東京大学 工学系研究科 2021年8月実施 数学1

Author

Miyake

Description

2022年度大学院入学試験問題数学 1

Kai

I.

1.

与えられた楕円の方程式を で微分して、

なので、楕円上の点 における接線の方程式は、

である。

2.

上で求めた接線とx,y軸との交点をそれぞれ とすると、

であり、この2点を結ぶ線分の長さを とすると、

である。

この を最小にする を求めるために、 ラグランジュの未定乗数 を導入して、関数

を最小化する。

より、

となるので、これらを楕円の方程式に代入して整理すると、

したがって、

であり、このとき、

である。

まとめると、線分の長さが最小になるのは、接点の座標が

のときであり、このとき、線分の長さは である。

II.

1.

2.

より、

3.

与えられた微分方程式をラプラス変換して、上の 1. で得た式を使うと、

さらに、初期値 を代入して整理すると、

となる。これは、上の 2. で の場合に相当するので、

がわかる。