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東京大学 工学系研究科 2020年8月実施 物理学2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

真空中の鉛直上向き（+z+z 方向）の一様磁場 BB 内に、幅 dd の十分長い U 字型導線 αββ′α′\alpha\beta\beta'\alpha' を水平に置く。平行なレール αβ,α′β′\alpha\beta,\alpha'\beta' は yy 軸に平行で、ββ′\beta\beta' はそれらに垂直である。質量 mm の金属棒 λμ\lambda\mu は両レールとそれぞれ λ′,μ′\lambda',\mu' で接触し、常に ββ′\beta\beta' に平行である。導線の抵抗は零、棒の接触点間（長さ dd）の抵抗は RR とする。棒の太さ、摩擦、接触抵抗、電流が作る磁場は無視する。

I. 棒の重心に一定の外力 FF が +y+y 方向に働き、棒が一定速度 vv で動く。

  1. 棒を流れる電流 II を vv で表せ。
  2. vv を FF で表せ。
  3. 単位時間あたりの Joule 熱と外力のする仕事を求め、エネルギー保存則を確かめよ。

II. 導線の ββ′\beta\beta' 部分に容量 CC のコンデンサーを入れる。t=0t=0 に棒の重心に瞬間的な外力を +y+y 方向に加え、初速を与える。以後の棒の速度を v(t)v(t)、コンデンサーの電荷を Q(t)Q(t) とし、Q(0)=0Q(0)=0 とする。

  1. 電流 I(t)I(t) を Q(t),v(t)Q(t),v(t) の両方で表せ。
  2. 棒の加速度 a(t)a(t) を Q(t),v(t)Q(t),v(t) の両方で表せ。
  3. v(0)=v0v(0)=v_0 のとき、I(t)I(t) を求めよ。 一様磁場中で動く導体棒とコンデンサー付き回路

题目描述​

在真空中沿 +z+z 方向的均匀磁场 BB 内，水平放置宽度为 dd 的 U 形长导轨 αββ′α′\alpha\beta\beta'\alpha'。两条平行导轨沿 yy 方向，连接段 ββ′\beta\beta' 与其垂直。质量为 mm 的金属棒 λμ\lambda\mu 横跨导轨，在 λ′,μ′\lambda',\mu' 接触，始终与连接段平行。导轨无电阻，棒两接触点之间长度为 dd、电阻为 RR。忽略棒的粗细、摩擦、接触电阻和电流自身产生的磁场。

I. 对棒施加沿 +y+y 方向的恒力 FF，使其以恒速 vv 运动。

  1. 用 vv 表示棒中电流 II。
  2. 用 FF 表示 vv。
  3. 求焦耳热功率和外力做功功率，验证能量守恒。

II. 在连接段 ββ′\beta\beta' 中接入电容为 CC 的电容器。于 t=0t=0 对棒施加沿 +y+y 的瞬时冲量，之后无外力驱动。记速度为 v(t)v(t)，电容器电荷为 Q(t)Q(t)，且 Q(0)=0Q(0)=0。

  1. 用 Q(t),v(t)Q(t),v(t) 表示电流 I(t)I(t)。
  2. 用 Q(t),v(t)Q(t),v(t) 表示加速度 a(t)a(t)。
  3. 若 v(0)=v0v(0)=v_0，求 I(t)I(t)。

Kai​

電流の正方向を棒上で μ′→λ′\mu'\to\lambda' とし、その電流が充電する向きに QQ の符号を定める。

I.​

  1. 運動起電力は BdvBdv だから
I=BdvR.\boxed{I=\frac{Bdv}{R}}.
  1. 棒に働く磁気力は −BId ey-BId\,\boldsymbol e_y。等速条件 F=BIdF=BId より
v=FRB2d2.\boxed{v=\frac{FR}{B^2d^2}}.
  1. Joule 熱と外力の仕事の率は
PJ=I2R=B2d2v2R,PF=Fv=B2d2v2R.\boxed{P_J=I^2R=\frac{B^2d^2v^2}{R},\qquad P_F=Fv=\frac{B^2d^2v^2}{R}}.

運動エネルギーは一定で、外力の仕事はすべて熱になる。

II.​

  1. 回路の電圧則 Bdv=RI+Q/CBdv=RI+Q/C より
I(t)=1R(Bdv(t)−Q(t)C),I=Q˙.\boxed{I(t)=\frac1R\left(Bdv(t)-\frac{Q(t)}C\right)},\qquad I=\dot Q.
  1. ma=−BdIma=-BdI なので
a(t)=−BdmR(Bdv(t)−Q(t)C).\boxed{a(t)=-\frac{Bd}{mR}\left(Bdv(t)-\frac{Q(t)}C\right)}.
  1. 電圧則を微分し、mv˙=−BdIm\dot v=-BdI、Q˙=I\dot Q=I を代入すると
RI˙=−(B2d2m+1C)I.R\dot I=-\left(\frac{B^2d^2}{m}+\frac1C\right)I.

初期条件は I(0)=Bdv0/RI(0)=Bdv_0/R。したがって

I(t)=Bdv0Rexp⁡[−m+B2d2CmRC t].\boxed{I(t)=\frac{Bdv_0}{R}\exp\left[-\frac{m+B^2d^2C}{mRC}\,t\right]}.

Reference​

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