東京大学 工学系研究科 2022年8月実施 数学 第4問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

三次元直交座標系において、領域 $V$ を

$$x^2+y^2-z^2\ge0,\qquad x^2+y^2+2x\le0$$

で定義する。

I. $V$ の $z=1$ における断面形状を図示せよ。

II. $V$ の表面積を求めよ。

题目描述

在三维直角坐标系中，区域 $V$ 由

$$x^2+y^2-z^2\ge0,\qquad x^2+y^2+2x\le0$$

定义。

I. 画出 $V$ 在 $z=1$ 平面上的截面。

II. 求 $V$ 的表面积。

Kai

I

$z=1$ を代入すると、断面は

$$\boxed{x^2+y^2\ge1,\qquad(x+1)^2+y^2\le1}.$$

すなわち、円 $(x+1)^2+y^2=1$ の内部かつ単位円の外部にある三日月形の領域であり、境界も含む。二円の交点は $(-1/2,\pm\sqrt3/2)$ である。

II

$D=\{(x,y):(x+1)^2+y^2\le1\}$ とおくと、領域は

$$(x,y)\in D,\qquad-\sqrt{x^2+y^2}\le z\le\sqrt{x^2+y^2}.$$

と表せる。上下の円錐面 $z=\pm\sqrt{x^2+y^2}$ の面積要素はともに $\sqrt2\,dx\,dy$ なので、その面積の和は

$$S_1=2\sqrt2\,\operatorname{Area}(D)=2\sqrt2\pi.$$

円柱の側面を $x=-1+\cos\phi,y=\sin\phi$（$0\le\phi\le2\pi$）と表すと、円周の弧長要素は $d\phi$、上下の高さの差は $4\sin(\phi/2)$ である。したがって

$$S_2=\int_0^{2\pi}4\sin\frac\phi2\,d\phi=16.$$

よって表面積は

$$\boxed{S=16+2\sqrt2\pi}.$$