東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 数学 第4問

标签：

• 东京大学
• 弧长
• 参数曲面
• 切平面
• 高斯曲率

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

3 次元直交座標系で、曲線

$$L(u)=\frac{e^u+e^{-u}}2\,\boldsymbol i+u\,\boldsymbol k, \qquad -2\le u\le2$$

を考える。また、これを $z$ 軸の周りに回転して得られる曲面を

$$S(u,v)=\frac{e^u+e^{-u}}2\cos v\,\boldsymbol i +\frac{e^u+e^{-u}}2\sin v\,\boldsymbol j +u\,\boldsymbol k,$$

$$-2\le u\le2,\qquad0\le v\le2\pi$$

とする。

1. 曲線 $L$ の長さを求めよ。

2. 曲面 $S$ の面積を求めよ。

3. 点

   $$P=\left(\frac{e+e^{-1}}{2\sqrt2}, \frac{e+e^{-1}}{2\sqrt2},1\right)$$

   における接平面を求めよ。

4. 点 $P$ における曲面 $S$ の Gaussian curvature を求めよ。

必要に応じ、滑らかな正則曲面 $\boldsymbol R(\xi,\eta)$ の単位法線 $\boldsymbol n$ に対して次の式を用いてよい。

$$K=\frac{(\boldsymbol R_{\xi\xi}\cdot\boldsymbol n)(\boldsymbol R_{\eta\eta}\cdot\boldsymbol n)-(\boldsymbol R_{\xi\eta}\cdot\boldsymbol n)^2}{(\boldsymbol R_\xi\cdot\boldsymbol R_\xi)(\boldsymbol R_\eta\cdot\boldsymbol R_\eta)-(\boldsymbol R_\xi\cdot\boldsymbol R_\eta)^2},\qquad \boldsymbol R_\xi\times\boldsymbol R_\eta\ne0.$$

题目描述

在三维直角坐标系中给定参数曲线

$$L(u)=(\cosh u,0,u),\qquad -2\le u\le2,$$

以及它绕 $z$ 轴旋转所得参数曲面

$$S(u,v)=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,u), \quad -2\le u\le2,\ 0\le v\le2\pi.$$

1. 求曲线 $L$ 的弧长。

2. 求曲面 $S$ 的总面积。

3. 求

   $$P=\left(\frac{e+e^{-1}}{2\sqrt2}, \frac{e+e^{-1}}{2\sqrt2},1\right)$$

   处的切平面。

4. 求 $P$ 处的高斯曲率。

对于光滑正则曲面 $\boldsymbol R(\xi,\eta)$ 及其单位法向量 $\boldsymbol n$，可使用公式

$$K=\frac{(\boldsymbol R_{\xi\xi}\cdot\boldsymbol n)(\boldsymbol R_{\eta\eta}\cdot\boldsymbol n)-(\boldsymbol R_{\xi\eta}\cdot\boldsymbol n)^2}{(\boldsymbol R_\xi\cdot\boldsymbol R_\xi)(\boldsymbol R_\eta\cdot\boldsymbol R_\eta)-(\boldsymbol R_\xi\cdot\boldsymbol R_\eta)^2},\qquad \boldsymbol R_\xi\times\boldsymbol R_\eta\ne0.$$

Kai

以下では

$$\cosh u=\frac{e^u+e^{-u}}2$$

を用いる。

I

$$L(u)=(\cosh u,0,u)$$

なので、

$$L'(u)=(\sinh u,0,1), \qquad \|L'(u)\|=\sqrt{\sinh^2u+1}=\cosh u.$$

よって曲線の長さは

$$\boxed{ \int_{-2}^{2}\cosh u\,du =2\sinh2=e^2-e^{-2} }$$

である。

II

$$S(u,v)=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,u)$$

より、

$$\begin{aligned} S_u&=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,1),\\ S_v&=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0). \end{aligned}$$

したがって、

$$\|S_u\times S_v\|=\cosh^2u.$$

曲面積は

$$\begin{aligned} \int_{-2}^{2}\int_0^{2\pi}\cosh^2u\,dv\,du &=2\pi\int_{-2}^{2}\frac{1+\cosh2u}{2}\,du\\ &=\boxed{4\pi+\pi\sinh4}. \end{aligned}$$

III

点 $P$ は $u=1,v=\pi/4$ に対応する。曲面は暗黙的に

$$F(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2}-\cosh z=0$$

と表せる。$P$ における法線ベクトルとして

$$\nabla F(P)=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},-\sinh1\right)$$

を取れるので、接平面は

$$\frac{x+y}{\sqrt2}-\sinh1\,z-e^{-1}=0.$$

したがって、例えば

$$\boxed{x+y-\sqrt2\sinh1\,z=\sqrt2e^{-1}}$$

と書ける。

IV

第一基本量は

$$E=S_u\cdot S_u=\cosh^2u,\qquad F=S_u\cdot S_v=0,\qquad G=S_v\cdot S_v=\cosh^2u.$$

単位法線ベクトルを

$$\boldsymbol n=\left(-\frac{\cos v}{\cosh u}, -\frac{\sin v}{\cosh u},\tanh u\right)$$

と選ぶと、第二基本量の係数は

$$e=S_{uu}\cdot\boldsymbol n=-1,\qquad f=S_{uv}\cdot\boldsymbol n=0,\qquad g=S_{vv}\cdot\boldsymbol n=1.$$

ゆえに Gaussian curvature は

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2} =-\frac1{\cosh^4u}.$$

$P$ では $u=1$ なので、

$$\boxed{K(P)=-\frac1{\cosh^4 1}}$$

である。

Reference

• 東京大学大学院工学系研究科 2026年度大学院入学試験問題 数学