東京大学 工学系研究科 2023年8月実施 数学 第4問

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• Gaussian-Curvature

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I. 二次元直交座標系において、曲線 $L$ を

$$x(t)=a(t-\sin t),\qquad y(t)=a(1-\cos t),\qquad0\le t\le2\pi$$

で定義する。ただし $a>0$ は定数とする。

1. $L$ の長さを求めよ。
2. $L$ 上の任意の点の曲率を求めよ。ただし $t=0,2\pi$ は除く。

II. 実数の媒介変数 $u,v$ を用いて

$$x=\sinh u\cos v,\qquad y=2\sinh u\sin v,\qquad z=3\cosh u$$

と表される曲面を考える。

1. 媒介変数を含まない式で曲面を表せ。
2. $z=5$ における $xy$ 平面図と、$y=0$ における $xz$ 平面図の概形を描き、それぞれの軸との交点を示せ。
3. $z$ 成分が正となる単位法線ベクトル $\boldsymbol n$ を $u,v$ で表せ。
4. $u=v=0$ で与えられる点のガウス曲率を $\kappa$ とする。$|\kappa|$ を求めよ。

题目描述

I. 在 $xy$ 平面上，曲线 $L$ 为

$$x(t)=a(t-\sin t),\qquad y(t)=a(1-\cos t),\qquad0\le t\le2\pi,$$

其中 $a>0$。

1. 求 $L$ 的长度。
2. 求 $0<t<2\pi$ 时曲线上任意一点的曲率。

II. 曲面参数方程为

$$x=\sinh u\cos v,\qquad y=2\sinh u\sin v,\qquad z=3\cosh u,$$

其中 $u,v\in\mathbb R$。

1. 将曲面表示为不含参数的方程。
2. 分别画出 $z=5$ 处的 $xy$ 截面和 $y=0$ 处的 $xz$ 截面，标出与各坐标轴的交点。
3. 用 $u,v$ 表示 $z$ 分量为正的单位法向量 $\boldsymbol n$。
4. 设 $u=v=0$ 处的高斯曲率为 $\kappa$，求 $|\kappa|$。

Kai

I

$$x'=a(1-\cos t),\qquad y'=a\sin t,\qquad \sqrt{x'^2+y'^2}=2a\sin(t/2).$$

したがって

$$\boxed{\operatorname{Length}(L)=\int_0^{2\pi}2a\sin(t/2)\,dt=8a}.$$

また $|x'y''-y'x''|=a^2(1-\cos t)$ より、

$$\boxed{\kappa(t)=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}=\frac1{4a\sin(t/2)}}\quad(0<t<2\pi).$$

II.1、II.2

$\cosh^2u-\sinh^2u=1$ より、曲面は

$$\boxed{\frac{z^2}{9}-x^2-\frac{y^2}{4}=1,\qquad z\ge3}.$$

$z=5$ における断面は楕円

$$x^2+\frac{y^2}{4}=\frac{16}{9},$$

であり、両軸との交点は $(\pm4/3,0)$、$(0,\pm8/3)$ である。$y=0$ の断面は

$$z=3\sqrt{1+x^2},$$

であり、$z$ 軸とは $(0,3)$ で交わり、$x$ 軸とは交わらない。

II.3

$F=z^2/9-x^2-y^2/4-1$ とおくと、$\nabla F=(-2x,-y/2,2z/9)$ の第3成分は正である。媒介変数を代入して正規化すると、

$$\boxed{\boldsymbol n= \frac{(-2\sinh u\cos v,-\sinh u\sin v,\frac23\cosh u)} {\sqrt{4\sinh^2u\cos^2v+\sinh^2u\sin^2v+\frac49\cosh^2u}}}.$$

II.4

$(0,0,3)$ の近くで $z=h(x,y)=3\sqrt{1+x^2+y^2/4}$ と表す。この点では

$$h_x=h_y=h_{xy}=0,\qquad h_{xx}=3,\quad h_{yy}=\frac34.$$

よって

$$\boxed{|\kappa|=\left|\frac{h_{xx}h_{yy}-h_{xy}^2}{(1+h_x^2+h_y^2)^2}\right|=\frac94}.$$