東京大学 工学系研究科 2023年8月実施 数学 第2問

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• Inner-Product-and-Orthogonality
• Matrix-Power

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

実対称行列

$$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&2\\2&2&3\end{pmatrix}$$

について、以下の問いに答えよ。

I. 異なるすべての固有値 $\lambda_1<\cdots<\lambda_r$ を求めよ。

II. 各固有空間 $W(\lambda_i)$ を求めよ。

III. 正規直交基底 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\boldsymbol b_3$ を求めよ。ただし各ベクトルは II のいずれかの固有空間に属するものとする。

IV. スペクトル分解 $A=\sum_{i=1}^r\lambda_iP_i$ を求めよ。ただし $P_i$ は $W(\lambda_i)$ への射影行列とする。

V. 正整数 $n$ に対し $A^n$ を求めよ。

题目描述

给定实对称矩阵

$$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&2\\2&2&3\end{pmatrix}.$$

I. 求全部不同的特征值 $\lambda_1<\cdots<\lambda_r$。

II. 求各特征空间 $W(\lambda_i)$。

III. 求一组标准正交基 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\boldsymbol b_3$，各向量均属于 II 中某个特征空间。

IV. 求谱分解 $A=\sum_{i=1}^r\lambda_iP_i$，其中 $P_i$ 为向 $W(\lambda_i)$ 的投影矩阵。

V. 对正整数 $n$，求 $A^n$。

Kai

I、II

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda+1)^2(\lambda-5),$$

よって

$$\boxed{\lambda_1=-1,\qquad\lambda_2=5}.$$

同次方程式を解くと、

$$\boxed{W(-1)=\{(x,y,z)^T:x+y+2z=0\},\qquad W(5)=\operatorname{span}\{(1,1,2)^T\}}.$$

III

例えば次のように取れる。

$$\boxed{\boldsymbol b_1=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T,\quad \boldsymbol b_2=\frac1{\sqrt3}(1,1,-1)^T,\quad \boldsymbol b_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,2)^T}.$$

最初の二つは $W(-1)$、最後は $W(5)$ に属し、互いに直交してノルムはすべて $1$ である。

IV、V

$$P_2=\boldsymbol b_3\boldsymbol b_3^T=\frac16\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&2\\2&2&4\end{pmatrix},\qquad P_1=I-P_2=\frac16\begin{pmatrix}5&-1&-2\\-1&5&-2\\-2&-2&2\end{pmatrix}.$$

よって

$$\boxed{A=-P_1+5P_2}.$$

$P_i^2=P_i$、$P_1P_2=P_2P_1=0$ より、

$$\boxed{A^n=\frac{(-1)^n}{6}\begin{pmatrix}5&-1&-2\\-1&5&-2\\-2&-2&2\end{pmatrix} +\frac{5^n}{6}\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&2\\2&2&4\end{pmatrix}}.$$