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東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

z=x+iyz=x+iy とし、x,yx,y は実数、ii は虚数単位とする。

I​

cos⁡z=10\cos z=10 を満たすすべての zz について、x,yx,y を求めよ。

II​

w=iz+1+2iz−iw=\frac{iz+1+2i}{z-i}

とする。zz が y>2y>2 の範囲を動くとき、ww が動く範囲を複素平面上に図示せよ。

III​

f(z)=z3e−1/z2f(z)=z^3e^{-1/z^2}

について、次を求めよ。

  1. z=0z=0 における Laurent 展開。
  2. z=0z=0 における留数。
  3. I=∮∣z∣=1f(z) dzI=\displaystyle\oint_{|z|=1}f(z)\,dz。

IV​

正則関数 g(z)=u(x,y)+iv(x,y)g(z)=u(x,y)+iv(x,y) の実部が

u=x3−3xy2+x2−y2+xu=x^3-3xy^2+x^2-y^2+x

であるとき、vv と g(z)g(z) を求めよ。

题目描述​

令 z=x+iyz=x+iy。

  1. 求满足 cos⁡z=10\cos z=10 的全部实部 xx 和虚部 yy。

  2. 对一次分式变换

    w=iz+1+2iz−i,w=\frac{iz+1+2i}{z-i},

    当 zz 在半平面 y>2y>2 内变化时，在 ww 平面画出其像域并说明边界是否包含。

  3. 对 f(z)=z3e−1/z2f(z)=z^3e^{-1/z^2}，求 z=0z=0 处的 Laurent 展开和留数，并计算

    ∮∣z∣=1f(z) dz.\oint_{|z|=1}f(z)\,\mathrm dz.

  4. 正则函数 g(z)=u(x,y)+iv(x,y)g(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的实部为

    u=x3−3xy2+x2−y2+x.u=x^3-3xy^2+x^2-y^2+x.

    求调和共轭 vv 以及 g(z)g(z) 的一般形式。

Kai​

I​

cos⁡(x+iy)=cos⁡xcosh⁡y−isin⁡xsinh⁡y\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y

である。虚部が零でなければならないので、

sin⁡xsinh⁡y=0.\sin x\sinh y=0.

y=0y=0 では cos⁡x=10\cos x=10 は不可能である。したがって sin⁡x=0\sin x=0、すなわち x=kπx=k\pi である。実部の条件は

(−1)kcosh⁡y=10(-1)^k\cosh y=10

なので kk は偶数でなければならない。また

cosh⁡y=10⟺y=±arcosh⁡10=±log⁡(10+99).\cosh y=10 \quad\Longleftrightarrow\quad y=\pm\operatorname{arcosh}10 =\pm\log(10+\sqrt{99}).

よって、

x=2mπ,y=±log⁡(10+99)(m∈Z)\boxed{x=2m\pi,\qquad y=\pm\log(10+\sqrt{99})\quad(m\in\mathbb Z)}

である。

II​

式を

w=i+2iz−iw=i+\frac{2i}{z-i}

と変形する。w=u+ivw=u+iv とおくと、

z−i=2iw−i=2(v−1)+2iuu2+(v−1)2.z-i=\frac{2i}{w-i} =\frac{2(v-1)+2iu}{u^2+(v-1)^2}.

したがって、Im⁡(z−i)=y−1\operatorname{Im}(z-i)=y-1 より

y−1=2uu2+(v−1)2.y-1=\frac{2u}{u^2+(v-1)^2}.

y>2y>2 は

2uu2+(v−1)2>1\frac{2u}{u^2+(v-1)^2}>1

と同値であり、整理すると

(u−1)2+(v−1)2<1\boxed{(u-1)^2+(v-1)^2<1}

を得る。すなわち、ww の範囲は中心 1+i1+i、半径 11 の円の内部である。境界は含まない。

Mobius 像領域

III.1​

指数関数を展開すると、

f(z)=z3∑n=0∞(−1)nn!z2n=∑n=0∞(−1)nn!z3−2n=z3−z+12z−16z3+124z5−⋯ .\begin{aligned} f(z) &=z^3\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!z^{2n}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}z^{3-2n}\\ &=z^3-z+\frac{1}{2z}-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^5}-\cdots. \end{aligned}

III.2​

z−1z^{-1} の係数は n=2n=2 の項から生じるので、

Res⁡(f,0)=12\boxed{\operatorname{Res}(f,0)=\frac12}

である。

III.3​

∣z∣=1|z|=1 の内部の特異点は z=0z=0 のみである。留数定理より、

I=2πiRes⁡(f,0)=πi\boxed{I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)=\pi i}

となる。

IV​

与えられた実部は

u=Re⁡(z3+z2+z)u=\operatorname{Re}(z^3+z^2+z)

と書ける。したがって、その調和共役は実定数 CC を用いて

v=3x2y−y3+2xy+y+C\boxed{v=3x^2y-y^3+2xy+y+C}

であり、正則関数は

g(z)=z3+z2+z+iC(C∈R)\boxed{g(z)=z^3+z^2+z+iC\qquad(C\in\mathbb R)}

となる。

Reference​

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