東京大学 工学系研究科 2020年8月実施 物理学1

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• Tokyo-University

Author

Miyake

Description

大学院入学試験問題 物理学 1 (力学)

题目描述

原 Description 仅提供 2021 年“物理学 1（力学）”原卷链接，图示和具体题干缺失。根据本地 Kai，只能确认这是质点碰撞与水平弹簧振子组合题：

1. 第一部分中，质量 $m$ 的物体 A 以速度 $v$ 与质量 $M$、连接劲度系数 $k$ 弹簧的物体 B 碰撞后共同运动。要求由动量守恒确定碰后速度，并求共同质量 $m+M$ 的简谐运动位置 $x(t)$；随后求其第一次回到平衡位置的时刻及该时刻速度。
2. 第二部分先处理 A、B 的完全弹性碰撞，求碰后速度
   $$v_A=\frac{m-M}{m+M}v,\qquad v_B=\frac{2m}{m+M}v.$$
   另一个小问取 $M=m$，要求写出两物体在一次弹簧往返运动前后的分段位置函数。由于原图缺失，碰撞点的坐标约定只能按 Kai 中的 $x=0$ 确认。
3. 第三部分中 B 的质量为 $2m$、碰撞恢复系数为 $e$。本地解答求第一次碰撞后的速度，继而在 B 以角频率 $\sqrt{k/(2m)}$ 振动时计算第二次碰撞前的双方速度，并由第二次相遇条件求 $e$。原题给定的完整几何配置及第二次碰撞时刻条件未保存在本地，不能进一步补写。

Kai

I.

1.

衝突直後の B （および A）の速度を $V$ とすると、運動量保存則より、

$$\begin{aligned} mv &= (m+M)V \\ \therefore \ \ V &= \frac{m}{m+M} v \end{aligned}$$

である。 $x$ の速度および加速度をそれぞれ $\dot{x}, \ddot{x}$ と書く。 衝突後の A および B の運動方程式は、

$$\begin{aligned} (m+M) \ddot{x} = -kx \end{aligned}$$

であるから、 角振動数を $\omega = \sqrt{k/(m+M)}$ として、 $t=0$ で $x=0, \dot{x}=V$ であることを考慮して、

$$\begin{aligned} x(t) &= \frac{V}{\omega} \sin \omega t \\ &= \frac{mv}{\sqrt{(m+M)k}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m+M}} t \right) \end{aligned}$$

を得る。

解説: 位置$x$を時刻$t$の関数として求めるので，運動方程式を解きます．内力のみが働くので運動量保存則が成立し，それを使って初期条件の速度$\dot{x}$を求めます． 振幅$A$は力学的エネルギー保存則 $\boxed{\frac{1}{2}(m+M)V^2=\frac{1}{2}kA^2}$ から求めることもできます．

2.

求める時刻は $\pi / \omega = \pi \sqrt{(m+M)/k}$ である。 また、このときの速度はエネルギー保存則より $-V = -mv/(m+M)$ である。

II.

1.

衝突直後の A, B の速度をそれぞれ $v_A, v_B$ とする。 運動量保存則より、

$$mv = mv_A + mv_B$$

が成り立つ。 また、完全弾性衝突なので、エネルギー保存則

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} mv_A^2 + \frac{1}{2} mv_B^2 \end{aligned}$$

が成り立つ。 この連立方程式には2通りの解があるが、 $v_A = v, v_B = 0$ は衝突せずに通り過ぎるということなので、 求める解は、

$$\begin{aligned} v_A &= \frac{m-M}{m+M} v \\ v_B &= \frac{2m}{m+M} v \end{aligned}$$

である。

2.

時刻 $t$ における A, B の位置をそれぞれ $x_A(t), x_B(t)$ とする。 上の 1. で得た式は $M=m$ のとき、$v_A = 0, v_B = v$ となるので、 $\omega_0 = \sqrt{k/m}, t_0 = \pi / \omega_0 = \pi \sqrt{m/k}$ として、

$$\begin{aligned} x_A (t) &= \begin{cases} 0 & 0 \leq t \leq t_0 \\ -vt & t_0 \lt t \end{cases} \\ x_B (t) &= \begin{cases} \frac{v}{\omega_0} \sin \omega_0 t & 0 \leq t \leq t_0 \\ 0 & t_0 \lt t \end{cases} \end{aligned}$$

がわかる。

III.

1.

時刻 $t$ における A, B の位置をそれぞれ $x_A(t), x_B(t)$ とする。

1回目の衝突直後の A, B の速度をそれぞれ $v_A, v_B$ とすると、 運動量保存則

$$\begin{aligned} mv = mv_A + 2mv_B \end{aligned}$$

および 反発係数が $e$ であること

$$\begin{aligned} e = \frac{v_B - v_A}{v} \end{aligned}$$

から、

$$\begin{aligned} v_A &= \frac{1-2e}{3} v \\ v_B &= \frac{1+e}{3} v \end{aligned}$$

がわかる。

2回目の衝突の時刻を $t_2 = (7 \sqrt{2} \pi / 6) \sqrt{m/k}$ とする。

時刻 $0 \lt t \lt t_2$ において、 B の角振動数は $\omega_2 = \sqrt{k/(2m)}$ であるから、

$$\begin{aligned} x_A(t) &= v_A t \\ x_B(t) &= \frac{v_B}{\omega_2} \sin \omega_2 t \end{aligned}$$

であり、 $x_B(t)$ の $t$ による微分は、

$$\begin{aligned} \dot{x}_B(t) &= v_B \cos \omega_2 t \end{aligned}$$

である。 よって、2回目の衝突の直前の A, B の速度をそれぞれ $V_A, V_B$ とすると、

$$\begin{aligned} V_A &= v_A \\ &= \frac{1-2e}{3} v \\ V_B &= \dot{x}_B(t_2) \\ &= v_B \cos \omega_2 t_2 \\ &= - \frac{1+e}{2 \sqrt{3}} v \end{aligned}$$

である。

2.

$x_A(t_2) = x_B(t_2)$ から、

$$\begin{aligned} e = \frac{7 \pi + 3}{14 \pi - 3} \end{aligned}$$

を得る。