東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 物理学 第1問 Author GPT-5.6 Sol
Description 質量が m m m 2 m 2m 2 m l l l 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ a ( 0 < a < l ) a\ (0<a<l) a ( 0 < a < l ) x x x y y y
両質点を静止状態から運動させる。摩擦および糸の質量、太さ、伸びを無視し、糸はたるまないものとする。重力加速度を g g g
質点 A が台を滑り落ちる間の糸の張力 T T T
質点 A が台の端部に達したときの質点 A、B の速度ベクトルを求めよ。
III
質点 A が台の端部から飛び出した瞬間を t = 0 t=0 t = 0 t > 0 t>0 t > 0
回転運動の角速度 ω \omega ω
時刻 t t t
t = 0 t=0 t = 0 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ x x x b b b b b b l l l
Kai 台上で A が斜面に沿って O へ向かう向きと、B が鉛直下向きに動く向きを正とする。両質点の加速度の大きさを α \alpha α
A、B の運動方程式はそれぞれ
m α = T + m g sin 30 ∘ , 2 m α = 2 m g − T \begin{aligned}
m\alpha &= T+mg\sin 30^\circ,\\
2m\alpha &= 2mg-T
\end{aligned} m α 2 m α = T + m g sin 3 0 ∘ , = 2 m g − T である。両式を加えると
3 m α = 5 2 m g 3m\alpha=\frac{5}{2}mg 3 m α = 2 5 m g なので、
α = 5 6 g . \alpha=\frac{5}{6}g. α = 6 5 g . したがって、
T = 1 3 m g \boxed{T=\frac{1}{3}mg} T = 3 1 m g を得る。
A が O に達するまでに斜面上を進む距離は a a a v v v
v 2 = 2 α a = 5 3 g a , v = 5 g a 3 . v^2=2\alpha a=\frac{5}{3}ga,
\qquad
v=\sqrt{\frac{5ga}{3}}. v 2 = 2 α a = 3 5 g a , v = 3 5 g a . A は x x x 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
v A − = ( 3 2 v , − 1 2 v ) , v B − = ( 0 , − v ) , v = 5 g a 3 . \boxed{
\boldsymbol{v}_{A}^{-}
=
\left(
\frac{\sqrt{3}}{2}v,\,
-\frac{1}{2}v
\right)
},
\qquad
\boxed{
\boldsymbol{v}_{B}^{-}
=
(0,-v)
},
\qquad
v=\sqrt{\frac{5ga}{3}}. v A − = ( 2 3 v , − 2 1 v ) , v B − = ( 0 , − v ) , v = 3 5 g a . III
t = 0 t=0 t = 0
r A ( 0 ) = ( 0 , 0 ) , r B ( 0 ) = ( 0 , − l ) . \boldsymbol{r}_A(0)=(0,0),
\qquad
\boldsymbol{r}_B(0)=(0,-l). r A ( 0 ) = ( 0 , 0 ) , r B ( 0 ) = ( 0 , − l ) . 台端を離れる瞬間、糸の向きが鉛直方向に切り替わるため、糸の張力による瞬間的な拘束力積が働く。A が受ける下向きの力積の大きさを J J J
v A + = ( 3 2 v , − 1 2 v − J m ) , \boldsymbol{v}_A^+
=
\left(
\frac{\sqrt{3}}{2}v,\,
-\frac{1}{2}v-\frac{J}{m}
\right), v A + = ( 2 3 v , − 2 1 v − m J ) , v B + = ( 0 , − v + J 2 m ) . \boldsymbol{v}_B^+
=
\left(
0,\,
-v+\frac{J}{2m}
\right). v B + = ( 0 , − v + 2 m J ) . 糸が伸びないため、両質点の糸方向の速度は等しい。よって
− 1 2 v − J m = − v + J 2 m , -\frac{1}{2}v-\frac{J}{m}
=
-v+\frac{J}{2m}, − 2 1 v − m J = − v + 2 m J , したがって
J = 1 3 m v . J=\frac{1}{3}mv. J = 3 1 m v . ゆえに、
v A + = ( 3 2 v , − 5 6 v ) , v B + = ( 0 , − 5 6 v ) . \boldsymbol{v}_A^+
=
\left(
\frac{\sqrt{3}}{2}v,\,
-\frac{5}{6}v
\right),
\qquad
\boldsymbol{v}_B^+
=
\left(
0,\,
-\frac{5}{6}v
\right). v A + = ( 2 3 v , − 6 5 v ) , v B + = ( 0 , − 6 5 v ) . III.1
重心 G の位置を基準にすると、t = 0 t=0 t = 0
r A / G = ( 0 , 2 l 3 ) , r B / G = ( 0 , − l 3 ) . \boldsymbol{r}_{A/G}
=
\left(0,\frac{2l}{3}\right),
\qquad
\boldsymbol{r}_{B/G}
=
\left(0,-\frac{l}{3}\right). r A / G = ( 0 , 3 2 l ) , r B / G = ( 0 , − 3 l ) . したがって、重心周りの慣性モーメントは
I G = m ( 2 l 3 ) 2 + 2 m ( l 3 ) 2 = 2 3 m l 2 . I_G
=
m\left(\frac{2l}{3}\right)^2
+2m\left(\frac{l}{3}\right)^2
=
\frac{2}{3}ml^2. I G = m ( 3 2 l ) 2 + 2 m ( 3 l ) 2 = 3 2 m l 2 . 力積は糸の方向に働くので、重心周りの角運動量を変えない。力積直前の角運動量の z z z
L G , z = − m 2 l 3 3 2 v = − 3 3 m l v . L_{G,z}
=
-m\frac{2l}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}v
=
-\frac{\sqrt{3}}{3}mlv. L G , z = − m 3 2 l 2 3 v = − 3 3 m l v . 負号は時計回りを表す。角速度の大きさは
ω = ∣ L G , z ∣ I G = 3 v 2 l = 5 g a 2 l . \omega
=
\frac{|L_{G,z}|}{I_G}
=
\frac{\sqrt{3}v}{2l}
=
\boxed{\frac{\sqrt{5ga}}{2l}}. ω = I G ∣ L G , z ∣ = 2 l 3 v = 2 l 5 g a . III.2
重心の初期位置と初速度は
R G ( 0 ) = ( 0 , − 2 l 3 ) , \boldsymbol{R}_G(0)
=
\left(0,-\frac{2l}{3}\right), R G ( 0 ) = ( 0 , − 3 2 l ) , V G ( 0 ) = m v A + + 2 m v B + 3 m = ( 3 6 v , − 5 6 v ) . \boldsymbol{V}_G(0)
=
\frac{m\boldsymbol{v}_A^++2m\boldsymbol{v}_B^+}{3m}
=
\left(
\frac{\sqrt{3}}{6}v,\,
-\frac{5}{6}v
\right). V G ( 0 ) = 3 m m v A + + 2 m v B + = ( 6 3 v , − 6 5 v ) . したがって、重心は
R G ( t ) = ( 3 6 v t , − 2 l 3 − 5 6 v t − 1 2 g t 2 ) \boldsymbol{R}_G(t)
=
\left(
\frac{\sqrt{3}}{6}vt,\,
-\frac{2l}{3}-\frac{5}{6}vt-\frac{1}{2}gt^2
\right) R G ( t ) = ( 6 3 v t , − 3 2 l − 6 5 v t − 2 1 g t 2 ) と運動する。
A は重心から距離 2 l / 3 2l/3 2 l /3 ω \omega ω
r A / G ( t ) = ( 2 l 3 sin ω t , 2 l 3 cos ω t ) . \boldsymbol{r}_{A/G}(t)
=
\left(
\frac{2l}{3}\sin\omega t,\,
\frac{2l}{3}\cos\omega t
\right). r A / G ( t ) = ( 3 2 l sin ω t , 3 2 l cos ω t ) . 以上より、A の座標は
x A ( t ) = 3 6 v t + 2 l 3 sin ω t , y A ( t ) = − 2 l 3 − 5 6 v t − 1 2 g t 2 + 2 l 3 cos ω t \boxed{
\begin{aligned}
x_A(t)
&=
\frac{\sqrt{3}}{6}vt
+\frac{2l}{3}\sin\omega t,\\
y_A(t)
&=
-\frac{2l}{3}
-\frac{5}{6}vt
-\frac{1}{2}gt^2
+\frac{2l}{3}\cos\omega t
\end{aligned}
} x A ( t ) y A ( t ) = 6 3 v t + 3 2 l sin ω t , = − 3 2 l − 6 5 v t − 2 1 g t 2 + 3 2 l cos ω t ただし
v = 5 g a 3 , ω = 5 g a 2 l v=\sqrt{\frac{5ga}{3}},
\qquad
\omega=\frac{\sqrt{5ga}}{2l} v = 3 5 g a , ω = 2 l 5 g a である。
III.3
90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
t 90 = π 2 ω = π l 3 v t_{90}
=
\frac{\pi}{2\omega}
=
\frac{\pi l}{\sqrt{3}v} t 90 = 2 ω π = 3 v π l である。このとき sin ( ω t 90 ) = 1 \sin(\omega t_{90})=1 sin ( ω t 90 ) = 1
b = 3 6 v t 90 + 2 l 3 = π l 6 + 2 l 3 . \begin{aligned}
b
&=
\frac{\sqrt{3}}{6}v t_{90}
+\frac{2l}{3}\\
&=
\frac{\pi l}{6}
+\frac{2l}{3}.
\end{aligned} b = 6 3 v t 90 + 3 2 l = 6 π l + 3 2 l . したがって、
b = 4 + π 6 l \boxed{b=\frac{4+\pi}{6}l} b = 6 4 + π l となる。
Reference 