東京大学 工学系研究科 2021年8月実施 数学3

标签：

• Tokyo-University

Author

Miyake

Description

2022年度大学院入学試験問題数学 3

题目描述

原 Description 仅提供 2022 年“数学 3”原卷链接，具体题干缺失。根据本地 Kai，只能确认第一部分的两组积分：

1. 第一小题的被积函数为
   $$f(z)=\frac{z}{(z-i)(z-1)}.$$
   积分路径分别以逆时针方向绕 $z=1$、以顺时针方向绕 $z=i$；要求计算相应闭合积分 $I_1$。原路径的具体几何形状未保存在本地。
2. 第二小题先用 $z=e^{i\theta}$ 把
   $$I_2=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\theta}{10+8\cos\theta}$$
   化为单位圆上的围道积分，求有理函数
   $$G(z)=\frac{-i}{2(z+2)(2z+1)}$$
   的奇点、单位圆内极点的留数并计算 $I_2$。
3. Kai 的第二部分标题下完全没有题干或解答，故本地内容无法确认其题意。

Kai

I.

1.

$I_1$ の被積分関数

$$\begin{aligned} f(z) = \frac{z}{(z-i)(z-1)} \end{aligned}$$

の極 $z=1,i$ における留数はそれぞれ

$$\begin{aligned} R_1 &= \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2} , \\ R_i &= \frac{i}{i-1} = \frac{1-i}{2} \end{aligned}$$

である。

$I_1$ は $z=1$ の周りを反時計回りに回る部分と $z=i$ の周りを時計回りに回る部分からなるから、

$$\begin{aligned} I_1 &= 2 \pi i \left( R_1 - R_i \right) \\ &= -2 \pi \end{aligned}$$

である。

2.

2.1

$|z|=1$ を満たす複素数 $z$ は、 $z=e^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \lt 2 \pi)$ と書ける。 このとき、

$$\begin{aligned} dz &= i e^{i \theta} d \theta = iz d \theta \\ z + \frac{1}{z} &= e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} I_2 &= \oint_{|z|=1} \frac{1}{10 + 4 \left( z + \frac{1}{z} \right)} \frac{dz}{iz} \\ &= \oint_{|z|=1} \frac{-i}{2(z+2)(2z+1)} dz \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} G(z) = \frac{-i}{2(z+2)(2z+1)} \end{aligned}$$

である。

2.2

$G(z)$ の特異点は $z=-1/2, 2$ である。

2.3

$G(z)$ の $z=-1/2$ における留数は $-i/6$ であるから、留数定理により、

$$\begin{aligned} I_2 = 2 \pi i \cdot \frac{-i}{6} = \frac{\pi}{3} \end{aligned}$$

を得る。

II.