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東京大学 工学系研究科 2023年8月実施 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

zz は複素数、zˉ\bar z はその複素共役、arg⁡z\arg z は偏角、ii は虚数単位とする。

I. 不等式

zzˉ+2(z+zˉ)+3i(z−zˉ)+2≤0z\bar z+\sqrt2(z+\bar z)+3i(z-\bar z)+2\le0

を満たす領域を複素平面上に図示せよ。

II. 複素数値関数

f(z)=z2−2(z2+2i)z2f(z)=\frac{z^2-2}{(z^2+2i)z^2}

について、以下の問いに答えよ。

  1. すべての極と、その位数および留数を求めよ。
  2. CC は円 ∣z+1∣=2|z+1|=2 を反時計回りに一周する積分路とする。留数定理を用いて I1=∮Cf(z) dzI_1=\oint_Cf(z)\,dz を求めよ。

III.

  1. 複素数値関数 g(z)g(z) が 0≤arg⁡z≤π0\le\arg z\le\pi において lim⁡∣z∣→∞g(z)=0\lim_{|z|\to\infty}g(z)=0 を満たすとする。CRC_R を上半平面内の原点中心、半径 RR の半円弧とする。正の実数 aa に対して
lim⁡R→∞∫CReiazg(z) dz=0\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}e^{iaz}g(z)\,dz=0

を示せ。 2. I2=∫0∞(sin⁡x)/x dxI_2=\int_0^{\infty}(\sin x)/x\,dx を求めよ。

题目描述​

以下 zz 为复数，zˉ\bar z 为其共轭，arg⁡z\arg z 为辐角，ii 为虚数单位。

I. 在复平面上画出满足

zzˉ+2(z+zˉ)+3i(z−zˉ)+2≤0z\bar z+\sqrt2(z+\bar z)+3i(z-\bar z)+2\le0

的区域。

II. 对

f(z)=z2−2(z2+2i)z2,f(z)=\frac{z^2-2}{(z^2+2i)z^2},

完成下列各问。

  1. 求全部极点的阶数及留数。
  2. 设 CC 为圆 ∣z+1∣=2|z+1|=2 的逆时针闭合曲线，利用留数定理求 I1=∮Cf(z) dzI_1=\oint_Cf(z)\,dz。

III.

  1. 设复值函数 gg 在 0≤arg⁡z≤π0\le\arg z\le\pi 内满足 lim⁡∣z∣→∞g(z)=0\lim_{|z|\to\infty}g(z)=0。若 CRC_R 为以原点为中心、半径 RR 的上半圆弧，证明对 a>0a>0 有
lim⁡R→∞∫CReiazg(z) dz=0.\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}e^{iaz}g(z)\,dz=0.
  1. 求 I2=∫0∞(sin⁡x)/x dxI_2=\int_0^{\infty}(\sin x)/x\,dx。

Kai​

I​

z=x+iyz=x+iy とおいて平方完成すると、

(x+2)2+(y−3)2≤9.\boxed{(x+\sqrt2)^2+(y-3)^2\le9}.

これは中心 −2+3i-\sqrt2+3i、半径 33 の閉円板である。

実線の境界を含む閉円板

II​

極は 00（2位）と ±(1−i)\pm(1-i)（1位）である。z2f(z)z^2f(z) は偶関数なので、

Res⁡(f,0)=[ddzz2−2z2+2i]z=0=0.\operatorname{Res}(f,0)=\left[\frac d{dz}\frac{z^2-2}{z^2+2i}\right]_{z=0}=0.

α=±(1−i)\alpha=\pm(1-i) に対し、

Res⁡(f,α)=α2−22α3=1−i2α.\operatorname{Res}(f,\alpha)=\frac{\alpha^2-2}{2\alpha^3}=\frac{1-i}{2\alpha}.

したがって

Res⁡(f,1−i)=12,Res⁡(f,−1+i)=−12.\boxed{\operatorname{Res}(f,1-i)=\frac12,\qquad\operatorname{Res}(f,-1+i)=-\frac12}.

円 ∣z+1∣=2|z+1|=2 の内部には 0,−1+i0,-1+i があり、1−i1-i は外部にある。よって

I1=2πi(0−12)=−πi.\boxed{I_1=2\pi i\left(0-\frac12\right)=-\pi i}.

III.1​

MR=sup⁡z∈CR∣g(z)∣M_R=\sup_{z\in C_R}|g(z)| とおくと、仮定より MR→0M_R\to0 である。z=Reiθz=Re^{i\theta} とおき、0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2 で sin⁡θ≥2θ/π\sin\theta\ge2\theta/\pi を用いると、

∣∫CReiazg(z) dz∣≤RMR∫0πe−aRsin⁡θ dθ≤2RMR∫0π/2e−2aRθ/π dθ≤πMRa⟶0.\begin{aligned} \left|\int_{C_R}e^{iaz}g(z)\,dz\right| &\le RM_R\int_0^\pi e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\\ &\le2RM_R\int_0^{\pi/2}e^{-2aR\theta/\pi}\,d\theta \le\frac{\pi M_R}{a}\longrightarrow0. \end{aligned}

III.2​

eiz/ze^{iz}/z に対し、上半平面に閉じた積分路を取り、原点を半径 ε\varepsilon の時計回りの小半円で避ける。内部に極はない。大半円上の積分は III.1 により零に収束し、小半円上では

∫π0ieiεeiθ dθ⟶−iπ.\int_{\pi}^{0}i e^{i\varepsilon e^{i\theta}}\,d\theta\longrightarrow-i\pi.

したがって実軸上の二つの積分の和は iπi\pi に収束する。虚部を取り、sin⁡x/x\sin x/x の偶性を用いると、

I2=π2.\boxed{I_2=\frac\pi2}.
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