東京大学 工学系研究科 2022年8月実施 数学 第1問

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• Tokyo-University

Author

Miyake

Description

2023年度大学院入学試験問題 数学

题目描述

原 Description 仅提供 2023 年数学原卷链接，具体题干缺失。根据本地 Kai，可以确认：

1. 第一部分要求计算极限
   $$\lim_{x\to0}\frac{b^x-c^x}{ax},$$
   其中 Kai 使用对数和洛必达法则；原题对参数 $a,b,c$ 的取值条件未保存在本地。
2. 第二部分含两个微分方程：
   • 第一小问令 $y=x f(x)$ 后得到 $x f'(x)=\log x$，并要求一般解；Kai 得到 $y=\tfrac12x(\log x)^2+Cx$。原方程 (2) 的完整书写形式缺失。
   • 第二小问的齐次算子为 $y''-y'-2y$，并以二次多项式作待定特解；Kai 给出非齐次方程 (3) 的一般解 $y=Ae^{2x}+Be^{-x}-x^2-1$。原方程右端未直接保存在本地，故不补写。
3. 第三部分研究数列
   $$a_n=\frac{n!}{n^{\,n+1/2}e^{-n}},$$
   本地解答计算 $a_n/a_{n+1}$ 并证明其极限为 $1$；Kai 未保存原题是否还有进一步要求。

Kai

I.

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{b^x - c^x}{ax} &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \log b} - e^{x \log c}}{ax} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\log b \cdot e^{x \log b} - \log c \cdot e^{x \log c}}{a} \\ &= \frac{\log b - \log c}{a} \\ &= \frac{1}{a} \log \frac{b}{c} \end{aligned}$$

II.

1.

$x$ の関数 $f(x)$ を使って、 $y=f(x)x$ を (2) に代入すると、

$$\begin{aligned} \frac{df(x)}{dx} x &= \log x \\ \therefore \ \ f(x) &= \int \frac{\log x}{x} dx \\ &= \int \left( \log x \right)' \log x dx \\ &= \left( \log x \right)^2 - \int \frac{\log x}{x} dx \\ \therefore \ \ f(x) &= \frac{1}{2} \left( \log x \right)^2 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

となるので、求める一般解は

$$\begin{aligned} y &= \frac{1}{2} x \left( \log x \right)^2 + Cx \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。

2.

まず、

$$\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 2y = 0 \end{aligned}$$

に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数） を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - \lambda - 2 &= 0 \\ (\lambda - 2)(\lambda + 1) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 2, -1 \end{aligned}$$

となるので、この微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = A e^{2x} + B e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。

次に、 (3) に $y=Cx^2+Dx+E$ （ $C,D,E$ は $x$ によらない定数） を代入すると、

$$\begin{aligned} C = -1, \ \ D = 0, \ \ E = -1 \end{aligned}$$

を得るので、

$$\begin{aligned} y = -x^2 - 1 \end{aligned}$$

は (3) の特殊解である。

以上より、 (3) の一般解は

$$\begin{aligned} y = A e^{2x} + B e^{-x} -x^2 - 1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。

III.

$$\begin{aligned} \frac{a_n}{a_{n+1}} &= \frac{n!}{n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}} \cdot \frac{(n+1)^{n + \frac{3}{2}} e^{-n-1}}{(n+1)!} \\ &= \frac{1}{e} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^\frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ &\xrightarrow{n \to \infty} 1 \end{aligned}$$