東京大学 工学系研究科 2021年8月実施 物理学1

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• Tokyo-University

Author

Miyake

Description

2022年度大学院入学試験問題 物理学1

题目描述

原 Description 仅提供 2022 年“物理学 1”原卷链接，图示和完整题干缺失。根据本地 Kai，可以确认研究对象是一根质量 $m$、长度 $L$、一端在 $O$ 处转动的均匀细杆，另一端记为 $E$：

1. 第一部分要求求细杆绕 $O$ 的转动惯量、重力作用下以角度 $\theta$ 表示的转动方程，以及从水平静止释放后角速度与角度的关系。第四小问在 Kai 中只有答案 0，缺少所求物理量；第五小问只确认某时刻支点对杆的力竖直向上且大小为 $mg$，因题干和时刻条件缺失，不能唯一恢复这两问。
2. 第二部分在距 $O$ 为 $x$ 的位置固定一个同为质量 $m$ 的质点 $P$。先求杆—质点系统作小振动的周期；再求从水平静止释放到端点 $E$ 首次到达最低点所需时间，并在 $0<x\le L$ 内求使该时间最短的 $x$。
3. 第三部分令质量 $m$ 的质点 $Q$ 以速度撞击杆上距 $O$ 为 $y$ 的位置。第一小问通过碰撞前后角动量和动能关系求得可实现相应完全能量转移的 $y=L/\sqrt3$；第二小问中质点碰后附着于杆，要求求使杆端 $E$ 恰能上升到与 $O$ 同高所需的初速度 $v_0$。原题关于撞击方向和第一小问的完整结果条件未保存在本地。

考点

• 刚体绕定轴转动：由线密度积分求细杆转动惯量，并写出重力矩驱动的角运动方程。
• 物理摆与小振动：合并细杆和附加质点的转动惯量、重心位置，线性化得到周期。
• 能量积分与时间最优化：由角速度—角度关系积分下落时间，再对附着位置求极值。
• 碰撞中的角动量守恒：以支点为矩心避开冲量矩，并结合动能或碰后能量条件求撞击位置和初速度。

Kai

I.

1.

$$\begin{aligned} I_O &= \int_0^L \frac{m}{L} x^2 dx \\ &= \frac{m}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L \\ &= \frac{1}{3} mL^2 \end{aligned}$$

2.

$$\begin{aligned} I_O \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta \\ \frac{1}{3} mL^2 \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta \\ \therefore \ \ \ddot{\theta} &= - \frac{3g}{2L} \sin \theta \end{aligned}$$

3.

エネルギー保存則より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} I_O \dot{\theta}^2 - mg \frac{L}{2} \cos \theta &= 0 \\ \frac{1}{3} mL^2 \dot{\theta}^2 &= mgL \cos \theta \\ \therefore \ \ \dot{\theta}^2 &= \frac{3g}{L} \cos \theta \end{aligned}$$

4.

$0$

5.

棒は始点 O から、鉛直上向きに大きさ $mg$ の力を受ける。

II.

1.

棒と P を合わせた物体を P' とする。 P' の O の周りの慣性モーメントは、

$$\begin{aligned} I_O + mx^2 = m \frac{L^2 + 3x^2}{3} \end{aligned}$$

であり、 O から P' の重心までの距離は $(L/2+x)/2$ であるから、 $\theta$ に関する運動方程式は、

$$\begin{aligned} m \frac{L^2 + 3x^2}{3} \ddot{\theta} &= - 2mg \frac{L/2 + x}{2} \sin \theta \\ \ddot{\theta} &= - \frac{3g(L+2x)}{2(L^2+3x^2)} \sin \theta \end{aligned}$$

である。 よって、微小振動の振動周期は、

$$\begin{aligned} 2 \pi \sqrt{ \frac{2(L^2+3x^2)}{3g(L+2x)} } \end{aligned}$$

である。

2.

エネルギー保存則より

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} m \frac{L^2+3x^2}{3} \dot{\theta}^2 &- 2mg \frac{L/2+x}{2} \cos \theta = 0 \\ \therefore \ \ \dot{\theta}^2 &= \frac{L+2x}{L^2+3x^2} \cdot 3g \cos \theta \end{aligned}$$

棒を放してから E が最下点に最初に到達するまで、 $0 \leq \theta \leq \pi/2, \dot{\theta} \leq 0$ なので、

$$\begin{aligned} \dot{\theta} &= - \sqrt{\frac{L+2x}{L^2+3x^2}} \sqrt{3g \cos \theta} \\ \therefore \ \ dt &= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} \end{aligned}$$

である。よって、 棒を放してから E が最下点に最初に到達するまでの時間を $t_1$ とすると、

$$\begin{aligned} t_1 &= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \int_{\pi/2}^0 \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} \\ &= \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} \end{aligned}$$

である。

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \frac{L^2+3x^2}{L+2x} &= \frac{2(3x^2+3Lx-L^2)}{(L+2x)^2} \end{aligned}$$

からわかるように、 $0 \lt x \leq L$ において $(L^2+3x^2)/(L+2x)$ したがって $t_1$ を最小にする $x$ は、

$$\begin{aligned} x = \frac{-3+\sqrt{21}}{2} L \end{aligned}$$

である。

III.

1.

衝突直後の棒の O の周りの角速度を $\omega$ とすると、 衝突前後のエネルギー保存則と角運動量保存則より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2} I_O \omega^2 , \\ ymv &= I_O \omega \end{aligned}$$

が成り立ち、これらから $\omega$ を消去して、

$$\begin{aligned} y = \frac{L}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

を得る。

2.

棒と Q を合わせた物体の O の周りの慣性モーメントは、

$$\begin{aligned} I &= I_O + my^2 \\ &= \frac{m(L^2 + 3y^2)}{3} \end{aligned}$$

である。 衝突直後の棒（および Q）の O の周りの角速度を $\omega$ とする。 衝突前後の角運動量保存則より

$$\begin{aligned} ymv_0 = I \omega \end{aligned}$$

が成り立ち、衝突直後と E が O が同じ高さに達した時点でのエネルギーが等しいことから

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} I \omega^2 &= mg \frac{L}{2} + mgy \\ &= \frac{1}{2} mg(L+2y) \end{aligned}$$

が成り立つ。 これらから $\omega$ を消去して、

$$\begin{aligned} v_0 &= \frac{1}{y} \sqrt{\frac{(L+2y)(L^2+3y^2)g}{3}} \end{aligned}$$

を得る。