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東京大学 工学系研究科 2024年8月実施 数学 第4問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

三次元直交座標系の曲面 SS を

(x(θ,ϕ)y(θ,ϕ)z(θ,ϕ))=(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001)(cos⁡ϕ+20sin⁡ϕ),0≤θ,ϕ<2π\begin{pmatrix}x(\theta,\phi)\\y(\theta,\phi)\\z(\theta,\phi)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\phi+2\\0\\\sin\phi\end{pmatrix},\qquad0\le\theta,\phi<2\pi

で定義する。SS で囲まれた領域を VV、不等式 x2+y2≤4x^2+y^2\le4 を満たす領域を WW とする。

I. SS 上の点 P=(1/2,1/2,0)TP=(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0)^T における、VV の内側を向く単位法線ベクトルを求めよ。

II. SS のうち WW に含まれる部分の面積を求めよ。

III. VV と WW の共通部分の体積を求めよ。

IV. θ=ϕ\theta=\phi として定義される SS 上の空間曲線を CC とする。CC 上の点 Q=(0,2,1)TQ=(0,2,1)^T における曲率を求めよ。必要ならば

κ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣∣c′(t)∣3\kappa(t)=\frac{|\boldsymbol c'(t)\times\boldsymbol c''(t)|}{|\boldsymbol c'(t)|^3}

を用いてよい。

题目描述​

三维直角坐标系中的曲面 SS 定义为

(x(θ,ϕ)y(θ,ϕ)z(θ,ϕ))=(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001)(cos⁡ϕ+20sin⁡ϕ),\begin{pmatrix}x(\theta,\phi)\\y(\theta,\phi)\\z(\theta,\phi)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\phi+2\\0\\\sin\phi\end{pmatrix},

其中 0≤θ,ϕ<2π0\le\theta,\phi<2\pi。设 VV 为 SS 围成的区域，W={(x,y,z):x2+y2≤4}W=\{(x,y,z):x^2+y^2\le4\}。

I. 在 SS 上点 P=(1/2,1/2,0)TP=(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0)^T 处，求朝向 VV 内部的单位法向量。

II. 求 SS 中包含于 WW 的部分的面积。

III. 求 V∩WV\cap W 的体积。

IV. 令 θ=ϕ\theta=\phi，得到 SS 上的空间曲线 CC。求 CC 上点 Q=(0,2,1)TQ=(0,2,1)^T 处的曲率。可使用

κ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣∣c′(t)∣3.\kappa(t)=\frac{|\boldsymbol c'(t)\times\boldsymbol c''(t)|}{|\boldsymbol c'(t)|^3}.

Kai​

I​

媒介変数表示を展開すると、

r=((2+cos⁡ϕ)cos⁡θ,(2+cos⁡ϕ)sin⁡θ,sin⁡ϕ).\boldsymbol r=((2+\cos\phi)\cos\theta,(2+\cos\phi)\sin\theta,\sin\phi).

外向き単位法線ベクトルは (cos⁡ϕcos⁡θ,cos⁡ϕsin⁡θ,sin⁡ϕ)(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,\sin\phi) である。点 PP は θ=π/4,ϕ=π\theta=\pi/4,\phi=\pi に対応するので、内向き単位法線は

n=(12,12,0).\boxed{\boldsymbol n=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right)}.

II​

SS 上で x2+y2≤4x^2+y^2\le4 は cos⁡ϕ≤0\cos\phi\le0、すなわち π/2≤ϕ≤3π/2\pi/2\le\phi\le3\pi/2 と同値である。面積要素は

dS=∣rθ×rϕ∣ dθ dϕ=(2+cos⁡ϕ) dθ dϕ.dS=|\boldsymbol r_\theta\times\boldsymbol r_\phi|\,d\theta\,d\phi=(2+\cos\phi)\,d\theta\,d\phi.

よって

SW=∫02π∫π/23π/2(2+cos⁡ϕ) dϕ dθ=4π(π−1).\boxed{S_W=\int_0^{2\pi}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(2+\cos\phi)\,d\phi\,d\theta=4\pi(\pi-1)}.

III​

円柱座標 ρ=x2+y2\rho=\sqrt{x^2+y^2} を用いると、V:(ρ−2)2+z2≤1V:(\rho-2)^2+z^2\le1、W:ρ≤2W:\rho\le2 である。u=ρ−2u=\rho-2 とおけば、

Vol⁡(V∩W)=4π∫−10(u+2)1−u2 du=4π(−13+π2)=2π2−4π3.\begin{aligned} \operatorname{Vol}(V\cap W) &=4\pi\int_{-1}^0(u+2)\sqrt{1-u^2}\,du\\ &=4\pi\left(-\frac13+\frac\pi2\right) =\boxed{2\pi^2-\frac{4\pi}{3}}. \end{aligned}

IV​

θ=ϕ=t\theta=\phi=t とおくと、QQ は t=π/2t=\pi/2 に対応する。微分すると、

c′(π/2)=(−2,−1,0),c′′(π/2)=(2,−2,−1).\boldsymbol c'(\pi/2)=(-2,-1,0),\qquad\boldsymbol c''(\pi/2)=(2,-2,-1).

外積は (1,−2,6)(1,-2,6) なので、

κ(Q)=4155.\boxed{\kappa(Q)=\frac{\sqrt{41}}{5\sqrt5}}.
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