東京大学 工学系研究科 2022年8月実施 数学 第2問

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• Positive-Definite-Matrix
• Quadratic-Form

Author

Miyake

Description

題意の要約

公式問題 PDF・5ページ

実数 $a$ に対し

$$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&a\\0&a&2\end{pmatrix}$$

とする。対角行列 $D$ と正則行列 $P$ による $A=PDP^{-1}$ を考える。

I. $a=1$ の場合の $D$ を求める。

II. $a=1$ のとき、任意の非零実ベクトル $\boldsymbol x\in\mathbb R^3$ に対して $\boldsymbol x^TA\boldsymbol x>0$ を示す。

III. この不等式が任意の非零実ベクトルに対して成り立つための $a$ の条件を求める。

IV. III の条件のもとで、$\boldsymbol b=(a,0,-1)^T$ に対する $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x-\boldsymbol b^T\boldsymbol x$ の最小値を $a$ で表す。

题目描述

给定实参数 $a$ 和矩阵

$$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&a\\0&a&2\end{pmatrix},$$

考虑对角矩阵 $D$ 和可逆矩阵 $P$ 使 $A=PDP^{-1}$。

1. 当 $a=1$ 时求 $D$。
2. 当 $a=1$ 时，证明任意非零实向量 $\boldsymbol x\in\mathbb R^3$ 都满足 $\boldsymbol x^TA\boldsymbol x>0$。
3. 求使这一不等式对任意非零实向量均成立的 $a$ 的范围。
4. 在上述范围内，令 $\boldsymbol b=(a,0,-1)^T$，求 $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x-\boldsymbol b^T\boldsymbol x$ 的最小值关于 $a$ 的表达式。

Kai

I.

$a=1$ のとき

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 4) \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 2, 4 \end{aligned}$$

である。よって、

$$\begin{aligned} D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である（固有値の並べ方の不定性はある）。

II.

$A$ は実対称行列なので、実直交行列 $P$ があって、

$$\begin{aligned} A = P D P^{-1} , \ \ P^{-1} = P^T \end{aligned}$$

が成り立つ。そこで、非零三次元実ベクトル $\boldsymbol{x}$ に対して

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = P^{-1} \boldsymbol{x} \end{aligned}$$

とおくと、 $y_1, y_2, y_3$ は実数であり、

$$\begin{aligned} y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 &= \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)^T \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right) \\ &= \boldsymbol{x}^T P P^{-1} \boldsymbol{x} \\ &= \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} \\ &\gt 0 \end{aligned}$$

なので $y_1, y_2, y_3$ の少なくとも1つは $0$ ではなく、したがって、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{x}^T P D P^{-1} \boldsymbol{x} \\ &= \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)^T D \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right) \\ &= y_1^2 + 2 y_2^2 + 4 y_3^2 \\ &\gt 0 \end{aligned}$$

が言える。

III.

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & a \\ 0 & a & 2 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5 \lambda - a^2 + 5) \\ \therefore \ \ \lambda &= 2, \frac{5 \pm \sqrt{4a^2+5}}{2} \end{aligned}$$

である。求める条件は、これらがすべて正であることであり、

$$\begin{aligned} \frac{5 - \sqrt{4a^2+5}}{2} \gt 0 \\ \therefore \ \ - \sqrt{5} \lt a \lt \sqrt{5} \end{aligned}$$

である。

IV.

$$\begin{aligned} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすると、

$$\begin{aligned} \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= 4x_1 + 2x_2 - a , \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} &= 2x_1 + 6x_2 + 2ax_3 , \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_3} &= 2ax_2 + 4x_3 + 1 \end{aligned}$$

である。Hessian は $2A$ で正定値なので、停留点は一意な大域的最小点である。よって、 $f(\boldsymbol{x})$ が最小になるのは、$x_1, x_2, x_3$ が

$$\begin{aligned} 4x_1 + 2x_2 - a &= 0 , \ \ 2x_1 + 6x_2 + 2ax_3 = 0 , \ \ 2ax_2 + 4x_3 + 1 = 0 \\ \therefore \ \ x_1 &= \frac{a}{4}, \ \ x_2 = 0, \ \ x_3 = - \frac{1}{4} \end{aligned}$$

のときであり、したがって、 $f(\boldsymbol{x})$ の最小値は

$$\begin{aligned} f \left( \begin{pmatrix} \frac{a}{4} \\ 0 \\ - \frac{1}{4} \end{pmatrix} \right) = - \frac{a^2 + 1}{8} \end{aligned}$$

である。