東京大学 工学系研究科 2025年8月実施 数学 第3問

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GPT-5.6 Sol

Description

$z=x+iy$ とし、$x,y$ は実数、$i$ は虚数単位とする。

I

$\cos z=10$ を満たすすべての $z$ について、$x,y$ を求めよ。

II

$$w=\frac{iz+1+2i}{z-i}$$

とする。$z$ が $y>2$ の範囲を動くとき、$w$ が動く範囲を複素平面上に図示せよ。

III

$$f(z)=z^3e^{-1/z^2}$$

について、次を求めよ。

1. $z=0$ における Laurent 展開。
2. $z=0$ における留数。
3. $I=\displaystyle\oint_{|z|=1}f(z)\,dz$。

IV

正則関数 $g(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ の実部が

$$u=x^3-3xy^2+x^2-y^2+x$$

であるとき、$v$ と $g(z)$ を求めよ。

题目描述

令 $z=x+iy$。

1. 求满足 $\cos z=10$ 的全部实部 $x$ 和虚部 $y$。
2. 对一次分式变换
   $$w=\frac{iz+1+2i}{z-i},$$
   当 $z$ 在半平面 $y>2$ 内变化时，在 $w$ 平面画出其像域并说明边界是否包含。
3. 对 $f(z)=z^3e^{-1/z^2}$，求 $z=0$ 处的 Laurent 展开和留数，并计算
   $$\oint_{|z|=1}f(z)\,\mathrm dz.$$
4. 正则函数 $g(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的实部为
   $$u=x^3-3xy^2+x^2-y^2+x.$$
   求调和共轭 $v$ 以及 $g(z)$ 的一般形式。

Kai

I

$$\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$$

である。虚部が零でなければならないので、

$$\sin x\sinh y=0.$$

$y=0$ では $\cos x=10$ は不可能である。したがって $\sin x=0$、すなわち $x=k\pi$ である。実部の条件は

$$(-1)^k\cosh y=10$$

なので $k$ は偶数でなければならない。また

$$\cosh y=10 \quad\Longleftrightarrow\quad y=\pm\operatorname{arcosh}10 =\pm\log(10+\sqrt{99}).$$

よって、

$$\boxed{x=2m\pi,\qquad y=\pm\log(10+\sqrt{99})\quad(m\in\mathbb Z)}$$

である。

II

式を

$$w=i+\frac{2i}{z-i}$$

と変形する。$w=u+iv$ とおくと、

$$z-i=\frac{2i}{w-i} =\frac{2(v-1)+2iu}{u^2+(v-1)^2}.$$

したがって、$\operatorname{Im}(z-i)=y-1$ より

$$y-1=\frac{2u}{u^2+(v-1)^2}.$$

$y>2$ は

$$\frac{2u}{u^2+(v-1)^2}>1$$

と同値であり、整理すると

$$\boxed{(u-1)^2+(v-1)^2<1}$$

を得る。すなわち、$w$ の範囲は中心 $1+i$、半径 $1$ の円の内部である。境界は含まない。

             Im w
               ^
          (1,2) *
              .' '.
       (0,1) *  C  * (2,1)      C = 1+i
              '. .'
          (1,0) *
---------------+--------------------> Re w
               1

III.1

指数関数を展開すると、

$$\begin{aligned} f(z) &=z^3\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!z^{2n}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}z^{3-2n}\\ &=z^3-z+\frac{1}{2z}-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^5}-\cdots. \end{aligned}$$

III.2

$z^{-1}$ の係数は $n=2$ の項から生じるので、

$$\boxed{\operatorname{Res}(f,0)=\frac12}$$

である。

III.3

$|z|=1$ の内部の特異点は $z=0$ のみである。留数定理より、

$$\boxed{I=2\pi i\operatorname{Res}(f,0)=\pi i}$$

となる。

IV

与えられた実部は

$$u=\operatorname{Re}(z^3+z^2+z)$$

と書ける。したがって、その調和共役は実定数 $C$ を用いて

$$\boxed{v=3x^2y-y^3+2xy+y+C}$$

であり、正則関数は

$$\boxed{g(z)=z^3+z^2+z+iC\qquad(C\in\mathbb R)}$$

となる。

Reference

• 東京大学大学院工学系研究科 2026年度大学院入学試験問題 数学