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東京大学 工学系研究科 2023年8月実施 数学 第6問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

充電器が一台ある電気自動車の充電ステーションを考える。到着した車両は到着順に並び、先頭車両だけが充電される。一定時間ごとに滞在車両数を観測する。

ある観測から次の観測までの間に、一台の車両が新たに到着する確率は pp、先頭車両の充電が完了する確率は qq とする。0<p,q<10<p,q<1 かつ p+q<1p+q<1 であり、p,qp,q は一定とする。この間に二台以上が到着することも、二台以上の充電が完了することもなく、到着と充電完了が同時に起こることもない。

充電中の車両を含めて N≥2N\ge2 台まで待機でき、満車時に新たに到着した車両は並ばずに立ち去る。充電が完了した車両は直ちに立ち去る。

I. 現在 0<i<N0<i<N 台の車両がいるとする。次の観測まで、新たな到着も車両の退出も起こらない確率を求めよ。

定常状態において ii 台が滞在する確率を πi\pi_i（0≤i≤N0\le i\le N）とする。

II. πi\pi_i と πi+1\pi_{i+1} の関係を求めよ（0≤i≤N−10\le i\le N-1）。

III. πi\pi_i を p,q,Np,q,N で表せ。

IV. p<qp<q のとき、定常状態の滞在車両数の期待値を p,q,Np,q,N で表せ。

题目描述​

一座电动汽车充电站只有一台充电器。车辆按到达顺序排队，只有队首车辆充电。每隔固定时间观察站内车辆数。

相邻两次观察间，一辆新车到达的概率为 pp，队首车辆完成充电的概率为 qq，其中 0<p,q<10<p,q<1、p+q<1p+q<1。每个观察间隔内不可能有两辆以上车到达或两辆以上车完成充电，且到达和充电完成不同时发生。车辆充电结束立即离开。

站内至多容纳 N≥2N\ge2 辆车（包含充电中的车）；满员时新到车辆直接离开。

I. 已知当前有 0<i<N0<i<N 辆车，求下一观察间隔内既没有新车到达、也没有车辆离开的概率。

设平稳状态下有 ii 辆车的概率为 πi\pi_i（0≤i≤N0\le i\le N）。

II. 求 πi\pi_i 与 πi+1\pi_{i+1} 的关系（0≤i≤N−10\le i\le N-1）。

III. 用 p,q,Np,q,N 表示 πi\pi_i。

IV. 当 p<qp<q 时，用 p,q,Np,q,N 表示平稳状态下站内车辆数的期望。

Kai​

I​

到着と退出は排反なので、求める確率は

1−p−q.\boxed{1-p-q}.

II​

定常状態では、状態集合 {0,…,i}\{0,\ldots,i\} からの流出確率と流入確率が等しい。境界を横切る遷移は i↔i+1i\leftrightarrow i+1 だけなので、

pπi=qπi+1.\boxed{p\pi_i=q\pi_{i+1}}.

III​

ρ=p/q\rho=p/q とおくと πi=ρiπ0\pi_i=\rho^i\pi_0 である。∑i=0Nπi=1\sum_{i=0}^N\pi_i=1 で正規化すると、

πi={(1−ρ)ρi1−ρN+1,p≠q,1N+1,p=q.\boxed{\pi_i=\begin{cases} \displaystyle\frac{(1-\rho)\rho^i}{1-\rho^{N+1}},&p\ne q,\\[5pt] \displaystyle\frac1{N+1},&p=q. \end{cases}}

IV​

有限等比級数の和を微分すると、

∑i=0Niρi=ρddρ1−ρN+11−ρ.\sum_{i=0}^Ni\rho^i=\rho\frac d{d\rho}\frac{1-\rho^{N+1}}{1-\rho}.

したがって

E[i]=ρ1−ρ−(N+1)ρN+11−ρN+1,ρ=pq<1.\boxed{\mathbb E[i]=\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N+1)\rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}},\qquad\rho=\frac pq<1}.

同値な形で書けば、

E[i]=ρ{1−(N+1)ρN+NρN+1}(1−ρ)(1−ρN+1).\mathbb E[i]=\frac{\rho\{1-(N+1)\rho^N+N\rho^{N+1}\}}{(1-\rho)(1-\rho^{N+1})}.
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