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東京大学 工学系研究科 2022年8月実施 物理学2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I. 真空中の半径 aa、長さ無限の円柱領域に、一様な体積電荷密度 ρ>0\rho>0 で電荷が分布している。真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 とする。

  1. 中心軸から距離 rr の電場ベクトル E(r)\boldsymbol E(r) の大きさと向きを、円柱の内外それぞれについて求めよ。
  2. この円柱を、内半径 2a2a、外半径 3a3a の無限長の金属円筒で同心に囲む。金属円筒は全体として中性で、円柱内部の電荷分布に影響しないものとする。金属円筒の内面に誘起される面電荷密度 σ\sigma を求めよ。
  3. 2 の場合、中心軸から 5a5a の位置での電場の大きさを求めよ。
  4. 金属円筒がない場合とある場合の、中心軸から 5a5a での電位をそれぞれ V1,V2V_1,V_2 とする。中心軸の電位を零とし、ΔV=V1−V2\Delta V=V_1-V_2 を求めよ。

II. 真空（ε0,μ0\varepsilon_0,\mu_0）を速さ c0c_0 で +z+z 方向へ進む平面電磁波が、誘電率 4ε04\varepsilon_0、透磁率 μ0\mu_0 の一様な絶縁体に垂直入射する。境界面は z=0z=0、媒質は z≥0z\ge0 を占める。入射波の波数ベクトルを k0=k0ez\boldsymbol k_0=k_0\boldsymbol e_z、電場を

E0=(E0′cos⁡[k0(z−c0t)],0,0)\boldsymbol E_0=(E'_0\cos[k_0(z-c_0t)],0,0)

とし、E0′E'_0 は実定数とする。

  1. Maxwell 方程式を用い、磁場が H0=(0,E0′cos⁡[k0(z−c0t)]/(μ0c0),0)\boldsymbol H_0=(0,E'_0\cos[k_0(z-c_0t)]/(\mu_0c_0),0) であることを示せ。
  2. Maxwell 方程式から c0=1/ε0μ0c_0=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} を示せ。

透過波の電場、磁場、波数ベクトル、速さを ET,HT,kT,cT\boldsymbol E_T,\boldsymbol H_T,\boldsymbol k_T,c_T、反射波を ER,HR,kR,cR\boldsymbol E_R,\boldsymbol H_R,\boldsymbol k_R,c_R とする。kR=−k0\boldsymbol k_R=-\boldsymbol k_0、cR=c0c_R=c_0、cT=c0/2c_T=c_0/2 である。境界面で E,H\boldsymbol E,\boldsymbol H の接線成分がそれぞれ連続であることを用いて、次に答えよ。

  1. kT\boldsymbol k_T を k0\boldsymbol k_0 で表せ。
  2. ET,ER,HT,HR\boldsymbol E_T,\boldsymbol E_R,\boldsymbol H_T,\boldsymbol H_R を求めよ。
  3. 各波の Poynting ベクトル S=E×H\boldsymbol S=\boldsymbol E\times\boldsymbol H、すなわち S0,ST,SR\boldsymbol S_0,\boldsymbol S_T,\boldsymbol S_R を求めよ。
  4. 透過率 T=∣ST∣ave/∣S0∣aveT=|\boldsymbol S_T|_{\rm ave}/|\boldsymbol S_0|_{\rm ave}、反射率 R=∣SR∣ave/∣S0∣aveR=|\boldsymbol S_R|_{\rm ave}/|\boldsymbol S_0|_{\rm ave} を求めよ。添字 ave は時間平均を表す。 帯電円柱と金属円筒、および電磁波の垂直入射

题目描述​

I. 真空中半径为 aa、无限长的圆柱区域内，均匀分布体电荷密度 ρ>0\rho>0，真空介电常数为 ε0\varepsilon_0。

  1. 求距中心轴 rr 处的电场大小和方向，区分柱内、柱外。
  2. 在外面同轴套上内半径 2a2a、外半径 3a3a 的无限长金属圆筒。金属整体中性，不影响原圆柱电荷分布。求金属内表面的感应面电荷密度 σ\sigma。
  3. 在 2 的条件下求 r=5ar=5a 处电场大小。
  4. 以轴上电势为零，无金属圆筒和有金属圆筒时 r=5ar=5a 处电势分别为 V1,V2V_1,V_2。求 ΔV=V1−V2\Delta V=V_1-V_2。

II. 真空中沿 +z+z 以速度 c0c_0 传播的平面波，垂直入射到介电常数 4ε04\varepsilon_0、磁导率 μ0\mu_0 的均匀绝缘介质。界面为 z=0z=0，介质占据 z≥0z\ge0。入射波矢为 k0=k0ez\boldsymbol k_0=k_0\boldsymbol e_z，电场为 E0=(E0′cos⁡[k0(z−c0t)],0,0)\boldsymbol E_0=(E'_0\cos[k_0(z-c_0t)],0,0)，其中 E0′E'_0 是实常数。

  1. 用 Maxwell 方程证明 H0=(0,E0′cos⁡[k0(z−c0t)]/(μ0c0),0)\boldsymbol H_0=(0,E'_0\cos[k_0(z-c_0t)]/(\mu_0c_0),0)。
  2. 证明 c0=1/ε0μ0c_0=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}。

透射波的电场、磁场、波矢、速度分别记为 ET,HT,kT,cT\boldsymbol E_T,\boldsymbol H_T,\boldsymbol k_T,c_T，反射波相应记为下标 R。已知 kR=−k0\boldsymbol k_R=-\boldsymbol k_0、cR=c0c_R=c_0、cT=c0/2c_T=c_0/2。利用界面处电场和磁场的切向分量连续：

  1. 用 k0\boldsymbol k_0 表示 kT\boldsymbol k_T。
  2. 求透射与反射波的全部电场、磁场矢量。
  3. 求三种波的 Poynting 矢量 S=E×H\boldsymbol S=\boldsymbol E\times\boldsymbol H。
  4. 求透射率 T=⟨∣ST∣⟩/⟨∣S0∣⟩T=\langle|\boldsymbol S_T|\rangle/\langle|\boldsymbol S_0|\rangle 与反射率 R=⟨∣SR∣⟩/⟨∣S0∣⟩R=\langle|\boldsymbol S_R|\rangle/\langle|\boldsymbol S_0|\rangle，尖括号表示时间平均。

Kai​

I.​

  1. 長さ ℓ\ell、半径 rr の円筒面に Gauss の法則を用いると
2πrℓE(r)=ρπℓε0min⁡(r2,a2).2\pi r\ell E(r)=\frac{\rho\pi\ell}{\varepsilon_0}\min(r^2,a^2).

したがって電場は径方向外向きで

E(r)={ρr2ε0er,0≤r≤a,ρa22ε0rer,r>a.\boxed{\boldsymbol E(r)=\begin{cases} \dfrac{\rho r}{2\varepsilon_0}\boldsymbol e_r,&0\le r\le a,\\ \dfrac{\rho a^2}{2\varepsilon_0r}\boldsymbol e_r,&r>a. \end{cases}}
  1. 金属内部の電場が零となる条件から、単位長さあたりの包有電荷は ρπa2+4πaσ=0\rho\pi a^2+4\pi a\sigma=0。よって
σ=−ρa4.\boxed{\sigma=-\frac{\rho a}{4}}.
  1. 金属の全電荷は零なので外部での電場は変わらず
E(5a)=ρa10ε0.\boxed{E(5a)=\frac{\rho a}{10\varepsilon_0}}.
  1. 金属の有無による電場の差は 2a<r<3a2a<r<3a の区間だけである。よって
V1−V2=−∫2a3aρa22ε0r dr=−ρa22ε0log⁡32.\boxed{V_1-V_2=-\int_{2a}^{3a}\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0r}\,dr =-\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\log\frac32}.

II.1–2​

Faraday の法則の yy 成分は ∂zE0x=−μ0∂tH0y\partial_zE_{0x}=-\mu_0\partial_tH_{0y}。これを積分して、入射波と同じ位相の振動磁場は

H0=E0′μ0c0cos⁡[k0(z−c0t)]ey.\boxed{\boldsymbol H_0=\frac{E'_0}{\mu_0c_0}\cos[k_0(z-c_0t)]\boldsymbol e_y}.

Ampère–Maxwell の法則の xx 成分 −∂zH0y=ε0∂tE0x-\partial_zH_{0y}=\varepsilon_0\partial_tE_{0x} に代入すると、1/(μ0c0)=ε0c01/(\mu_0c_0)=\varepsilon_0c_0。したがって

c0=1ε0μ0.\boxed{c_0=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}}.

II.3–4​

境界条件が全時刻で成立するため、三つの波の角振動数は等しい。kTcT=k0c0k_Tc_T=k_0c_0 より

kT=2k0.\boxed{\boldsymbol k_T=2\boldsymbol k_0}.

Z0=μ0c0Z_0=\mu_0c_0、ZT=Z0/2Z_T=Z_0/2 とし、電場の符号付き振幅を ER′,ET′E'_R,E'_T とする。接線成分の連続条件は

E0′+ER′=ET′,E0′−ER′Z0=ET′ZT.E'_0+E'_R=E'_T,\qquad \frac{E'_0-E'_R}{Z_0}=\frac{E'_T}{Z_T}.

よって ER′=−E0′/3,ET′=2E0′/3E'_R=-E'_0/3,E'_T=2E'_0/3。位相を

ϕ0=k0z−k0c0t,ϕT=2k0z−k0c0t,ϕR=k0z+k0c0t\phi_0=k_0z-k_0c_0t,\quad \phi_T=2k_0z-k_0c_0t,\quad \phi_R=k_0z+k_0c_0t

とおくと

ET=2E0′3cos⁡ϕT ex,HT=4E0′3Z0cos⁡ϕT ey,ER=−E0′3cos⁡ϕR ex,HR=E0′3Z0cos⁡ϕR ey.\boxed{\begin{aligned} \boldsymbol E_T&=\frac{2E'_0}{3}\cos\phi_T\,\boldsymbol e_x,& \boldsymbol H_T&=\frac{4E'_0}{3Z_0}\cos\phi_T\,\boldsymbol e_y,\\ \boldsymbol E_R&=-\frac{E'_0}{3}\cos\phi_R\,\boldsymbol e_x,& \boldsymbol H_R&=\frac{E'_0}{3Z_0}\cos\phi_R\,\boldsymbol e_y. \end{aligned}}

II.5–6​

外積をとれば

S0=(E0′)2Z0cos⁡2ϕ0 ez,ST=8(E0′)29Z0cos⁡2ϕT ez,SR=−(E0′)29Z0cos⁡2ϕR ez.\boxed{\begin{aligned} \boldsymbol S_0&=\frac{(E'_0)^2}{Z_0}\cos^2\phi_0\,\boldsymbol e_z,\\ \boldsymbol S_T&=\frac{8(E'_0)^2}{9Z_0}\cos^2\phi_T\,\boldsymbol e_z,\\ \boldsymbol S_R&=-\frac{(E'_0)^2}{9Z_0}\cos^2\phi_R\,\boldsymbol e_z. \end{aligned}}

⟨cos⁡2ϕ⟩=1/2\langle\cos^2\phi\rangle=1/2 より

T=89,R=19,T+R=1.\boxed{T=\frac89,\qquad R=\frac19},\qquad T+R=1.
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