東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 数学 第4問

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• Parametric-Surface
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GPT-5.6 Sol

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3 次元直交座標系で、曲線

$$L(u)=\frac{e^u+e^{-u}}2\,\boldsymbol i+u\,\boldsymbol k, \qquad -2\le u\le2$$

を考える。また、これを $z$ 軸の周りに回転して得られる曲面を

$$S(u,v)=\frac{e^u+e^{-u}}2\cos v\,\boldsymbol i +\frac{e^u+e^{-u}}2\sin v\,\boldsymbol j +u\,\boldsymbol k,$$ $$-2\le u\le2,\qquad0\le v\le2\pi$$

とする。

1. 曲線 $L$ の長さを求めよ。
2. 曲面 $S$ の面積を求めよ。
3. 点 $$P=\left(\frac{e+e^{-1}}{2\sqrt2}, \frac{e+e^{-1}}{2\sqrt2},1\right)$$ における接平面を求めよ。
4. 点 $P$ における曲面 $S$ の Gaussian curvature を求めよ。

Kai

以下では

$$\cosh u=\frac{e^u+e^{-u}}2$$

を用いる。

I

$$L(u)=(\cosh u,0,u)$$

なので、

$$L'(u)=(\sinh u,0,1), \qquad \|L'(u)\|=\sqrt{\sinh^2u+1}=\cosh u.$$

よって曲線の長さは

$$\boxed{ \int_{-2}^{2}\cosh u\,du =2\sinh2=e^2-e^{-2} }$$

である。

II

$$S(u,v)=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,u)$$

より、

$$\begin{aligned} S_u&=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,1),\\ S_v&=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0). \end{aligned}$$

したがって、

$$\|S_u\times S_v\|=\cosh^2u.$$

曲面積は

$$\begin{aligned} \int_{-2}^{2}\int_0^{2\pi}\cosh^2u\,dv\,du &=2\pi\int_{-2}^{2}\frac{1+\cosh2u}{2}\,du\\ &=\boxed{4\pi+\pi\sinh4}. \end{aligned}$$

III

点 $P$ は $u=1,v=\pi/4$ に対応する。曲面は暗黙的に

$$F(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}-\cosh z=0$$

と表せる。$P$ における法線ベクトルとして

$$\nabla F(P)=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},-\sinh1\right)$$

を取れるので、接平面は

$$\frac{x+y}{\sqrt2}-\sinh1\,z-e^{-1}=0.$$

したがって、例えば

$$\boxed{x+y-\sqrt2\sinh1\,z=\sqrt2e^{-1}}$$

と書ける。

IV

第一基本量は

$$E=S_u\cdot S_u=\cosh^2u,\qquad F=S_u\cdot S_v=0,\qquad G=S_v\cdot S_v=\cosh^2u.$$

単位法線ベクトルを

$$\boldsymbol n=\left(-\frac{\cos v}{\cosh u}, -\frac{\sin v}{\cosh u},\tanh u\right)$$

と選ぶと、第二基本量の係数は

$$e=S_{uu}\cdot\boldsymbol n=-1,\qquad f=S_{uv}\cdot\boldsymbol n=0,\qquad g=S_{vv}\cdot\boldsymbol n=1.$$

ゆえに Gaussian curvature は

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2} =-\frac1{\cosh^4u}.$$

$P$ では $u=1$ なので、

$$\boxed{K(P)=-\frac1{\cosh^4 1}}$$

である。

Reference

• 東京大学大学院工学系研究科 2026年度大学院入学試験問題 数学