東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 数学 第6問

标签：

• Tokyo-University
• Hypergeometric-Distribution
• Conditional-Probability
• Entropy

Author

GPT-5.6 Sol

Description

壺 $A$ に赤玉が $R$ 個、緑玉が $G$ 個入っている。ここから同時に $n$ 個を取り出し、その中の赤玉の個数を確率変数 $X$ とする。ただし

$$n\ge1,\qquad R\ge n,\qquad G\ge n$$

とする。

1. $n=2,R=3,G=6$ のとき、$X$ の期待値と分散を求めよ。
2. $\Pr(X=k)$ を $R,G,n,k$ で表せ。
3. Entropy を $$H(X)=-\sum_{x=0}^{n}\Pr(X=x)\log\Pr(X=x)$$ とする。$n=2,R+G=7$ のとき、$H(X)$ を最大にする $R$ と最大値を求めよ。
4. 取り出した赤玉を白く塗って壺 $B$ に、取り出した緑玉を白く塗って壺 $C$ に入れる。壺 $A$ に残った赤玉は $B$ に、緑玉は $C$ に移す。その後、$B$ から $X$ 個、$C$ から $n-X$ 個を取り出し、すべて白玉なら $Y=1$、そうでなければ $Y=0$ とする。$\Pr(X=k\mid Y=1)$ と $\Pr(X=k\mid Y=0)$ を求めよ。

Kai

I

$X$ は母集団サイズ $R+G$、成功数 $R$、標本サイズ $n$ の超幾何分布に従う。したがって、

$$\mathbb E[X]=n\frac{R}{R+G},$$ $$\operatorname{Var}(X) =n\frac{R}{R+G}\frac{G}{R+G} \frac{R+G-n}{R+G-1}.$$

$n=2,R=3,G=6$ を代入すると、

$$\boxed{\mathbb E[X]=\frac23,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac7{18}}$$

となる。

II

$R$ 個の赤玉から $k$ 個、$G$ 個の緑玉から $n-k$ 個を選ぶので、

$$\boxed{ \Pr(X=k)= \frac{\binom Rk\binom G{n-k}}{\binom{R+G}{n}} }\qquad(0\le k\le n)$$

である。

III

$R+G=7$ かつ $R,G\ge2$ より、$R=2,3,4,5$ のみを調べればよい。確率分布は次の通りである。

$R$	$(\Pr(X=0),\Pr(X=1),\Pr(X=2))$	$H(X)$
$2$	$(10/21,10/21,1/21)$	$\log21-\dfrac{20}{21}\log10$
$3$	$(2/7,4/7,1/7)$	$\log7-\dfrac{10}{7}\log2$
$4$	$(1/7,4/7,2/7)$	$\log7-\dfrac{10}{7}\log2$
$5$	$(1/21,10/21,10/21)$	$\log21-\dfrac{20}{21}\log10$

数値的には中央の二つが約 $0.95570$、両端の二つが約 $0.85158$ である。したがって、

$$\boxed{R=3,4}$$

のとき最大となり、その値は

$$\boxed{H_{\max}=\log7-\frac{10}{7}\log2}$$

である。

IV.1

$X=k$ が与えられたとき、壺 $B$ には白玉 $k$ 個と赤玉 $R-k$ 個があり、そこから $k$ 個を取る。また壺 $C$ には白玉 $n-k$ 個と緑玉 $G-(n-k)$ 個があり、そこから $n-k$ 個を取る。よって、

$$\Pr(Y=1\mid X=k) =\frac1{\binom Rk\binom G{n-k}}.$$

II の確率と掛けると、

$$\Pr(X=k,Y=1) =\frac1{\binom{R+G}{n}},$$

これは $k$ に依存しない。$k=0,1,\ldots,n$ を足し合わせると、

$$\Pr(Y=1)=\frac{n+1}{\binom{R+G}{n}}.$$

したがって、

$$\boxed{\Pr(X=k\mid Y=1)=\frac1{n+1}}$$

である。条件 $Y=1$ のもとでは $X$ は $0,1,\ldots,n$ 上の一様分布になる。

IV.2

$$\begin{aligned} \Pr(X=k,Y=0) &=\Pr(X=k)-\Pr(X=k,Y=1)\\ &=\frac{\binom Rk\binom G{n-k}-1}{\binom{R+G}{n}}, \end{aligned}$$

また、

$$\Pr(Y=0)=1-\frac{n+1}{\binom{R+G}{n}} =\frac{\binom{R+G}{n}-(n+1)}{\binom{R+G}{n}}.$$

ゆえに、

$$\boxed{ \Pr(X=k\mid Y=0) =\frac{\binom Rk\binom G{n-k}-1} {\binom{R+G}{n}-(n+1)} }$$

となる。

Reference

• 東京大学大学院工学系研究科 2026年度大学院入学試験問題 数学