東京大学 工学系研究科 2020年8月実施 数学2

Author

Miyake

Description

2021年度大学院入学試験問題 数学2(主に線形代数)

Kai

I.

1.

の固有値を とすると、

を得る。

2.

ケーリー-ハミルトンの定理より、 が成り立つ。

つまり、 である。

3.

から、

がわかる。

4.

上の 3. から、もわかる。

そこで、

と計算できるので、

がわかる。

II.

1.

なので、

である。

2.

の固有値は であり、それぞれに対応する固有ベクトルは、例えば、

である。

3.

A,Bである確率が一定値に収束するとすると、それは の固有ベクトルであり、確率は負にならないことを考慮して、

であることがわかる。

4.

と書くことにする。

であるから、 を消去して、

を得る。

III.

が成り立つとしたとき が導かれるかを検討する。

上の式を整理すると、

となり、 が1次独立であることから、

よって、

を得る。したがって、 が奇数のときは が導かれるので

は1次独立となる。 が偶数のときはそうは言えない。