東京大学 工学系研究科 2021年8月実施 数学2

标签：

• Tokyo-University
• Simultaneous-Diagonalization-of-Commuting-Operators
• Quadratic-Form
• Triple-Integral

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

公式原題

I.

$$A=\begin{pmatrix}7&-2&1\\-2&10&-2\\1&-2&7\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&-1&-1\\-1&5&-1\\-1&-1&5\end{pmatrix}.$$

1. $AB$ を計算する。
2. 互いに可換な実対称行列が同時対角化できることを、各行列の固有値がすべて異なる場合について証明する。
3. $\|\boldsymbol v\|=1$、$A\boldsymbol v=a\boldsymbol v$、$B\boldsymbol v=b\boldsymbol v$ を満たす実ベクトルと固有値の組 $(\boldsymbol v,a,b)$ をすべて求める。

II.

$$f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2)+4yz+\frac{z-y}{\sqrt2}$$

とする。

1. $f=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x+2\boldsymbol b^T\boldsymbol x$ の実対称行列 $A$ と $\boldsymbol b$ を求める。
2. $A=P^TDP$、$P$ は直交行列、$D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3)$、$d_1\ge d_2\ge d_3$ とする一組を求める。
3. $(X,Y,Z)^T=P(x,y,z)^T$ を使って $f$ を表す。
4. $f=0$ と平面 $y-z-\sqrt2=0$ が囲む領域を図示し、体積を求める。

题目描述

I. 设 $A=\begin{pmatrix}7&-2&1\\-2&10&-2\\1&-2&7\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}5&-1&-1\\-1&5&-1\\-1&-1&5\end{pmatrix}$。 (1) 计算 $AB$。 (2) 对各自具有互异特征值的两个可交换实对称矩阵，证明它们可同时正交对角化。 (3) 求所有实单位向量 $\boldsymbol v$ 与实数 $a,b$ 的组合，使 $A\boldsymbol v=a\boldsymbol v,B\boldsymbol v=b\boldsymbol v$。

II. 令 $f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2)+4yz+(z-y)/\sqrt2$。 (1) 写成 $\boldsymbol x^TA\boldsymbol x+2\boldsymbol b^T\boldsymbol x$，求对称矩阵 $A$ 与向量 $\boldsymbol b$。 (2) 求正交矩阵 $P$ 与降序对角矩阵 $D$，使 $A=P^TDP$。 (3) 用 $(X,Y,Z)^T=P(x,y,z)^T$ 表示 $f$。 (4) 图示并求 $f=0$ 与平面 $y-z-\sqrt2=0$ 所围区域的体积。

Kai

I

1

$$\boxed{AB=\begin{pmatrix}36&-18&0\\-18&54&-18\\0&-18&36\end{pmatrix}}.$$

2

$C,D$ を可換な実対称行列とし、$C$ の固有値は互いに異なるとする。 $C\boldsymbol v_j=c_j\boldsymbol v_j$ ならば、 $C(D\boldsymbol v_j)=D(C\boldsymbol v_j)=c_jD\boldsymbol v_j$。 $c_j$ の固有空間は一次元なので $D\boldsymbol v_j=d_j\boldsymbol v_j$ と書ける。 従って $C$ の正規直交固有基底は $D$ の固有基底でもある。 これらを列に持つ直交行列により、両行列は同時に対角化される。

3

ここで、

$$\boldsymbol u_1=\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)^T,\quad \boldsymbol u_2=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T,\quad \boldsymbol u_3=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^T.$$

直接計算すると、これらは正規直交基底をなし、

$$A\boldsymbol u_j=a_j\boldsymbol u_j,\quad B\boldsymbol u_j=b_j\boldsymbol u_j,\quad (a_1,b_1)=(12,6),\ (a_2,b_2)=(6,3),\ (a_3,b_3)=(6,6).$$

三つの固有値の組は相異なるので、各共通固有空間は一次元である。すべての解は

$$\boxed{(\boldsymbol v,a,b)=(\pm\boldsymbol u_1,12,6),\ (\pm\boldsymbol u_2,6,3),\ (\pm\boldsymbol u_3,6,6)}.$$

II

1–2

二次項と一次項の係数比較により、

$$\boxed{A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&2\\0&2&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\frac1{2\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}.$$

固有値は $4,2,0$ であり、次のように取れる。

$$\boxed{D=\operatorname{diag}(4,2,0),\qquad P=\begin{pmatrix}0&1/\sqrt2&1/\sqrt2\\1&0&0\\0&1/\sqrt2&-1/\sqrt2\end{pmatrix}}.$$

このとき $PP^T=I$、$A=P^TDP$ が成り立つ。

3–4

新座標は $X=(y+z)/\sqrt2,Y=x,Z=(y-z)/\sqrt2$ なので、

$$\boxed{f=4X^2+2Y^2-Z}.$$

平面は $Z=1$ となり、囲まれる領域は $4X^2+2Y^2\le Z\le1$ である。 高さ $Z$ の断面楕円の半軸は $\sqrt Z/2,\sqrt{Z/2}$ である。 直交変換は体積を保存するから、

$$\boxed{V=\int_0^1\frac{\pi Z}{2\sqrt2}\,dZ=\frac\pi{4\sqrt2}}.$$