東京大学 工学系研究科 2021年8月実施 数学2
Author
Miyake
Description
2022年度大学院入学試験問題数学 2
Kai
2つの 次実対称行列 を考え、 が成り立つとする。
また、どちらもそれぞれ 個の固有値は互いに異なるとする。
の固有値 に属する固有ベクトルを とすると、
であり、 も の固有値 に属する固有ベクトルであることがわかる。
の に属する固有空間は1次元なので、
と書ける。
つまり、 は の固有ベクトルでもある。
同様にして、 の固有ベクトルは の固有ベクトルでもある。
の固有値 に属する規格化された固有ベクトル
は
互いに直交し、直交行列
によって は対角化される。
は、
の 個の互いに直交する（1次独立な）固有ベクトルでもあるので、
によって も対角化される。
つまり、 と は同時対角化可能である。
の固有値を とすると、
である。
の固有値 に属する固有ベクトルを求めるために、
とおくと、 であるから、例えば、
が固有ベクトルである。
の固有値 に属する固有空間を求めるために、
とおくと、 であるから、
を基底とする空間が固有空間である。
の固有値を とすると、
である。
上と同様に考えると、
は の固有値 に属する固有ベクトルであり、
を基底とする空間が の固有値 に属する固有空間である。
よって、 について、
が成り立ち、 について、
が成り立つ。
さらに、 に直交する規格化されたベクトルとして、
を考えると、
が成り立つ。
つまり、6つのベクトル は、規格化された同時固有ベクトルである。（これら以外にはないことは次のようにしてわかる。
として、
は
どちらの固有ベクトルでもなく、
は
の固有ベクトルだが の固有ベクトルではなく、
は
の固有ベクトルだが の固有ベクトルではなく、
は
どちらの固有ベクトルでもない。）
以上より、
を得る。
II.
の固有値を とすると、
となるので、
つまり、
である。
固有値 に属する規格化された固有ベクトルは、それぞれ、
なので、
とすると、 となる。
平面 は次のように書き直せる：
これを整理して を得る。
また、 3. で得た
は、 を固定すると、 に関する楕円の方程式であり、その面積 は、
である。
よって、求める体積は、
である。