跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 2024年8月実施 数学 第6問

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

次の手順で 00 または 11 を取る確率変数の列を生成する。生成された nn 番目の変数を XnX_n とする。

  • X1X_1 は、確率 2/32/3 で 00、確率 1/31/3 で 11 となる。
  • 各 n≥1n\ge1 について、Xn=0X_n=0 なら確率 pp で、Xn=1X_n=1 なら確率 qq で手順を終了する。ただし 0<p,q<10<p,q<1 は一定とする。
  • 終了しなかった場合、確率 2/32/3 で Xn+1=0X_{n+1}=0、確率 1/31/3 で Xn+1=1X_{n+1}=1 とし、繰り返す。

n=ℓn=\ell で終了すると、長さ ℓ\ell の列 (X1,…,Xℓ)(X_1,\ldots,X_\ell) が生成され、それ以降の変数は生成されない。

I. 整数 k≥1k\ge1 に対し、

Pk=(Pr⁡(Xn+k=0∣Xn=0)Pr⁡(Xn+k=1∣Xn=0)Pr⁡(Xn+k=0∣Xn=1)Pr⁡(Xn+k=1∣Xn=1))P_k=\begin{pmatrix} \Pr(X_{n+k}=0\mid X_n=0)&\Pr(X_{n+k}=1\mid X_n=0)\\ \Pr(X_{n+k}=0\mid X_n=1)&\Pr(X_{n+k}=1\mid X_n=1) \end{pmatrix}

とする。

  1. P1,P2P_1,P_2 を p,qp,q で表せ。
  2. P3P_3 を P1P_1 を用いて表せ。
  3. Pk=γkP1P_k=\gamma_kP_1 と表すとき、実数 γk\gamma_k を求めよ。

II. m≥2m\ge2 とする。n=mn=m より前に手順が終了していないとき、Xm=0X_m=0 と Xm=1X_m=1 の確率をそれぞれ求めよ。

III. 列の長さ ℓ\ell の期待値と分散を求めよ。必要ならば ∣r∣<1|r|<1 に対する次式を用いてよい。

∑m=1∞mrm−1=1(1−r)2,∑m=1∞m2rm−1=1+r(1−r)3.\sum_{m=1}^{\infty}mr^{m-1}=\frac1{(1-r)^2},\qquad \sum_{m=1}^{\infty}m^2r^{m-1}=\frac{1+r}{(1-r)^3}.

IV. 整数 k≥1k\ge1 に対し、Pr⁡(Xn=0∣Xn+k=1)\Pr(X_n=0\mid X_{n+k}=1) を求めよ。

题目描述​

按下述步骤生成取值为 00 或 11 的随机数列，已生成的第 nn 个变量记为 XnX_n。

  • 首先生成 X1X_1，其中 Pr⁡(X1=0)=2/3\Pr(X_1=0)=2/3、Pr⁡(X1=1)=1/3\Pr(X_1=1)=1/3。
  • 每次生成 XnX_n 后，若 Xn=0X_n=0，以概率 pp 结束；若 Xn=1X_n=1，以概率 qq 结束，其中 0<p,q<10<p,q<1 为常数。
  • 若未结束，则以概率 2/32/3 令 Xn+1=0X_{n+1}=0，以概率 1/31/3 令 Xn+1=1X_{n+1}=1，继续上述步骤。

若在 n=ℓn=\ell 时结束，生成的数列长度为 ℓ\ell，以后不再生成变量。

I. 对整数 k≥1k\ge1，定义

Pk=(Pr⁡(Xn+k=0∣Xn=0)Pr⁡(Xn+k=1∣Xn=0)Pr⁡(Xn+k=0∣Xn=1)Pr⁡(Xn+k=1∣Xn=1)).P_k=\begin{pmatrix} \Pr(X_{n+k}=0\mid X_n=0)&\Pr(X_{n+k}=1\mid X_n=0)\\ \Pr(X_{n+k}=0\mid X_n=1)&\Pr(X_{n+k}=1\mid X_n=1) \end{pmatrix}.
  1. 用 p,qp,q 表示 P1,P2P_1,P_2。
  2. 用 P1P_1 表示 P3P_3。
  3. 若 Pk=γkP1P_k=\gamma_kP_1，求实数 γk\gamma_k。

II. 对 m≥2m\ge2，在过程于 n=mn=m 之前尚未结束的条件下，分别求 Xm=0X_m=0 和 Xm=1X_m=1 的概率。

III. 求长度 ℓ\ell 的期望和方差。可使用 ∣r∣<1|r|<1 时

∑m=1∞mrm−1=1(1−r)2,∑m=1∞m2rm−1=1+r(1−r)3.\sum_{m=1}^{\infty}mr^{m-1}=\frac1{(1-r)^2},\qquad \sum_{m=1}^{\infty}m^2r^{m-1}=\frac{1+r}{(1-r)^3}.

IV. 对 k≥1k\ge1，求 Pr⁡(Xn=0∣Xn+k=1)\Pr(X_n=0\mid X_{n+k}=1)。

Kai​

I​

手順が終了した後には新たな値は生成されない。したがって

P1=13(2(1−p)1−p2(1−q)1−q).\boxed{P_1=\frac13\begin{pmatrix}2(1-p)&1-p\\2(1-q)&1-q\end{pmatrix}}.

ここで、

r=2(1−p)+(1−q)3=1−2p+q3.r=\frac{2(1-p)+(1-q)}3=1-\frac{2p+q}{3}.

u=(1−p,1−q)Tu=(1-p,1-q)^T、v=(2/3,1/3)Tv=(2/3,1/3)^T とおけば、P1=uvTP_1=uv^T、vTu=rv^Tu=r である。よって

P2=rP1,P3=r2P1,γk=rk−1.\boxed{P_2=rP_1,\qquad P_3=r^2P_1,\qquad\gamma_k=r^{k-1}}.

II​

XmX_m が生成されるという条件のもとでは、指定された分布で新たに抽出されるので、

Pr⁡(Xm=0∣ℓ≥m)=23,Pr⁡(Xm=1∣ℓ≥m)=13.\boxed{\Pr(X_m=0\mid\ell\ge m)=\frac23,\qquad \Pr(X_m=1\mid\ell\ge m)=\frac13}.

III​

新たな変数を生成するごとに、終了確率は α=(2p+q)/3=1−r\alpha=(2p+q)/3=1-r である。よって

Pr⁡(ℓ=m)=αrm−1(m≥1),\Pr(\ell=m)=\alpha r^{m-1}\quad(m\ge1),

すなわち、ℓ\ell は 11 から始まる幾何分布に従う。したがって

E[ℓ]=32p+q,Var⁡(ℓ)=3(3−2p−q)(2p+q)2.\boxed{\mathbb E[\ell]=\frac3{2p+q},\qquad \operatorname{Var}(\ell)=\frac{3(3-2p-q)}{(2p+q)^2}}.

IV​

XnX_n が生成された条件のもとでは、その事前確率は 2/3,1/32/3,1/3 である。I と Bayes の公式から、

Pr⁡(Xn=0∣Xn+k=1)=23 rk−11−p323 rk−11−p3+13 rk−11−q3=2(1−p)3−2p−q.\begin{aligned} \Pr(X_n=0\mid X_{n+k}=1) &=\frac{\frac23\,r^{k-1}\frac{1-p}{3}} {\frac23\,r^{k-1}\frac{1-p}{3}+\frac13\,r^{k-1}\frac{1-q}{3}}\\ &=\boxed{\frac{2(1-p)}{3-2p-q}}. \end{aligned}
本页目录