跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 2023年8月実施 物理学 第2問

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

以下の I、II に答えよ。

I​

真空中に、次の二つの電荷分布を別々に考える。電荷密度はどちらも一定の ρ>0\rho>0、真空の誘電率は ε0\varepsilon_0 とする。

  • 図 2.1：半径 aa の球の内部に電荷が一様に分布している。中心からの距離を rr とし、中心の電位を V=0V=0 とする。
  • 図 2.2：−a<x<a-a<x<a、−∞<y,z<∞-\infty<y,z<\infty の領域に電荷が一様に分布している。x=0x=0 の電位を V=0V=0 とする。

一様に帯電した球と無限平板領域

  1. 図 2.1 の電位 VV を rr の関数として求め、図示せよ。
  2. 図 2.2 の電位 VV を xx の関数として求め、図示せよ。

次に、質量 mm、電荷 −q (q>0)-q\ (q>0) の点電荷 P を初速度なしで置く。P の存在・運動によって、もとの電荷分布は変化しないものとする。

  1. 図 2.1 で、0<r<a0<r<a の点 r0r_0 に P を置いた後の運動方程式を求め、それを解いて運動を記述せよ。
  2. 図 2.2 で、−a<x<a-a<x<a の点 x0≠0x_0\ne0 に P を置いた後の運動方程式を求め、それを解いて運動を記述せよ。

II​

誘電率 ε1\varepsilon_1 の誘電体 1 が z≤0z\le0（領域 I）、誘電率 ε2\varepsilon_2 の誘電体 2 が z>0z>0（領域 II）を占め、両者は xyxy 平面で接している。電荷 qq の点電荷が P(0,0,a)(0,0,a)、a>0a>0 にある。真空の誘電率を ε0\varepsilon_0、無限遠の電位を零とする。

電気映像法を用いるため、図 2.4 では全空間を誘電体 1 で満たし P に電荷 q′q' を置く。図 2.5 では全空間を誘電体 2 で満たし、P の電荷 qq に加え、Q(0,0,−a)(0,0,-a) に電荷 q′′q'' を置く。

誘電体界面と二つの等価電荷配置

  1. 図 2.4 の点 (x,y,z)(x,y,z) における電位 ϕ1(x,y,z)\phi_1(x,y,z) を求めよ。
  2. 図 2.5 の点 (x,y,z)(x,y,z) における電位 ϕ2(x,y,z)\phi_2(x,y,z) を求めよ。
  3. 実際の領域 I、II の電位をそれぞれ ϕ1,ϕ2\phi_1,\phi_2 で表す。界面の境界条件を満たす q′,q′′q',q'' を ε1,ε2,q\varepsilon_1,\varepsilon_2,q で表せ。
  4. P の点電荷に働く力の大きさを求めよ。
  5. ε2<ε1\varepsilon_2<\varepsilon_1 のとき、その力の向きを答えよ。
  6. 境界面上の分極電荷面密度 σ(x,y)\sigma(x,y) を求めよ。
  7. 境界面上の総分極電荷量 Σ\Sigma を求めよ。

题目描述​

I. 在真空中分别考虑图 2.1 的均匀带电实心球与图 2.2 的均匀带电无限平板区域。两者的体电荷密度都是 ρ>0\rho>0，真空介电常数为 ε0\varepsilon_0。球的半径为 aa，以球心为电势零点，距球心距离记为 rr；平板区域为 −a<x<a-a<x<a、y,zy,z 任意，以 x=0x=0 为电势零点。

  1. 求球的电势 V(r)V(r) 并画图。
  2. 求平板区域的电势 V(x)V(x) 并画图。
  3. 将质量 mm、电荷 −q (q>0)-q\ (q>0) 的点电荷 P 在球内 0<r0<a0<r_0<a 处从静止释放。列出并求解运动方程，描述其运动。
  4. 将同样的点电荷在平板内 −a<x0<a-a<x_0<a、x0≠0x_0\ne0 处从静止释放。列出并求解运动方程，描述其运动。

P 的存在和运动均不改变原来的电荷分布。

II. 介电常数为 ε1\varepsilon_1 的介质 1 占据 z≤0z\le0（区域 I），介电常数为 ε2\varepsilon_2 的介质 2 占据 z>0z>0（区域 II），两者以 xyxy 平面为界。电荷 qq 放在 P(0,0,a)(0,0,a)、a>0a>0，无穷远电势为零，真空介电常数为 ε0\varepsilon_0。

图 2.4 以充满全空间的介质 1 和位于 P 的电荷 q′q' 构造等效问题；图 2.5 以充满全空间的介质 2、位于 P 的电荷 qq 与位于 Q(0,0,−a)(0,0,-a) 的电荷 q′′q'' 构造等效问题。

  1. 求图 2.4 中任意点的电势 ϕ1(x,y,z)\phi_1(x,y,z)。
  2. 求图 2.5 中任意点的电势 ϕ2(x,y,z)\phi_2(x,y,z)。
  3. 实际区域 I、II 的电势分别由 ϕ1,ϕ2\phi_1,\phi_2 表示。利用界面边界条件，求 q′,q′′q',q''。
  4. 求 P 处电荷所受力的大小。
  5. 若 ε2<ε1\varepsilon_2<\varepsilon_1，指出力的方向。
  6. 求界面上的总束缚电荷面密度 σ(x,y)\sigma(x,y)。
  7. 求界面上的束缚电荷总量 Σ\Sigma。

Kai​

I​

I.1​

ガウスの法則より、外向き電場は

Er(r)={ρr3ε0,0≤r≤a,ρa33ε0r2,r>a.E_r(r)=\begin{cases} \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0},&0\le r\le a,\\ \dfrac{\rho a^3}{3\varepsilon_0r^2},&r>a. \end{cases}

V(r)=−∫0rEr(s) dsV(r)=-\int_0^rE_r(s)\,ds から

V(r)={−ρr26ε0,0≤r≤a,ρa33ε0r−ρa22ε0,r>a.\boxed{V(r)=\begin{cases} -\dfrac{\rho r^2}{6\varepsilon_0},&0\le r\le a,\\ \dfrac{\rho a^3}{3\varepsilon_0r}-\dfrac{\rho a^2}{2\varepsilon_0},&r>a. \end{cases}}

V(0)=0V(0)=0 から単調減少し、V(a)=−ρa2/(6ε0)V(a)=-\rho a^2/(6\varepsilon_0) を経て、r→∞r\to\infty で −ρa2/(2ε0)-\rho a^2/(2\varepsilon_0) に近づく。

I.2​

平面対称性とガウスの法則から

Ex(x)={ρxε0,∣x∣≤a,ρaε0sgn⁡x,∣x∣>a.E_x(x)=\begin{cases} \dfrac{\rho x}{\varepsilon_0},&|x|\le a,\\ \dfrac{\rho a}{\varepsilon_0}\operatorname{sgn}x,&|x|>a. \end{cases}

したがって

V(x)={−ρx22ε0,∣x∣≤a,−ρaε0∣x∣+ρa22ε0,∣x∣>a.\boxed{V(x)=\begin{cases} -\dfrac{\rho x^2}{2\varepsilon_0},&|x|\le a,\\ -\dfrac{\rho a}{\varepsilon_0}|x|+\dfrac{\rho a^2}{2\varepsilon_0},&|x|>a. \end{cases}}

偶関数であり、内部は放物線、外部は接線につながる直線となる。

球と無限平板領域の電位のグラフ

I.3​

初期位置ベクトルを r0\boldsymbol r_0 とする。球内では

mr¨=−qρ3ε0r,r(t)=r0cos⁡(qρ3mε0 t).m\ddot{\boldsymbol r}=-\frac{q\rho}{3\varepsilon_0}\boldsymbol r, \qquad \boxed{\boldsymbol r(t)=\boldsymbol r_0\cos\left(\sqrt{\frac{q\rho}{3m\varepsilon_0}}\,t\right)}.

初期位置と球心を結ぶ直線上で、振幅 r0r_0、周期 2π3mε0/(qρ)2\pi\sqrt{3m\varepsilon_0/(q\rho)} の単振動をする。距離 r(t)r(t) はこのベクトルの絶対値である。

I.4​

mx¨=−qρε0x,x(t)=x0cos⁡(qρmε0 t).m\ddot x=-\frac{q\rho}{\varepsilon_0}x, \qquad \boxed{x(t)=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{q\rho}{m\varepsilon_0}}\,t\right)}.

y,zy,z は一定で、x=0x=0 を中心に振幅 ∣x0∣|x_0|、周期 2πmε0/(qρ)2\pi\sqrt{m\varepsilon_0/(q\rho)} の単振動をする。

II​

II.1・II.2​

RP=x2+y2+(z−a)2R_P=\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}、RQ=x2+y2+(z+a)2R_Q=\sqrt{x^2+y^2+(z+a)^2} と置くと、

ϕ1=q′4πε1RP,ϕ2=14πε2(qRP+q′′RQ).\boxed{\phi_1=\frac{q'}{4\pi\varepsilon_1R_P}}, \qquad \boxed{\phi_2=\frac1{4\pi\varepsilon_2}\left(\frac q{R_P}+\frac{q''}{R_Q}\right)}.

II.3​

自由表面電荷がないので、z=0z=0 で電位と DzD_z が連続する。よって

q′ε1=q+q′′ε2,q′=q−q′′.\frac{q'}{\varepsilon_1}=\frac{q+q''}{\varepsilon_2}, \qquad q'=q-q''.

これらを解いて

q′=2ε1qε1+ε2,q′′=ε2−ε1ε1+ε2q.\boxed{q'=\frac{2\varepsilon_1q}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}}, \qquad \boxed{q''=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q}.

II.4・II.5​

自己電場を除くと、P に働く力は映像電荷 q′′q'' から受ける力に等しい。

F=qq′′16πε2a2ez,∣F∣=q2∣ε2−ε1∣16πε2(ε1+ε2)a2.\boldsymbol F=\frac{qq''}{16\pi\varepsilon_2a^2}\boldsymbol e_z, \qquad \boxed{|\boldsymbol F|=\frac{q^2|\varepsilon_2-\varepsilon_1|} {16\pi\varepsilon_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)a^2}}.

ε2<ε1\varepsilon_2<\varepsilon_1 では −z 方向（界面へ向かう方向）\boxed{-z\text{ 方向（界面へ向かう方向）}} である。

II.6​

s=x2+y2+a2s=\sqrt{x^2+y^2+a^2} と置く。界面直下・直上では

E1z=−qa2π(ε1+ε2)s3,E2z=−ε1qa2πε2(ε1+ε2)s3.E_{1z}=-\frac{qa}{2\pi(\varepsilon_1+\varepsilon_2)s^3}, \qquad E_{2z}=-\frac{\varepsilon_1qa}{2\pi\varepsilon_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)s^3}.

各媒質の分極は Pi=(εi−ε0)Ei\boldsymbol P_i=(\varepsilon_i-\varepsilon_0)\boldsymbol E_i である。両側の表面分極電荷を足すと

σ=P1z−P2z=ε0(E2z−E1z).\sigma=P_{1z}-P_{2z}=\varepsilon_0(E_{2z}-E_{1z}).

したがって

σ(x,y)=ε0qa(ε2−ε1)2πε2(ε1+ε2)(x2+y2+a2)3/2.\boxed{\sigma(x,y)=\frac{\varepsilon_0qa(\varepsilon_2-\varepsilon_1)} {2\pi\varepsilon_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)(x^2+y^2+a^2)^{3/2}}}.

II.7​

界面内で極座標 s∥=x2+y2s_\parallel=\sqrt{x^2+y^2} を用いれば、

∫0∞2πs∥ ds∥(s∥2+a2)3/2=2πa.\int_0^\infty\frac{2\pi s_\parallel\,ds_\parallel}{(s_\parallel^2+a^2)^{3/2}}=\frac{2\pi}{a}.

ゆえに

Σ=∬σ dx dy=ε0(ε2−ε1)ε2(ε1+ε2)q.\boxed{\Sigma=\iint\sigma\,dx\,dy =\frac{\varepsilon_0(\varepsilon_2-\varepsilon_1)} {\varepsilon_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}q}.
本页目录