Stress-Transformation

Author

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

日本語題面

1. 地面に垂直な長さ $l$、曲げ剛性 $EI$ の片持ち支柱の先端に水平荷重 $P$ を加える。先端水平変位 $v$ と $P$ の関係を求めよ。
2. 先端から地面上の右方の点に、長さ $\sqrt2l$、断面積 $A$、ヤング率 $E$ の棒を両端ピンで取り付け、$45^\circ$ の斜材とする。支柱先端の $P$ と $v$ の関係を求めよ。
3. $xy$ 面の平面応力について、次の各状態の面内主せん断応力と、それが生じる面を求めよ。(a) $(\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy})=(\sigma,0,0)$、(b) $(\sigma,\sigma,0)$、(c) $(\sigma,-\sigma,0)$。
4. 球形ガスタンクを支える柱の間に X 形の斜材を配置する。地震時の鉛直揺れと水平揺れそれぞれに対する斜材の役割を材料力学の立場から説明せよ。
5. 水平揺れを考える。X 形斜材の交点を接合しない方法 A と、剛に接合する方法 B のうち、斜材の強度の観点からどちらを選ぶべきか。(3) のせん断応力を用いて理由を述べよ。

题目描述

1. 长 $l$、抗弯刚度 $EI$ 的竖直悬臂柱，求顶部水平力与位移关系。
2. 在柱顶与地面之间增加长 $\sqrt2l$、截面 $A$、模量 $E$、倾角45°的铰接斜杆，求新的水平刚度。
3. 分别求单轴拉伸、等双轴拉伸、等幅一拉一压状态的面内主剪应力及作用面。
4. 解释球形储罐支柱间 X 形斜撑对竖向、水平地震的作用。
5. 针对水平地震，比较交叉斜撑不连接与刚性连接两种方式，从剪应力强度角度作答。

Kai

(1)

片持ちはりの先端たわみより

$$\boxed{v=\frac{Pl^3}{3EI}},\qquad \boxed{P=\frac{3EI}{l^3}v}.$$

(2)

支柱の軸変形を無視すると、斜材の縮みは $v/\sqrt2$、圧縮軸力は $N=EA v/(2l)$。その水平成分が復元力に加わるため

$$\boxed{P=\left(\frac{3EI}{l^3}+\frac{EA}{2\sqrt2l}\right)v}.$$

(3)

面の法線が $x$ 軸となす角を $\phi$ とすれば

$$\tau(\phi)=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\phi.$$

状態	面内主せん断応力	作用面の法線
(a)	$\pm\sigma/2$	$\phi=\pm45^\circ$
(b)	$0$	面内の全方向
(c)	$\pm\sigma$	$\phi=\pm45^\circ$

三次元での最大せん断応力を求める場合は $\sigma_z=0$ も含める。(b) では $xz$ または $yz$ 面の主軸を二等分する面に $|\sigma|/2$ が生じる。

(4)

鉛直揺れでは柱と斜材の軸方向変形によって鉛直荷重を分担する。斜材も伸縮して鉛直方向の剛性を加え、柱の軸応力を軽減する。

水平揺れでは柱が曲げ変形し、一方の斜材が引張り、他方が圧縮となる。斜材の軸剛性による復元力が加わり、柱の曲げ応力と水平変位を小さくする。

(5)

設問のせん断強度の比較では、交点を接合しない A を選ぶ。各斜材を独立させると、それぞれの一軸応力 $\pm\sigma$ に対する最大せん断応力は $|\sigma|/2$。交点を剛に接合して直交する引張りと圧縮を同じ部分に伝えると、(3)(c) の状態となり $|\sigma|$ に増すためである。

Reference

• 東京大学 公式問題（2013年度、第2部）
• SN：H25 材料力学