東京大学工学系研究科 2021年8月実施数学3

标签：

Author

$I_1$ の被積分関数

\begin{aligned} f(z) = \frac{z}{(z-i)(z-1)} \end{aligned}

の極 $z=1,i$ における留数はそれぞれ

\begin{aligned} R_1 &= \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2} , \\ R_i &= \frac{i}{i-1} = \frac{1-i}{2} \end{aligned}

である。

$I_1$ は $z=1$ の周りを反時計回りに回る部分と $z=i$ の周りを時計回りに回る部分からなるから、

\begin{aligned} I_1 &= 2 \pi i \left( R_1 - R_i \right) \\ &= -2 \pi \end{aligned}

である。

$|z|=1$ を満たす複素数 $z$ は、 $z=e^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \lt 2 \pi)$ と書ける。このとき、

\begin{aligned} dz &= i e^{i \theta} d \theta = iz d \theta \\ z + \frac{1}{z} &= e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} I_2 &= \oint_{|z|=1} \frac{1}{10 + 4 \left( z + \frac{1}{z} \right)} \frac{dz}{iz} \\ &= \oint_{|z|=1} \frac{-i}{2(z+2)(2z+1)} dz \end{aligned}

よって、

\begin{aligned} G(z) = \frac{-i}{2(z+2)(2z+1)} \end{aligned}

である。

$G(z)$ の特異点は $z=-1/2, 2$ である。

$G(z)$ の $z=-1/2$ における留数は $-i/6$ であるから、留数定理により、

\begin{aligned} I_2 = 2 \pi i \cdot \frac{-i}{6} = \frac{\pi}{3} \end{aligned}

を得る。