東京大学工学系研究科 2025年8月実施数学第3問

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GPT-5.6 Sol

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$z=x+iy$ とし、 $x,y$ は実数、 $i$ は虚数単位とする。

I

$\cos z=10$ を満たすすべての $z$ について、 $x,y$ を求めよ。

II

w=\frac{iz+1+2i}{z-i}

とする。 $z$ が $y>2$ の範囲を動くとき、 $w$ が動く範囲を複素平面上に図示せよ。

III

f(z)=z^3e^{-1/z^2}

について、次を求めよ。

$z=0$ における Laurent 展開。
$z=0$ における留数。
$I=\displaystyle\oint_{|z|=1}f(z)\,dz$ 。

IV

正則関数 $g(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ の実部が

u=x^3-3xy^2+x^2-y^2+x

であるとき、 $v$ と $g(z)$ を求めよ。

Kai

I

\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y

である。虚部が零でなければならないので、

\sin x\sinh y=0.

$y=0$ では $\cos x=10$ は不可能である。したがって $\sin x=0$ 、すなわち $x=k\pi$ である。実部の条件は

(-1)^k\cosh y=10

なので $k$ は偶数でなければならない。また

\cosh y=10 \quad\Longleftrightarrow\quad y=\pm\operatorname{arcosh}10 =\pm\log(10+\sqrt{99}).

よって、

\boxed{x=2m\pi,\qquad y=\pm\log(10+\sqrt{99})\quad(m\in\mathbb Z)}

である。

II

式を

w=i+\frac{2i}{z-i}

と変形する。 $w=u+iv$ とおくと、

z-i=\frac{2i}{w-i} =\frac{2(v-1)+2iu}{u^2+(v-1)^2}.

したがって、 $\operatorname{Im}(z-i)=y-1$ より

y-1=\frac{2u}{u^2+(v-1)^2}.

$y>2$ は

\frac{2u}{u^2+(v-1)^2}>1

と同値であり、整理すると

\boxed{(u-1)^2+(v-1)^2<1}

を得る。すなわち、 $w$ の範囲は中心 $1+i$ 、半径 $1$ の円の内部である。境界は含まない。

             Im w
               ^
          (1,2) *
              .' '.
       (0,1) *  C  * (2,1)      C = 1+i
              '. .'
          (1,0) *
---------------+--------------------> Re w
               1

III.1

指数関数を展開すると、

\begin{aligned} f(z) &=z^3\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!z^{2n}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}z^{3-2n}\\ &=z^3-z+\frac{1}{2z}-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^5}-\cdots. \end{aligned}

III.2

$z^{-1}$ の係数は $n=2$ の項から生じるので、

\boxed{\operatorname{Res}(f,0)=\frac12}

である。

III.3

$|z|=1$ の内部の特異点は $z=0$ のみである。留数定理より、

\boxed{I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)=\pi i}

となる。

IV

与えられた実部は

u=\operatorname{Re}(z^3+z^2+z)

と書ける。したがって、その調和共役は実定数 $C$ を用いて

\boxed{v=3x^2y-y^3+2xy+y+C}

であり、正則関数は

\boxed{g(z)=z^3+z^2+z+iC\qquad(C\in\mathbb R)}

となる。

Reference

東京大学大学院工学系研究科 2026年度大学院入学試験問題数学

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I​

II​

III​

IV​

Kai​

I​

II​

III.1​

III.2​

III.3​

IV​

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