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東京大学 工学系研究科 2020年8月実施 数学3

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Author​

Miyake

Description​

2021年度大学院入学試験問題 数学 3 (主に複素関数論)

题目描述​

原 Description 仅提供 2021 年“数学 3”原卷链接，具体题干缺失。根据本地 Kai，可以确认：

  1. 第一部分考察一次分式变换
    M(z)=mzmz−z+1.M(z)=\frac{mz}{mz-z+1}.
    在本地解答所采用的 m≠1m\ne1 条件下，第一小问求其不动点，第二小问求导数并计算 M′(0)M'(0)；第三小问在 Kai 中为空，无法确认。
  2. 第二部分令非零复数 z=reiθz=re^{i\theta}，研究
    J(z)=e−iαz+eiαz−1.J(z)=e^{-i\alpha}z+e^{i\alpha}z^{-1}.
    本地解答把它写成
    (r+1r)cos⁡(θ−α)+i(r−1r)sin⁡(θ−α)\left(r+\frac1r\right)\cos(\theta-\alpha) +i\left(r-\frac1r\right)\sin(\theta-\alpha)
    并按 r>1r>1 与 r<1r<1 判断 Im⁡J(z)>0\operatorname{Im}J(z)>0 的区域；原题对 α,θ\alpha,\theta 的完整范围未保存在本地。
  3. 第三部分的 Kai 只有一个外部视频链接，没有任何本地题干或解答内容，因此无法确认该部分题意。

Kai​

I.​

1.​

M(z)=zM(z)=z より

mzmz−z+1=zmz=(mz−z+1)z(m−1)z(z−1)=0\begin{aligned} \frac{mz}{mz-z+1} & =z \\ \mathrm{mz} & =(mz-z+1)z \\ (m-1)z(z-1) & =0 \end{aligned}

となる．よって，m≠1m≠1 であるから，M(z)=zM(z)=z の不動点は

z=0,1z=0,1

解説: M(z)=zM(z)=z を整理すると、(m−1)z(z−1)=0(m-1)z(z-1)=0であり、 m≠0m \ne 0 なので、 z=0,1z=0,1 を得る。 実際、 M(0)=0,M(1)=1M(0)=0, M(1)=1 である。 一次分数変換の不動点を求める問題です． 不動点とはその名の通り動かない点です．変換を施しても変化しないということです．

2.​

dM(z)dz=m(mz−z+1)−mz(m−1)(mz−z+1)2=m(mz−z+1)2∴  dM(0)dz=m\begin{aligned} \frac{dM(z)}{dz} &= \frac{m(mz-z+1) - mz(m-1)}{(mz-z+1)^2} \\ &= \frac{m}{(mz-z+1)^2} \\ \therefore \ \ \frac{dM(0)}{dz} &= m \end{aligned}

3.​

II.​

00 でない複素数 zz を極形式で z=reiθ  (r>0,0≤θ<2π)z=re^{i \theta} \ \ (r \gt 0, 0 \leq \theta \lt 2 \pi) と表すと、

J(z)=e−iαz+eiαz−1=rei(θ−α)+1re−i(θ−α)=(r+1r)cos⁡(θ−α)+i(r−1r)sin⁡(θ−α)\begin{aligned} J(z) &= e^{-i \alpha} z + e^{i \alpha} z^{-1} \\ &= r e^{i (\theta - \alpha)} + \frac{1}{r} e^{-i (\theta - \alpha)} \\ &= \left( r + \frac{1}{r} \right) \cos (\theta - \alpha) + i \left( r - \frac{1}{r} \right) \sin (\theta - \alpha) \end{aligned}

なので、これの虚部

(r−1r)sin⁡(θ−α)\begin{aligned} \left( r - \frac{1}{r} \right) \sin (\theta - \alpha) \end{aligned}

が正となるのは、「 r>1r \gt 1 かつ α<θ<α+π\alpha \lt \theta \lt \alpha + \pi」 または「r<1r \lt 1 かつ 0<θ<α,α+π<θ<2π0 \lt \theta \lt \alpha, \alpha + \pi \lt \theta \lt 2 \pi 」 のときである。

III.​

【院試解説】東京大学 工学系研究科 2021年度 数学3 III

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