東京大学 工学系研究科 2022年8月実施 数学 第2問

Author

Miyake

Description

2023年度大学院入学試験問題 数学

Kai

I.

のとき

であり、 の固有値を とすると、

である。よって、

である（固有値の並べ方の不定性はある）。

II.

は実対称行列なので、実直交行列 があって、

が成り立つ。そこで、非零三次元実ベクトル に対して

とおくと、 は実数であり、

なので の少なくとも1つは ではなく、したがって、

が言える。

III.

の固有値を とすると、

である。求める条件は、これらがすべて正であることであり、

である。

IV.

とすると、

である。よって、 が最小になるのは、 が

のときであり、したがって、 の最小値は

である。