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東京大学 工学系研究科 2024年8月実施 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

複素関数 f(z)=cot⁡z/z2f(z)=\cot z/z^2 を考える。ただし cot⁡z=1/tan⁡z\cot z=1/\tan z とする。正整数 mm に対して

Dm=lim⁡z→0dmdzm(zcot⁡z)D_m=\lim_{z\to0}\frac{d^m}{dz^m}(z\cot z)

とする。必要ならば D2=−2/3D_2=-2/3 および lim⁡z→nπ(z−nπ)/sin⁡z=(−1)n\lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)/\sin z=(-1)^n（n∈Zn\in\mathbb Z）を用いてよい。

I. ff のすべての極と、その位数を求めよ。

II. 各極における留数を求めよ。

III. 正整数 MM に対し R=π(2M+1)R=\pi(2M+1) とおき、−R/2≤t≤R/2-R/2\le t\le R/2 を動く媒介変数 tt によって、図の四つの線分を定義する。

C1:z=R/2+it,C2:z=−t+iR/2,C3:z=−R/2−it,C4:z=t−iR/2.C_1:z=R/2+it,\quad C_2:z=-t+iR/2,\quad C_3:z=-R/2-it,\quad C_4:z=t-iR/2.

いずれも始点は t=−R/2t=-R/2、終点は t=R/2t=R/2 に対応する。Ik=∫Ckf(z) dzI_k=\int_{C_k}f(z)\,dz とし、lim⁡M→∞Ik\lim_{M\to\infty}I_k を求めよ（k=1,2,3,4k=1,2,3,4）。

正方形の積分路

IV. 四つの線分をつないだ閉曲線を CC とする。I=∮Cf(z) dzI=\oint_Cf(z)\,dz に留数定理を適用して、∑n=1∞1/n2\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2 を求めよ。

V. 正整数 NN に対して g(z)=cot⁡z/z2Ng(z)=\cot z/z^{2N} とする。I–IV と同様の手順により、∑n=1∞1/n2N\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2N} を DmD_m を用いて表せ。

题目描述​

设 f(z)=cot⁡z/z2f(z)=\cot z/z^2，其中 cot⁡z=1/tan⁡z\cot z=1/\tan z。对正整数 mm，定义

Dm=lim⁡z→0dmdzm(zcot⁡z).D_m=\lim_{z\to0}\frac{d^m}{dz^m}(z\cot z).

可使用 D2=−2/3D_2=-2/3 及 lim⁡z→nπ(z−nπ)/sin⁡z=(−1)n\lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)/\sin z=(-1)^n（n∈Zn\in\mathbb Z）。

I. 求 ff 的全部极点及其阶数。

II. 求各极点的留数。

III. 对正整数 MM，令 R=π(2M+1)R=\pi(2M+1)，以 −R/2≤t≤R/2-R/2\le t\le R/2 定义四条有向线段

C1:z=R/2+it,C2:z=−t+iR/2,C3:z=−R/2−it,C4:z=t−iR/2.C_1:z=R/2+it,\quad C_2:z=-t+iR/2,\quad C_3:z=-R/2-it,\quad C_4:z=t-iR/2.

各线段均从 t=−R/2t=-R/2 走向 t=R/2t=R/2。令 Ik=∫Ckf(z) dzI_k=\int_{C_k}f(z)\,dz，求 lim⁡M→∞Ik\lim_{M\to\infty}I_k（k=1,2,3,4k=1,2,3,4）。

IV. 将四条线段连接成闭合曲线 CC，对 I=∮Cf(z) dzI=\oint_C f(z)\,dz 应用留数定理，求 ∑n=1∞1/n2\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2。

V. 对正整数 NN，将 ff 换成 g(z)=cot⁡z/z2Ng(z)=\cot z/z^{2N}，仿照 I–IV，用 DmD_m 表示 ∑n=1∞1/n2N\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2N}。

Kai​

I、II​

zcot⁡zz\cot z は原点に正則に延長でき、その値は 11 である。よって ff は 00 に3位の極を持ち、他の極 nπn\pi（n∈Z∖{0}n\in\mathbb Z\setminus\{0\}）はすべて単純極である。

原点では f=(zcot⁡z)/z3f=(z\cot z)/z^3 の z−1z^{-1} の係数が D2/2!=−1/3D_2/2!=-1/3 となる。非零整数 nn に対しては

Res⁡(f,nπ)=lim⁡z→nπ(z−nπ)cos⁡zz2sin⁡z=1n2π2.\operatorname{Res}(f,n\pi)=\lim_{z\to n\pi}\frac{(z-n\pi)\cos z}{z^2\sin z}=\frac1{n^2\pi^2}.

よって

Res⁡(f,0)=−13,Res⁡(f,nπ)=1n2π2 (n≠0).\boxed{\operatorname{Res}(f,0)=-\frac13,\qquad\operatorname{Res}(f,n\pi)=\frac1{n^2\pi^2}\ (n\ne0)}.

III​

各辺で ∣z∣≥R/2|z|\ge R/2 である。縦の辺では ℜz=±(M+1/2)π\Re z=\pm(M+1/2)\pi より ∣cot⁡z∣=∣tanh⁡(ℑz)∣≤1|\cot z|=|\tanh(\Im z)|\le1 である。横の辺では

∣cot⁡(x+iy)∣2=cosh⁡2y+cos⁡2xcosh⁡2y−cos⁡2x≤coth⁡2∣y∣|\cot(x+iy)|^2=\frac{\cosh2y+\cos2x}{\cosh2y-\cos2x}\le\coth^2|y|

より ∣cot⁡z∣|\cot z| は一様有界である。MM に依存しない上界を KK とすると、

∣Ik∣≤KR(R/2)2=4KR→0.|I_k|\le\frac{KR}{(R/2)^2}=\frac{4K}{R}\to0.

したがって

lim⁡M→∞Ik=0(k=1,2,3,4).\boxed{\lim_{M\to\infty}I_k=0\qquad(k=1,2,3,4)}.

IV​

CC の内部の極は nπn\pi（−M≤n≤M-M\le n\le M）である。留数定理より

I=2πi(−13+2π2∑n=1M1n2).I=2\pi i\left(-\frac13+\frac2{\pi^2}\sum_{n=1}^M\frac1{n^2}\right).

M→∞M\to\infty として III を用いると、

∑n=1∞1n2=π26.\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}.

V​

gg は原点に 2N+12N+1 位の極を持ち、留数は D2N/(2N)!D_{2N}/(2N)! である。非零の nπn\pi における留数は (nπ)−2N(n\pi)^{-2N} である。各辺の積分は O(R1−2N)→0O(R^{1-2N})\to0 なので、

0=D2N(2N)!+2π2N∑n=1∞1n2N.0=\frac{D_{2N}}{(2N)!}+\frac2{\pi^{2N}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2N}}.

したがって

∑n=1∞1n2N=−π2ND2N2(2N)!.\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2N}}=-\frac{\pi^{2N}D_{2N}}{2(2N)!}}.
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