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東京大学 工学系研究科 2024年8月実施 数学 第2問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

正方行列 AA に対し、eA=I+∑k=1∞Ak/k!e^A=I+\sum_{k=1}^{\infty}A^k/k! と定義する。

I. 三次正方行列 AA が正則行列 PP によって A=PDP−1A=PDP^{-1} と対角化され、D=diag⁡(λ1,λ2,λ3)D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)、λj∈C\lambda_j\in\mathbb C とする。次を示せ。

eA=Pdiag⁡(eλ1,eλ2,eλ3)P−1.e^A=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1},e^{\lambda_2},e^{\lambda_3})P^{-1}.

II. 行列

A=(−144−58103−3−5)A=\begin{pmatrix}-1&4&4\\-5&8&10\\3&-3&-5\end{pmatrix}

について、以下の問いに答えよ。

  1. A=PDP−1A=PDP^{-1} を満たす正則行列 PP と対角行列 DD を求めよ。
  2. eAe^A を計算せよ。

III. xx を実数とし、

A=(0−x0x00001),B=diag⁡(1,−1,1),a=(1,1,e)TA=\begin{pmatrix}0&-x&0\\x&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad B=\operatorname{diag}(1,-1,1),\qquad\boldsymbol a=(1,1,e)^T

とする。

  1. eAe^A の固有値の和を e,xe,x で表せ。
  2. C=BeAC=Be^A とする。非零実ベクトル y\boldsymbol y に対する yTCy/(yTy)\boldsymbol y^TC\boldsymbol y/(\boldsymbol y^T\boldsymbol y) の最大値と最小値を求めよ。
  3. f(z)=12zTCz−aTzf(\boldsymbol z)=\frac12\boldsymbol z^TC\boldsymbol z-\boldsymbol a^T\boldsymbol z とする。∂f/∂z1=∂f/∂z2=∂f/∂z3=0\partial f/\partial z_1=\partial f/\partial z_2=\partial f/\partial z_3=0 を満たす実ベクトル z\boldsymbol z に対し、z12+z22+z32\sqrt{z_1^2+z_2^2+z_3^2} を求めよ。

题目描述​

对方阵 AA，定义 eA=I+∑k=1∞Ak/k!e^A=I+\sum_{k=1}^{\infty}A^k/k!。

I. 设三阶矩阵 A=PDP−1A=PDP^{-1}，其中 PP 可逆且 D=diag⁡(λ1,λ2,λ3)D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)、λj∈C\lambda_j\in\mathbb C。证明

eA=Pdiag⁡(eλ1,eλ2,eλ3)P−1.e^A=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1},e^{\lambda_2},e^{\lambda_3})P^{-1}.

II. 设

A=(−144−58103−3−5).A=\begin{pmatrix}-1&4&4\\-5&8&10\\3&-3&-5\end{pmatrix}.
  1. 求 A=PDP−1A=PDP^{-1} 中的可逆矩阵 PP 和对角矩阵 DD。
  2. 计算 eAe^A。

III. 对实数 xx，设

A=(0−x0x00001),B=diag⁡(1,−1,1),a=(1,1,e)T.A=\begin{pmatrix}0&-x&0\\x&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad B=\operatorname{diag}(1,-1,1),\qquad\boldsymbol a=(1,1,e)^T.
  1. 用 e,xe,x 表示 eAe^A 的特征值之和。
  2. 令 C=BeAC=Be^A，求非零实向量 y\boldsymbol y 的商 yTCy/(yTy)\boldsymbol y^TC\boldsymbol y/(\boldsymbol y^T\boldsymbol y) 的最大值和最小值。
  3. 令 f(z)=12zTCz−aTzf(\boldsymbol z)=\frac12\boldsymbol z^TC\boldsymbol z-\boldsymbol a^T\boldsymbol z。对满足 ∂f/∂z1=∂f/∂z2=∂f/∂z3=0\partial f/\partial z_1=\partial f/\partial z_2=\partial f/\partial z_3=0 的实向量 z\boldsymbol z，求 z12+z22+z32\sqrt{z_1^2+z_2^2+z_3^2}。

Kai​

I​

Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1} と行列のべき級数の絶対収束性より、

eA=∑k=0∞PDkP−1k!=P(∑k=0∞Dkk!)P−1=Pdiag⁡(eλ1,eλ2,eλ3)P−1.e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{PD^kP^{-1}}{k!} =P\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{D^k}{k!}\right)P^{-1} =P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1},e^{\lambda_2},e^{\lambda_3})P^{-1}.

II​

det⁡(λI−A)=(λ−3)(λ−1)(λ+2).\det(\lambda I-A)=(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+2).

対応する固有ベクトルはそれぞれ (1,1,0)T,(2,0,1)T,(0,−1,1)T(1,1,0)^T,(2,0,1)^T,(0,-1,1)^T と取れる。したがって

P=(12010−1011),D=diag⁡(3,1,−2).\boxed{P=\begin{pmatrix}1&2&0\\1&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(3,1,-2)}.

I より、

eA=(−e3+2e2e3−2e2e3−2e−e3+e−22e3−e−22e3−2e−2e−e−2−e+e−2−e+2e−2).\boxed{e^A=\begin{pmatrix} -e^3+2e&2e^3-2e&2e^3-2e\\ -e^3+e^{-2}&2e^3-e^{-2}&2e^3-2e^{-2}\\ e-e^{-2}&-e+e^{-2}&-e+2e^{-2} \end{pmatrix}}.

III.1​

eA=(cos⁡x−sin⁡x0sin⁡xcos⁡x000e).e^A=\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x&0\\\sin x&\cos x&0\\0&0&e\end{pmatrix}.

固有値は eix,e−ix,ee^{ix},e^{-ix},e なので、その和は

e+2cos⁡x.\boxed{e+2\cos x}.

III.2​

C=(cos⁡x−sin⁡x0−sin⁡x−cos⁡x000e)C=\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x&0\\-\sin x&-\cos x&0\\0&0&e\end{pmatrix}

は実対称行列である。左上の2次ブロックの平方は単位行列で、固有値は 1,−11,-1 である。よって CC の固有値は −1,1,e-1,1,e であり、Rayleigh 商の極値は

max⁡=e,min⁡=−1.\boxed{\max=e,\qquad\min=-1}.

III.3​

対称性から ∇f=Cz−a\nabla f=C\boldsymbol z-\boldsymbol a なので、停留点は Cz=aC\boldsymbol z=\boldsymbol a を満たす。左上の2次ブロックは自身を逆行列として持つため、

z=(cos⁡x−sin⁡x,−sin⁡x−cos⁡x,1)T.\boldsymbol z=(\cos x-\sin x,-\sin x-\cos x,1)^T.

したがって

∥z∥=(cos⁡x−sin⁡x)2+(sin⁡x+cos⁡x)2+1=3.\boxed{\|\boldsymbol z\|=\sqrt{(\cos x-\sin x)^2+(\sin x+\cos x)^2+1}=\sqrt3}.
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