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東京大学 工学系研究科 2019年8月実施 物理学1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

外半径 2r2r、内半径 rr、質量 3m3m の円筒と、その内部に隙間なく収まる半径 rr、質量 mm の円柱からなる物体 A を考える。両者は同じ一様な材料の剛体で、中心軸を共有し、円柱は円筒内で回転できる。

I. 中心軸まわりの円筒と円柱の慣性モーメント IT,ICI_T,I_C を、導出過程とともに求めよ。

II. 傾斜角 θ\theta の斜面 PQ は粗く、水平面 QR は摩擦がない。A は接触を保ったまま両面の間を滑らかに移り、その際のエネルギー損失はない。水平面上での中心軸の高さを零とし、重力加速度を gg とする。以下では IT,ICI_T,I_C を用いてよい。

  1. 円筒と円柱の間の摩擦を無視する。両者を回転させず、中心軸の高さが hh の斜面上に静かに置くと、円筒は斜面を滑らずに転がり下りた。水平面に達した直後の重心速度 v1v_1、円筒と円柱の角速度 ωT1,ωC1\omega_{T1},\omega_{C1} を求めよ。
  2. 円筒と円柱の間に大きさ ff の動摩擦力が働く場合を考える。同じ初期状態から、円筒は斜面を滑らずに転がるが、円柱は円筒と異なる角速度で滑りながら回転した。
    • (i) 斜面下向きを xx、斜面に垂直な外向きを yy とする。重心速度を vv、両者の角速度を ωT,ωC\omega_T,\omega_C、相互作用の合力の成分を Nx,NyN_x,N_y、斜面から円筒に働く垂直抗力と摩擦力を NPQ,FPQN_{PQ},F_{PQ} とする。① 円筒の x,yx,y 方向の運動方程式、回転の運動方程式および vv と ωT\omega_T の関係式を示せ。② 円柱についても並進と回転の運動方程式を示せ。
    • (ii) 水平面に達した直後の速度を vQ,ωTQ,ωCQv_Q,\omega_{TQ},\omega_{CQ} とする。やがて円筒と円柱の角速度が等しくなった。① このときの重心速度 vRv_R と共通角速度 ωR\omega_R を求めよ。② 水平面上での動摩擦によるエネルギー損失を求めよ。 同軸円筒と円柱、および斜面と水平面

题目描述​

物体 A 由外半径 2r2r、内半径 rr、质量 3m3m 的圆筒及嵌入其中的半径 rr、质量 mm 的圆柱组成。二者为同种均匀材料制成的刚体，共轴且间隙可忽略，圆柱可在圆筒内转动。

I. 推导二者关于中心轴的转动惯量 IT,ICI_T,I_C。

II. 倾角为 θ\theta 的斜面 PQ 有摩擦，水平面 QR 无摩擦。物体保持接触并平滑地从斜面进入水平面，过渡中无能量损失。以水平面上的中心轴高度为零，重力加速度为 gg，答案可使用 IT,ICI_T,I_C。

  1. 忽略圆筒与圆柱间的摩擦。从中心轴高度 hh 处静止释放，圆筒沿斜面纯滚动。求刚到水平面时的质心速度 v1v_1 和角速度 ωT1,ωC1\omega_{T1},\omega_{C1}。
  2. 二者间存在大小为 ff 的动摩擦力。同样从静止释放，圆筒沿斜面纯滚动，圆柱相对圆筒滑动且二者角速度不同。
    • (i) 取沿斜面向下为 xx、垂直斜面向外为 yy。记质心速度为 vv、角速度为 ωT,ωC\omega_T,\omega_C，二者相互作用合力的分量为 Nx,NyN_x,N_y，斜面对圆筒的支持力和摩擦力为 NPQ,FPQN_{PQ},F_{PQ}。① 列出圆筒的两个平动方程、转动方程及 vv 与 ωT\omega_T 的约束。② 列出圆柱的平动与转动方程。
    • (ii) 刚到水平面时的速度为 vQ,ωTQ,ωCQv_Q,\omega_{TQ},\omega_{CQ}，最终角速度相等。① 求最终质心速度 vRv_R 与共同角速度 ωR\omega_R。② 求水平面上内摩擦造成的能量损失。

Kai​

I.​

軸方向の長さを ℓ\ell、密度を ρ=m/(πr2ℓ)\rho=m/(\pi r^2\ell) とする。半径 ss の薄い円筒殻を積分して

IT=2πρℓ∫r2rs3 ds=152mr2,IC=2πρℓ∫0rs3 ds=12mr2.I_T=2\pi\rho\ell\int_r^{2r}s^3\,ds=\boxed{\frac{15}{2}mr^2},\qquad I_C=2\pi\rho\ell\int_0^r s^3\,ds=\boxed{\frac12mr^2}.

II.1​

円柱に軸まわりのトルクが働かないので ωC1=0\omega_{C1}=0。円筒の転がり条件とエネルギー保存より

v1=2rωT1,4mgh=12(4m)v12+12ITωT12.v_1=2r\omega_{T1},\qquad 4mgh=\frac12(4m)v_1^2+\frac12I_T\omega_{T1}^2.

したがって

v1=8mgh4m+IT/(4r2)=847gh,ωT1=v12r,ωC1=0.\boxed{v_1=\sqrt{\frac{8mgh}{4m+I_T/(4r^2)}} =\frac8{\sqrt{47}}\sqrt{gh}},\qquad \boxed{\omega_{T1}=\frac{v_1}{2r},\quad\omega_{C1}=0}.

II.2(i)​

角速度は斜面を下る転がりの向きを正とする。Nx,NyN_x,N_y は円筒から円柱に働く合力の成分、FPQF_{PQ} は斜面上向きの摩擦力の大きさと定める。

① 円筒について

3mv˙=3mgsin⁡θ−Nx−FPQ,0=NPQ−3mgcos⁡θ−Ny,ITω˙T=2rFPQ−rf,v=2rωT.\boxed{\begin{aligned} 3m\dot v&=3mg\sin\theta-N_x-F_{PQ},\\ 0&=N_{PQ}-3mg\cos\theta-N_y,\\ I_T\dot\omega_T&=2rF_{PQ}-rf,\\ v&=2r\omega_T. \end{aligned}}

② 円柱について

mv˙=mgsin⁡θ+Nx,0=Ny−mgcos⁡θ,ICω˙C=rf.\boxed{\begin{aligned} m\dot v&=mg\sin\theta+N_x,\\ 0&=N_y-mg\cos\theta,\\ I_C\dot\omega_C&=rf. \end{aligned}}

II.2(ii)​

① 水平面は摩擦がないので水平運動量が保存される。また重心まわりの外力のトルクは零である。よって

vR=vQ,ITωTQ+ICωCQ=(IT+IC)ωR,\boxed{v_R=v_Q},\qquad I_T\omega_{TQ}+I_C\omega_{CQ}=(I_T+I_C)\omega_R,
ωR=ITωTQ+ICωCQIT+IC=15ωTQ+ωCQ16.\boxed{\omega_R=\frac{I_T\omega_{TQ}+I_C\omega_{CQ}}{I_T+I_C} =\frac{15\omega_{TQ}+\omega_{CQ}}{16}}.

水平面上では転がり条件 vR=2rωRv_R=2r\omega_R を課す必要はない。

② 並進エネルギーは変わらないから、失われるエネルギーは

ΔE=12ITωTQ2+12ICωCQ2−12(IT+IC)ωR2=ITIC2(IT+IC)(ωTQ−ωCQ)2=15mr264(ωTQ−ωCQ)2.\begin{aligned} \Delta E&=\frac12I_T\omega_{TQ}^2+\frac12I_C\omega_{CQ}^2 -\frac12(I_T+I_C)\omega_R^2\\ &=\boxed{\frac{I_TI_C}{2(I_T+I_C)}(\omega_{TQ}-\omega_{CQ})^2 =\frac{15mr^2}{64}(\omega_{TQ}-\omega_{CQ})^2}. \end{aligned}
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