東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 物理学 第2問

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GPT-5.6 Sol

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真空の誘電率を $\varepsilon_0$、真空の透磁率を $\mu_0$ として、次の I から III に答えよ。

I

原点 O の両側に、点電荷 $+q$ と $-q$ がそれぞれ

$$\left(0,0,\frac{d}{2}\right), \qquad \left(0,0,-\frac{d}{2}\right)$$

に置かれている。$-q$ から $+q$ へ向かうベクトルを $\boldsymbol{d}=(0,0,d)$ とし、電荷の位置以外の任意の点の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}$ とする。

1. 無限遠を基準とする静電ポテンシャルを求めよ。
2. $|\boldsymbol{d}|/|\boldsymbol{r}|\ll 1$ とする。電気双極子モーメントを $\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{d}$ としたとき、静電ポテンシャルが

$$U(\boldsymbol{r}) = \frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} {4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{r}|^3}$$

となることを示せ。

II

原点 O を中心とする半径 $R$ の薄い導体球殻が真空中に置かれている。外部から一様な静電場

$$\boldsymbol{E}_0=(0,0,E_{0z})$$

を加えたところ、球殻表面に電荷分布が誘起された。

1. 外部電場と誘起電荷の両方を考慮し、球殻外部の静電ポテンシャルを求めよ。基準は任意に選んでよい。
2. 球殻上の任意の点の位置ベクトルを $\boldsymbol{s}\ (|\boldsymbol{s}|=R)$ とする。球殻上の面電荷密度 $\sigma(\boldsymbol{s})$ を求めよ。

III

原点 O を中心とし、$xy$ 平面内に置かれた半径 $\rho$ の一巻き円形コイルに電流 $I$ が流れている。コイル上の位置ベクトルを $\boldsymbol{u}$、電流方向の線素ベクトルを $d\boldsymbol{u}$ とすると、位置 $\boldsymbol{r}$ における磁気ベクトルポテンシャルは

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac{d\boldsymbol{u}} {|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}|}$$

で与えられる。$|\boldsymbol{u}|/|\boldsymbol{r}|\ll 1$ とし、

$$\boldsymbol{m} = \mu_0 S I\boldsymbol{k}, \qquad S=\pi\rho^2$$

を磁気双極子モーメントとする。ただし、$\boldsymbol{k}$ は $+z$ 方向の単位ベクトルである。$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$ を $\boldsymbol{m}$ と $\boldsymbol{r}$ で表せ。

Kai

I

I.1

クーロンポテンシャルを重ね合わせると、

$$\boxed{ U(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2\right|} - \frac{1}{\left|\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2\right|} \right) }$$

となる。

I.2

$r=|\boldsymbol{r}|$ とおく。$|\boldsymbol{d}|/r\ll 1$ のもとでテイラー展開すると、

$$\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}\mp\boldsymbol{d}/2\right|} = \frac{1}{r} \pm \frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^3} +\text{同一の偶数次項} +O\left(\frac{d^3}{r^4}\right).$$

二つの式の差では定数項と偶数次項が消えるため、

$$\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2\right|} - \frac{1}{\left|\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2\right|} = \frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3} + O\left(\frac{d^3}{r^4}\right).$$

したがって、最低次まで取れば

$$U(\boldsymbol{r}) = \frac{q\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}} {4\pi\varepsilon_0r^3} = \boxed{ \frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} {4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{r}|^3} }.$$

II

極軸を $z$ 軸に取り、$\theta$ を $\boldsymbol{r}$ と $+z$ 軸のなす角とする。軸対称なラプラス方程式の解のうち、遠方で一様電場のポテンシャル $-E_{0z}r\cos\theta$ に一致するものは

$$U_{\mathrm{out}}(r,\theta) = -E_{0z}r\cos\theta + \frac{C\cos\theta}{r^2}$$

と書ける。導体表面 $r=R$ は等電位面である。電位の任意定数を選んで球殻の電位を 0 とすると、

$$C=E_{0z}R^3.$$

よって、球殻外部では

$$\boxed{ U_{\mathrm{out}}(r,\theta) = -E_{0z} \left( r-\frac{R^3}{r^2} \right) \cos\theta } \qquad (r\geq R).$$

ベクトル表示では

$$\boxed{ U_{\mathrm{out}}(\boldsymbol{r}) = -\boldsymbol{E}_0\cdot\boldsymbol{r} + R^3 \frac{\boldsymbol{E}_0\cdot\boldsymbol{r}} {|\boldsymbol{r}|^3} }.$$

第 2 項を電気双極子のポテンシャルと比較すると、誘起双極子モーメントは

$$\boldsymbol{p}_{\mathrm{ind}} = 4\pi\varepsilon_0R^3\boldsymbol{E}_0$$

である。

面に垂直な外向き電場は

$$E_r(R^+,\theta) = -\left. \frac{\partial U_{\mathrm{out}}}{\partial r} \right|_{r=R} = 3E_{0z}\cos\theta.$$

導体内部の電場は 0 なので、境界条件より

$$\sigma = \varepsilon_0 \left(E_r(R^+)-E_r(R^-)\right) = 3\varepsilon_0E_{0z}\cos\theta.$$

球面上では $\boldsymbol{E}_0\cdot\boldsymbol{s}=E_{0z}R\cos\theta$ であるから、

$$\boxed{ \sigma(\boldsymbol{s}) = \frac{3\varepsilon_0}{R} \boldsymbol{E}_0\cdot\boldsymbol{s} }.$$

III

$u=|\boldsymbol{u}|=\rho$、$r=|\boldsymbol{r}|$ とする。$u/r\ll 1$ のとき、

$$\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}|} = \frac{1}{r} + \frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}}{r^3} + O\left(\frac{u^2}{r^3}\right).$$

これを線積分に代入する。閉曲線では $\oint d\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}$ なので、最低次の非零項は

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^3} \oint (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u})\,d\boldsymbol{u}.$$

電流方向に沿って

$$\boldsymbol{u} = \rho(\cos\varphi\,\boldsymbol{i} +\sin\varphi\,\boldsymbol{j}),$$ $$d\boldsymbol{u} = \rho(-\sin\varphi\,\boldsymbol{i} +\cos\varphi\,\boldsymbol{j})\,d\varphi$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \oint (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u})\,d\boldsymbol{u} &= \pi\rho^2 (-r_y\boldsymbol{i}+r_x\boldsymbol{j})\\ &= S\,\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{r}. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0SI}{4\pi} \frac{\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{r}}{r^3}.$$

問題文では $\boldsymbol{m}=\mu_0SI\boldsymbol{k}$ と定義されているため、$\mu_0$ を重ねて付けないことに注意すると、

$$\boxed{ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{r}} {4\pi|\boldsymbol{r}|^3} }$$

を得る。

Reference

• 東京大学大学院工学系研究科 2026年度大学院入学試験問題 物理学