東京大学 工学系研究科 2020年8月実施 数学3

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Miyake

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2021年度大学院入学試験問題 数学 3 (主に複素関数論)

Kai

I.

1.

$M(z)=z$ より

$$\begin{aligned} \frac{mz}{mz-z+1} & =z \\ \mathrm{mz} & =(mz-z+1)z \\ (m-1)z(z-1) & =0 \end{aligned}$$

となる．よって，$m≠1$ であるから，$M(z)=z$ の不動点は

$$z=0,1$$

解説: $M(z)=z$ を整理すると、$(m-1)z(z-1)=0$であり、 $m \ne 0$ なので、 $z=0,1$ を得る。 実際、 $M(0)=0, M(1)=1$ である。 一次分数変換の不動点を求める問題です． 不動点とはその名の通り動かない点です．変換を施しても変化しないということです．

2.

$$\begin{aligned} \frac{dM(z)}{dz} &= \frac{m(mz-z+1) - mz(m-1)}{(mz-z+1)^2} \\ &= \frac{m}{(mz-z+1)^2} \\ \therefore \ \ \frac{dM(0)}{dz} &= m \end{aligned}$$

3.

II.

$0$ でない複素数 $z$ を極形式で $z=re^{i \theta} \ \ (r \gt 0, 0 \leq \theta \lt 2 \pi)$ と表すと、

$$\begin{aligned} J(z) &= e^{-i \alpha} z + e^{i \alpha} z^{-1} \\ &= r e^{i (\theta - \alpha)} + \frac{1}{r} e^{-i (\theta - \alpha)} \\ &= \left( r + \frac{1}{r} \right) \cos (\theta - \alpha) + i \left( r - \frac{1}{r} \right) \sin (\theta - \alpha) \end{aligned}$$

なので、これの虚部

$$\begin{aligned} \left( r - \frac{1}{r} \right) \sin (\theta - \alpha) \end{aligned}$$

が正となるのは、「 $r \gt 1$ かつ $\alpha \lt \theta \lt \alpha + \pi$」 または「$r \lt 1$ かつ $0 \lt \theta \lt \alpha, \alpha + \pi \lt \theta \lt 2 \pi$ 」 のときである。

III.

【院試解説】東京大学 工学系研究科 2021年度 数学3 III