東京大学 工学系研究科 2024年8月実施 数学 第5問

标签：

• Tokyo-University
• Fourier-Transform
• Convolution
• Parseval-Identity

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

連続関数 $f(t)$ について $|f(t)|$ と $|f(t)|^2$ が積分可能であるとする。フーリエ変換を

$$F(\omega)=\mathcal F[f](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

とする。ここで $\omega\in\mathbb R$ であり、次の等式が成り立つ。

$$\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,d\omega=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt.$$

自己相関関数を $R_f(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t-\tau)\,dt$（$\tau\in\mathbb R$）と定義する。

I. $a>0$ とし、

$$f(t)=\begin{cases}\cos(at),&|t|\le\pi/(2a),\\0,&|t|>\pi/(2a)\end{cases}$$

とする。1. $F(\omega)$、2. $R_f(\tau)$、3. $\mathcal F[R_f](\omega)$ をそれぞれ求めよ。

II. 次の積分を求めよ。I の結果を利用してもよい。

$$1.\quad\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2(\pi x/2)}{(x^2-1)^2}\,dx,\qquad 2.\quad\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^4(\pi x/2)}{(x^2-1)^4}\,dx.$$

题目描述

设连续函数 $f(t)$ 的 $|f(t)|$ 和 $|f(t)|^2$ 均可积，傅里叶变换约定为

$$F(\omega)=\mathcal F[f](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt.$$

可使用

$$\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,d\omega=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt.$$

自相关函数定义为 $R_f(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t-\tau)\,dt$。

I. 当 $a>0$ 且

$$f(t)=\begin{cases}\cos(at),&|t|\le\pi/(2a),\\0,&|t|>\pi/(2a),\end{cases}$$

分别求：1. $F(\omega)$；2. $R_f(\tau)$；3. $\mathcal F[R_f](\omega)$。

II. 可利用 I 的结果，计算

$$1.\quad\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2(\pi x/2)}{(x^2-1)^2}\,dx,\qquad 2.\quad\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^4(\pi x/2)}{(x^2-1)^4}\,dx.$$

Kai

I.1

積和公式を用いて積分すると、

$$\begin{aligned} F(\omega) &=\frac{\sin((\omega-a)\pi/(2a))}{\omega-a} +\frac{\sin((\omega+a)\pi/(2a))}{\omega+a}\\ &=\boxed{\frac{2a\cos(\pi\omega/(2a))}{a^2-\omega^2}}. \end{aligned}$$

$\omega=\pm a$ では連続延長した値 $\boxed{F(\pm a)=\pi/(2a)}$ を取る。

I.2

$|\tau|>\pi/a$ では二つの関数の台が重ならず、相関関数は零である。$0\le\tau\le\pi/a$ では

$$R_f(\tau)=\int_{\tau-\pi/(2a)}^{\pi/(2a)}\cos(at)\cos(a(t-\tau))\,dt.$$

積和公式と $R_f$ の偶性を用いると、

$$\boxed{R_f(\tau)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(\pi-a|\tau|)\cos(a\tau)+\sin(a|\tau|)}{2a},&|\tau|\le\pi/a,\\[4pt] 0,&|\tau|>\pi/a. \end{cases}}$$

I.3

積分順序を交換して $u=t-\tau$ とおくと、

$$\mathcal F[R_f](\omega)=F(\omega)F(-\omega).$$

本問の $f$ は実数値の偶関数なので、

$$\boxed{\mathcal F[R_f](\omega)=|F(\omega)|^2 =\frac{4a^2\cos^2(\pi\omega/(2a))}{(a^2-\omega^2)^2}}.$$

$\omega=\pm a$ では値を $\pi^2/(4a^2)$ とする。

II.1

$a=1$ とし、Parseval の等式を用いると、

$$4\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2(\pi x/2)}{(x^2-1)^2}\,dx =2\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2t\,dt=\pi^2.$$

よって

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2(\pi x/2)}{(x^2-1)^2}\,dx=\frac{\pi^2}{4}}.$$

II.2

$a=1$ の $R_f$ に再び Parseval の等式を適用すると、

$$16\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^4(\pi x/2)}{(x^2-1)^4}\,dx =2\pi\int_{-\infty}^{\infty}R_f(\tau)^2\,d\tau.$$

I.2 より、

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}R_f(\tau)^2\,d\tau &=\frac12\int_0^\pi[(\pi-\tau)\cos\tau+\sin\tau]^2\,d\tau\\ &=\frac{\pi(15+2\pi^2)}{24}. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^4(\pi x/2)}{(x^2-1)^4}\,dx =\frac{\pi^2(15+2\pi^2)}{192}}.$$