東京大学 工学系研究科 2022年8月実施 物理学1 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 質量と太さを無視できる長さ l l l m m m x x x y y y x y xy x y y y y θ \theta θ t t t θ ˙ = d θ / d t \dot\theta=d\theta/dt θ ˙ = d θ / d t θ ¨ = d 2 θ / d t 2 \ddot\theta=d^2\theta/dt^2 θ ¨ = d 2 θ / d t 2 g g g
I. 蝶番を原点 O に固定する。
おもりの x , y x,y x , y θ \theta θ
∣ θ ∣ ≪ 1 |\theta|\ll1 ∣ θ ∣ ≪ 1 sin θ ≃ θ \sin\theta\simeq\theta sin θ ≃ θ cos θ ≃ 1 \cos\theta\simeq1 cos θ ≃ 1 ( x , y ) = ( 0 , l ) (x,y)=(0,l) ( x , y ) = ( 0 , l ) t = 0 t=0 t = 0 + x +x + x u 1 u_1 u 1 t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
II. 蝶番を水平方向にのみ伸縮するばねの先端に固定する。ばね定数を k k k x x x δ \delta δ δ = 0 \delta=0 δ = 0 θ , l / g θ ˙ , ( l / g ) θ ¨ \theta,\sqrt{l/g}\dot\theta,(l/g)\ddot\theta θ , l / g θ ˙ , ( l / g ) θ ¨
おもりの y y y
蝶番に働く x x x δ \delta δ θ \theta θ
この関係を用い、おもりの x x x θ \theta θ
蝶番が O、おもりが ( 0 , l ) (0,l) ( 0 , l ) t = 0 t=0 t = 0 + x +x + x u 2 u_2 u 2 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
III. t = 0 t=0 t = 0 ξ = A sin ω t \xi=A\sin\omega t ξ = A sin ω t A , ω A,\omega A , ω ω ≠ g / l \omega\ne\sqrt{g/l} ω = g / l t < 0 t<0 t < 0 ( 0 , l ) (0,l) ( 0 , l ) t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
题目描述
质量及粗细可忽略、长为 l l l m m m x x x y y y x y xy x y y y y θ \theta θ θ ˙ , θ ¨ \dot\theta,\ddot\theta θ ˙ , θ ¨ g g g
I. 铰链固定于原点 O。
从质点在 x , y x,y x , y θ \theta θ
采用 ∣ θ ∣ ≪ 1 |\theta|\ll1 ∣ θ ∣ ≪ 1 sin θ ≃ θ \sin\theta\simeq\theta sin θ ≃ θ cos θ ≃ 1 \cos\theta\simeq1 cos θ ≃ 1 ( 0 , l ) (0,l) ( 0 , l ) t = 0 t=0 t = 0 + x +x + x u 1 u_1 u 1 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
II. 铰链连接在只能水平伸缩的弹簧末端，弹簧劲度系数为 k k k δ \delta δ δ = 0 \delta=0 δ = 0 θ , l / g θ ˙ , ( l / g ) θ ¨ \theta,\sqrt{l/g}\dot\theta,(l/g)\ddot\theta θ , l / g θ ˙ , ( l / g ) θ ¨
从竖直运动方程求杆的张力。
从无质量铰链的水平力平衡求 δ , θ \delta,\theta δ , θ
据此从质点的水平运动方程推导 θ \theta θ
铰链在 O、质点在 ( 0 , l ) (0,l) ( 0 , l ) t = 0 t=0 t = 0 + x +x + x u 2 u_2 u 2 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
III. 从 t = 0 t=0 t = 0 ξ = A sin ω t \xi=A\sin\omega t ξ = A sin ω t A , ω A,\omega A , ω ω ≠ g / l \omega\ne\sqrt{g/l} ω = g / l ( 0 , l ) (0,l) ( 0 , l ) t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 θ ( t ) \theta(t) θ ( t )
Kai
棒の張力を T T T x = l sin θ , y = l cos θ x=l\sin\theta,y=l\cos\theta x = l sin θ , y = l cos θ
m l ( θ ¨ cos θ − θ ˙ 2 sin θ ) = − T sin θ , − m l ( θ ¨ sin θ + θ ˙ 2 cos θ ) = m g − T cos θ . \begin{aligned}
ml(\ddot\theta\cos\theta-\dot\theta^2\sin\theta)&=-T\sin\theta,\\
-ml(\ddot\theta\sin\theta+\dot\theta^2\cos\theta)&=mg-T\cos\theta.
\end{aligned} m l ( θ ¨ cos θ − θ ˙ 2 sin θ ) − m l ( θ ¨ sin θ + θ ˙ 2 cos θ ) = − T sin θ , = m g − T cos θ . 第一式に cos θ \cos\theta cos θ − sin θ -\sin\theta − sin θ
θ ¨ + g l sin θ = 0 . \boxed{\ddot\theta+\frac gl\sin\theta=0}. θ ¨ + l g sin θ = 0 .
ω 0 = g / l \omega_0=\sqrt{g/l} ω 0 = g / l θ ¨ + ω 0 2 θ = 0 \ddot\theta+\omega_0^2\theta=0 θ ¨ + ω 0 2 θ = 0 θ ( 0 ) = 0 , θ ˙ ( 0 ) = u 1 / l \theta(0)=0,\dot\theta(0)=u_1/l θ ( 0 ) = 0 , θ ˙ ( 0 ) = u 1 / l
θ ( t ) = u 1 l ω 0 sin ω 0 t . \boxed{\theta(t)=\frac{u_1}{l\omega_0}\sin\omega_0t}. θ ( t ) = l ω 0 u 1 sin ω 0 t . II.
y = l cos θ y=l\cos\theta y = l cos θ 0 = m g − T 0=mg-T 0 = m g − T T = m g \boxed{T=mg} T = m g 質量のない蝶番の力のつり合いより − k δ + T sin θ = 0 -k\delta+T\sin\theta=0 − k δ + T sin θ = 0
δ = m g k θ . \boxed{\delta=\frac{mg}{k}\theta}. δ = k m g θ .
x ≃ δ + l θ x\simeq\delta+l\theta x ≃ δ + lθ m x ¨ = − m g θ m\ddot x=-mg\theta m x ¨ = − m g θ
( l + m g k ) θ ¨ + g θ = 0 . \boxed{\left(l+\frac{mg}{k}\right)\ddot\theta+g\theta=0}. ( l + k m g ) θ ¨ + g θ = 0 .
ℓ e f f = l + m g / k \ell_{\rm eff}=l+mg/k ℓ eff = l + m g / k Ω = g / ℓ e f f \Omega=\sqrt{g/\ell_{\rm eff}} Ω = g / ℓ eff u 2 = x ˙ ( 0 ) = ℓ e f f θ ˙ ( 0 ) u_2=\dot x(0)=\ell_{\rm eff}\dot\theta(0) u 2 = x ˙ ( 0 ) = ℓ eff θ ˙ ( 0 )
θ ( t ) = u 2 ℓ e f f Ω sin Ω t = u 2 k g ( k l + m g ) sin ( g k k l + m g t ) . \boxed{\theta(t)=\frac{u_2}{\ell_{\rm eff}\Omega}\sin\Omega t
=\frac{u_2\sqrt{k}}{\sqrt{g(kl+mg)}}\sin\left(\sqrt{\frac{gk}{kl+mg}}\,t\right)}. θ ( t ) = ℓ eff Ω u 2 sin Ω t = g ( k l + m g ) u 2 k sin ( k l + m g g k t ) . III.
x ≃ ξ + l θ x\simeq\xi+l\theta x ≃ ξ + lθ
θ ¨ + ω 0 2 θ = − ξ ¨ l = A ω 2 l sin ω t ( t > 0 ) . \ddot\theta+\omega_0^2\theta=-\frac{\ddot\xi}{l}
=\frac{A\omega^2}{l}\sin\omega t\qquad(t>0). θ ¨ + ω 0 2 θ = − l ξ ¨ = l A ω 2 sin ω t ( t > 0 ) . 駆動開始直後、鉛直な棒はおもりに水平の力積を与えないため x ˙ ( 0 + ) = 0 \dot x(0+)=0 x ˙ ( 0 + ) = 0
θ ( 0 ) = 0 , θ ˙ ( 0 + ) = − ξ ˙ ( 0 + ) l = − A ω l . \theta(0)=0,\qquad
\dot\theta(0+)=-\frac{\dot\xi(0+)}l=-\frac{A\omega}{l}. θ ( 0 ) = 0 , θ ˙ ( 0 + ) = − l ξ ˙ ( 0 + ) = − l A ω . 一般解にこれらを代入すると
θ ( t ) = A ω l ( ω 0 2 − ω 2 ) ( ω sin ω t − ω 0 sin ω 0 t ) . \boxed{\theta(t)=\frac{A\omega}{l(\omega_0^2-\omega^2)}
\left(\omega\sin\omega t-\omega_0\sin\omega_0t\right)}. θ ( t ) = l ( ω 0 2 − ω 2 ) A ω ( ω sin ω t − ω 0 sin ω 0 t ) . 